1、- 1 -湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(五)数学(理科)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数 z 满足 (i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意，根据复数的运算，化简求得 ，则 z 对应的点为(2，-1)，即可得到答案.【详解】由题意，复数 ，则 z 对应的点为(2，-1)故选D.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简、运算复数是解答的关键
2、，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.设 m 为给定的一个实常数，命题 p： ，则“ ”是“命题 p 为真命题”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由图命题 为真，求得 ，又由 成立时， 是成立的，即可得到“ ”是“命题为真命题”的充分不必要条件，得到答案.【详解】若命题 为真，则对任意 恒成立，所以 ，即 .因为 成立时， 是成立的，所以“ ”是“命题 为真命题”的充分不必要条件选 A.【点睛】本题主要考查了全称命题的应用，以及充分不必要条件的应用，其中解答中熟记二次函数的性质，求得恒成立时 的取值
3、范围，进而利用充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.- 2 -3.若等差数列 的前 5 项之和 ，且 ，则 （ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】B【解析】试题分析：由题意得， ，又 ，则 ，又 ，所以等差数列的公差为 ，所以 考点：等差数列的通项公式【此处有视频，请去附件查看】4.已知某 7 个数的平均数为 3，方差为 ，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为x，方差为 ，则（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式，进行求解，即可得到答案.【详解
4、】由题意，根据这 7 个数的平均数为 3，方差为 ，即 ， ，即 ，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 ，即 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记熟记的平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.- 3 -5.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 Nr(mod m)，例如 133(mod 5)下列程序框图的算法源于我国古代算术中国剩余定理 ，则执行该程序框图输出的 i 等于（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】【分析】由题意，根据给定的程
5、序框图，逐次循环，计算其运算的结果，即可得到答案.【详解】由题意，根据给定的程序框图，可知第一次执行循环体，得 i2，N18，此时 ，不满足第一条件；第二次执行循环体，得 i4，N22，此时 ，但 2225，不满足第二条件；第三次执行循环体，得 i8，N30，此时 ，不满足第一条件；第四次执行循环体，得 i16，N46，此时 ，且 4625，退出循环所以输出 i 的值为 16.选 C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断条件，逐次循环，准确求解每次循环的运算结果求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.如图，已知六棱
6、锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，则下列结论正确的是（ - 4 -）A. PBADB. 平面 PAB平面 PBCC. 直线 BC平面 PAED. 直线 CD平面 PAC【答案】D【解析】【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直，所以 A 答案不正确过点 A 作 PB 的垂线，垂足为 H，若平面 PAB平面 PBC，则 AH平面 PBC，所以 AHBC.又 PABC，所以 BC平面 PAB，则 BCAB，这与底面是正六边形不符，所以 B 答案不正确若直线 BC平面
7、PAE，则 BCAE，但 BC 与 AE 相交，所以 C 答案不正确故选 D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直7.在 的展开式中， 的系数为（ ）A. 320 B. 160 C. 160 D. 320【答案】B【解析】【分析】由题意，可知二项式 的展开式中第 r1 项为 ，令 和 ，- 5 -即可求解 得系数.【详解】由题意，可知二项式 的展
8、开式中第 r1 项为 ，令 ，得 r4；令 ，得 r3.在 展开式中 的系数为 .故选 B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.若函数 ( ， )的图象的一条对称轴方程是 ，函数的图象的一个对称中心是 ，则 的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到 ，得 ，得出 ，即可求解函数的最小正周期，得到答案.【详解】由题设，有 ，即 ，得 ，又 ，所以 ，从而 ，所以 ， ，即 ， ，又由 ，所以 ，于是 ，故 的最小正周期是 .选 B.【
9、点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中合理利用三角恒等变换的公式和三角函数的图象与性质，求解 的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知点(x，y)是不等式组 表示的平面区域内的一个动点，且目标函数- 6 -的最大值为 7，最小值为 1，则 （ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】【分析】由目标函数 的最大值为 7，最小值为 1，代入目标函数，联立方程组，求解 A、B 点的坐标，再代入 ，即可求解.【详解】由目标函数 的最大值为 7，最小值为 1，联立方程 和 ，解得 A(3，1)，B(1 ，1)，由题意知 A，B 两点在直线
10、 上，所以 解得 a1，b1.故选 B.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用问题，其中解答中正确理解题意，根据目标函数的最值，代入联立方程组求得 A、B 点坐标是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10.在ABC 中，ABC120，AB3，BC1，D 是边 AC 上的一点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设 ，根据向量的数量积，求解 ，即可求解的取值范围 .【详解】因为 D 是边 AC 上的一点(包括端点)，设 ABC120，AB3，BC1， ， ， .- 7 - 的取值范围是 .故选 D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及
11、平面向量的基本定理的应用，其中合理利用平面向量的数量积的运算公式，化简得到 是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.已知椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若AFBF，设ABF，且 ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意设椭圆的左焦点为 N，连接 AN，BN，因为 AFBF，所以四边形 AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得 ，得到 ， ，即可求解椭圆离心率的取值范围.【详解】由题意椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，设左焦点为 N，连接 AN，BN，因为 AF
12、BF，所以四边形 AFBN 为长方形根据椭圆的定义： ，由题ABF，则ANF，所以 ，利用 ， ， ， ，即椭圆离心率 e 的取值范围是 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到 ，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.- 8 -12.设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数 和 的图象相交于点 A，B，若在函数的图象上存在点 C，使得ABC 为等边三角形，则这样的直线 l（ ）A. 至少一条 B. 至多一条 C. 有且只有一条 D. 无数条【答案】C【解析】【分析】设直线 l 的方程为 ，
13、求得点 、 ，得到|AB|1，再由 CDAB，得点 ，根据点 C 在函数 的图象上，得到关于 的方程，即可求解.【详解】设直线 l 的方程为 ，由 ，得 ，所以点 由 ，得 ，所以点 ，从而|AB|1.如图，取 AB 的中点 D，连接 CD，因为ABC 为等边三角形，则 CDAB，且|AD| ，|CD| ，所以点 .因为点 C 在函数 的图象上，则 ，解得 ，所以直线 l 有且只有一条，选 C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及根据三角形的性质，合理列出关于实数 的方程是解答问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.-
14、 9 -二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体，分别利用圆柱和长方体的体积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图，可得原几何体表示两端为 个圆柱，中间为一个长方体，由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 ，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则 圆柱体的体积 ，则该几何体的体积 .【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则
15、，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.14.已知函数 的值域为 R，则实数 a 的最大值是_【答案】2【解析】【分析】由题意，当 时， ，由 的值域为 ，则当 时， ，根据对数函数的单- 10 -调性，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，当 时， .因为 的值域为 R，则当 时， ，因为 在 上单调递增，则 ，即 ，所以 ，所以 的最大值为 2.【点睛】本题主要考查了函数的值域的应用，其中解答中熟记函数的值域的定义，以及对数
16、函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知点 ， ，若圆 C： 上存在一点 P，使得PAPB，则正实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据圆 C 的方程，设点 ，由 P 点到线段 AB 中点的距离为 ，可化简得，其中 ，根据三角函数的性质，即可求解 .【详解】圆 C 的方程化为： ，设 ，如图，线段 AB 的中点坐标为 ， ，P 点到线段 AB 中点的距离为 ， ， ， ，其中 ， ，又 ， .- 11 -【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及直角三角形的性质和两点间的距离公式的应用，其中解答中根据直角三角形的性质，转化为P 点到线段
17、AB 中点的距离为 ，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.16.已知数列 满足： ， ， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是 _【答案】【解析】【分析】由题意，数列 满足 ，取倒数可得 ，即 ，利用等比数列的通项公式可得 ，代入得 ，再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列 满足 ，取倒数可得 ，即 ，所以数列 表示首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 ，所以 ，因为数列 是单调递增数列，所以当 时， ，即 ；- 12 -当 时， ，因此 .【点睛】本题主要考查了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，
18、数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17.在锐角ABC 中， .()求角 A 的大小；()求 的取值范围【答案】() () 【解析】【分析】()由题意，化简得 ，进而求得 ，即可得到 A 角的大小； ()由()知，在锐角ABC 中，求得 ，又由三角恒等变换的公式，化简得，利用三角函数的额性
19、质，即可求解.【详解】()由已知， ，即 .在ABC 中，因为 ，则 ，所以 ，从而 .所以 ，即 .()由()知，在锐角ABC 中， ，则 ，由 ,知 ，所以 ，即 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角- 13 -恒等变换的公式，合理应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于基础题.18.如图，三棱锥 PABC 的顶点 P 在圆柱轴线 上，底面ABC 内接于O，AB 为O 的直径，且ABC60，O 1OAB4， 上一点 D 在平面 ABC 上的射影 E 恰为劣弧 AC 的中点()设 ，求证：DO平面 PAC
20、；()设 ，求二面角 DACP 的余弦值【答案】() 见解析 () 【解析】【分析】解法一：()连结 DE，OE，设 OE 与 AC 的交点为 G，连结 PG，DG，DO，证得 DE平面 ABC，得出 AC平面 DEOO1，进而得 DOAC，又在矩形 中，证得 DOPG，利用线面垂直的判定定理，即可得到 DO平面 PAC.()由 AC平面 DEOO1，得DGP 即为二面角 DACP 的平面角，在DGP 中由余弦定理，即可求解二面角的余弦值.解法二：()在平面 ABC 中，过点 O 作 AB 的垂线，交弧 EC 于 H，建立空间直角坐标系，证得 ， ，得到 ACOD，APOD，即可得到 DO平面
21、 PAC.()分别求得平面 PAC 和平面 DAC 的法向量为 ，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.【详解】解法一：()连结 DE，OE，设 OE 与 AC 的交点为 G，连结 PG，DG，DO，因为ABC 内接于O，AB 为O 的直径，所以ABC 为直角三角形，又ABC60，AB4，故 BC2， ，- 14 -因为 E 是弧 AC 中点，所以 OEAC， .又因为 DE平面 ABC，故 DEAC，所以 AC平面 DEOO1，故 DOAC.又 ，所以在矩形 中， ， ，故 ，又 ，所以 ，所以 DOPG，所以 DO平面 PAC.()在轴截面内有 POOG1，所以 ， ， ，由 AC平
22、面 DEOO1，得DGP 即为二面角 DACP 的平面角，在DGP 中由余弦定理可求得 .解法二：()在平面 ABC 中，过点 O 作 AB 的垂线，交弧 EC 于 H，如图建立空间直角坐标系，因为ABC 内接于O，AB 为O 的直径，所以ABC 为直角三角形，又ABC60，AB4，故 BC2，AC2 ，又 ，所以 ， ， ， ，所以 ， ， ，所以 ， ，故 ACOD，APOD，从而 DO平面 PAC.()由 OP1 知 P(0，0，1)，设平面 PAC 的法向量为 ，则有- 15 -即 取 ，设平面 DAC 的法向量 ，则有即 取 ，则 ，所以二面角 DACP 的余弦值为 .【点睛】点睛：
23、本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱 80 个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品检测时，先从这一箱水果中任取 10 个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测设每个水果为不合格品的概率都为 ，且各个水果是否为不
24、合格品相互独立()记 10 个水果中恰有 2 个不合格品的概率为 ，求 取最大值时 p 的值 ；()现对一箱水果检验了 10 个，结果恰有 2 个不合格，以()中确定的 作为 p 的值已知每个水果的检测费用为 1.5 元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付 a 元的赔偿费用 ()若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【答案】()0.2 () () ()8- 16 -【解析】【分析】
25、()记 10 个水果中恰有 2 个不合格品的概率为 ，求得 ，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.()由()知 ，()中，依题意知 ， ，进而利用公式，即可求解；()如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为 120 元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.【详解】()记 10 个水果中恰有 2 个不合格品的概率为 f(p)，则 ， ，由 ，得 .且当 时， ；当 时， . 的最大值点 .()由()知 ，()令 Y 表示余下的 70 个水果中的不合格数，依题意知 ， .()如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为 120 元，由 ，得 ，且 ，当种植基地要对
26、每个不合格水果支付的赔偿费用至少为 8 元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20.如图所示，在ABC 中，AB2，AB 的中点为 O，点 D 在 AB 的延长线上，且 .固定边 AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D，记顶点 C 的轨迹为曲线 .以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点
27、建立平面直角坐标系- 17 -()求曲线 的方程；()过点 的直线 l 与曲线 交于不同的两点 S，R，直线 SB，RB 分别交曲线 于点E，F.设 ， ，求 的取值范围【答案】() (y0）() 【解析】【分析】()依题意得出 ，利用椭圆的定义，即可判定 C 点的轨迹，得到椭圆的方程；()设 ， ， ，得到 ， ，由 ，求得当直线 SB 与 x 轴不垂直时，设直线 SB 的方程为 ，代入椭圆 方程，利用根与系数的关系，化简得 ， ，设直线 l 的方程为 ，代入椭圆方程并整理得 ，利用根与系数的关系，化简得 ，即可求解.【详解】()依题意得 AB2， ，设动圆 M 与边 AC 的延长线相切于
28、，与边 BC 相切于 ，则 ， ， .所以，所以点 C 的轨迹 是以 A，B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆，且挖去长轴的两个顶点则曲线 的方程为 .- 18 -()设 ， ， ，由题意得 ，则 ， 由 ，得 ，即当直线 SB 与 x 轴不垂直时，直线 SB 的方程为 ，即 ，代入椭圆 方程并整理得 ，则有 ，即 ，于是 .当 SB 与 x 轴垂直时，点 S 的横坐标为 1，1，显然 成立同理可得 .设直线 l 的方程为 ，代入椭圆方程并整理，得 ，依题意有 解得又 ，则 .由 ，得 ，即 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,- 19 -解答此类题目
29、，通常确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数 有两个不同的极值点 ()求实数 a 的取值范围；()设 ，讨论函数 的零点个数【答案】() () 当 时， 有 2 个零点；当 时， 有 1 个零点；当时， 没有零点【解析】【分析】()由题意，求得 ，令 ，得 ，设 ，转化为直线 ya 与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数 的单调性与最值，进而求解
30、 的取值范围；()由()可知， ，且 ，求得函数 的单调性和极值，分类讨论，即可确定函数的极值点的个数.【详解】()由题意，求得 ，因为 有两个不同的极值点，则 有两个不同的零点令 ，则 ，即 .设 ，则直线 ya 与函数 的图象有两个不同的交点因为 ，由 ，得 ln x0，即 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 .因为当 时， ；当 时， ；当 时， ，- 20 -所以 a 的取值范围是 ()因为 ， 为 的两个极值点，则 ， 为直线 与曲线 的两个交点的横坐标由()可知， ，且 ，因为当 或 时， ，即 ；当 时， ，即 ，则 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，所以 的极小值点
31、为 ，极大值点为 .当 时，因为 ， ， ，则 ，所以 在区间 内无零点因为 ， ，则当 ，即 时， .又 ，则 ，所以.此时 在 和 内各有 1 个零点，且 .当 ，即 时， ，此时 在 内有 1 个零点，且 .当 ，即 时， ，此时 在 内无零点，且 .综上分析，当 时， 有 2 个零点；当 时， 有 1 个零点；当 时，没有零点【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数的极值点个数的确定问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进- 21 -行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判
32、断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.(二)选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l： （t 为参数）与曲线 C：（ 为参数）相交于不同的两点 A，B（）若 ，求线段 AB 中点 M 的坐标；（）若PAPBOP ，其中 P（2， ） ，求直线 l 的斜率【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程化为普通方程，当 时，设点 对应参数为 直线方程为 代
33、入曲线 的普通方程 ，得 ，由韦达定理和中点坐标公式求得 ，代入直线的参数方程可得点 的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数 的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得 的值即得斜率.试题解析：设直线 上的点 ， 对应参数分别为 ， 将曲线 的参数方程化为普通方程（1）当 时，设点 对应参数为 直线 方程为 （ 为参数） 代入曲线 的普通方程 ，得 ，则 ，- 22 -所以，点 的坐标为 （2）将 代入 ，得 ，因为 ， ，所以 得 由于 ，故 所以直线 的斜率为 考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数 ， .()当 a
34、1 时，求不等式 的解集；()若对任意实数 ， ，不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】() () 【解析】【分析】()当 时，不等式化为 ，分类讨论，即可求解不等式的解集；()根据绝对值的三角不等式，求得 ， ，根据 ，列出相应的不等式组，即可求解.【详解】()当 时，不等式化为 .则 或 或 ，即 或 或 ，即 ，所以不等式的解集是 ()因为 ，当 ，即 时取等号，所以 .因为 ，当 时取等号，所以 .据题意， ，则 ，即 ，- 23 -所以 解得 ，所以 a 的取值范围是 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式的三角不等式的应用，其中解答中合理分类讨论，以及正确运用绝对值的三角不等式求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.- 24 -
