1、12.4.2 抛物线的几何性质学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等 2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题(难点)自 主 预 习探 新 知抛物线的几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0) x22 py(p0)x22 py(p0)图象焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围x0， yRx0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向 向右 向左 向上 向下基础自测1判断正误：(1)抛物线是中心对称图形(
2、)(2)抛物线的范围是 xR.( )(3)抛物线是轴对称图形( )【解析】 (1).在抛物线方程中，以 x 代 x， y 代 y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形(2).抛物线的方程不同，其范围就不同，如 y22 px(p0)的范围是 x0， yR.(3).抛物线 y22 py(p0)的对称轴是 x 轴，抛物线 x22 py(p0)的对称轴是y 轴【答案】 (1) (2) (3)2抛物线 y22 px(p0)上一点 M 到焦点的距离是 a ，则点 M 的横坐标是(ap2)_. 【导学号：95902138】2【解析】 由抛物线的定义知：点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线
3、 x的距离，所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a .p2 p2【答案】 ap2合 作 探 究攻 重 难抛物线的方程及其几何性质(1)设 O 为坐标原点， F 为抛物线 C： y24 x 的焦点， P 为 C 上一点，若2PF4 ，则 POF 的面积为 _2(2)已知拋物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与拋物线交于 A、 B两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，求此拋物线的标准方程. 思路探究 (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中
4、的参数，即得抛物线的方程【自主解答】 (1)如图，设 P(x0， y0)，由 PF x0 4 ，2 2得 x03 ，代入抛物线方程得 y 4 3 24.2 20 2 2所以 y02 .所以 S POF OFy0 2 2 .612 12 2 6 3【答案】 2 3(2)由题意，设拋物线方程为 y2 ax(a0)焦点 F ，直线 l： x ，(a4， 0) a4 A、 B 两点的坐标分别为 ， ，(a4， a2)(a4， a2) AB a， OAB 的面积为 4， a4， a4 ，拋物线的方程为 y24 x.12 a4 2 2规律方法 1求抛物线的标准方程时，目标就是求解 p，只要列出一个关于 p
5、 的方程即可求解2求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；3(3)找关系(根据条件列出关于 p 的方程)；(4)得出抛物线的标准方程跟踪训练1已知双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2，若抛物线x2a2 y2b2C2： x22 py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2，求抛物线 C2的方程. 【导学号：95902139】【解】 双曲线 C1： 1( a0， b0)的离心率为 2，x2a2 y2b2 2， b a，ca a2 b2a 3双曲线的渐近线方程为 xy c，3抛物线 C2：
6、 x22 py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线的距离为(0，p2)2， p8，| 30p2|2所求的抛物线方程为 x216 y.抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面上的部分高 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小34船开始不能通航？思路探究 建 系 设 方 程 求 方 程 求 出 相 关 量 解 决 问 题【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为 x22 py(p0)，由题意，将 B(4，5)代入方程得 p ，抛物线方程为 x2 y.当船的两侧和85 165拱桥接触时船不能通航设此时船面宽
7、为 AA，则 A(2， yA)，由 22 yA，得 yA .165 54又知船露出水面上部分为 米，设水面与抛物线拱顶相距为 h，则 h| yA| 2(米)，34 34即水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时，小船不能通航4规律方法 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标跟踪训练2某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如 241 图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱
8、，箱宽 3 米，车与箱共高 4.5 米，问此车能否通过此隧道？说明理由. 【导学号：95902140】图 241【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(3，3)， A(3，3)设抛物线方程为 x22 py(p0)，将 B 点的坐标代入，得 92 p(3)， p ，抛物线方程为 x23 y(3 y0)32车与箱共高 4.5 m，集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m设抛物线上点 D 的坐标为( x0，0.5)，D的坐标为( x0，0.5)，则 x 3(0.5)，解得 x0 .2032 62| DD|2| x0| 3，故此车不能通过隧道.6直线与抛物线的综合应用探究问题1直线 l 过抛物
9、线 y22 px(p0)的焦点 F，与抛物线交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB 的长是多少？【提示】 由抛物线的定义可知 AF x1 ， BF x2 ，p2 p25所以 AB AF BF x1 x2 x1 x2 p.p2 p22斜率为 k 的直线 l 与抛物线 y22 px(p0)交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB 的长是多少？【提示】 设直线 l 的方程为 y kx m，则 AB x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 kx1 m kx2 m 2 |x1 x2|. 1 k2 x1 x2 2 1 k2这个公式称为弦长公式(1)已知过抛物线 y
10、26 x 焦点的弦长为 12，则该弦所在直线的倾斜角是_(2)求顶点在原点，焦点在 x 轴上且截直线 2x y10 所得弦长为 的抛物线方15程思路探究 (1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解【自主解答】 (1)抛物线的焦点为 .设直线方程为 y k ，与方程 y26 x(32， 0) (x 32)联立得：4 k2x2(12 k224) x9 k20.设直线与抛物线交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2) x1 x2 ， x1 x23 312.3k2 6k2 3k2 6k2 k21， k1.故弦所在直线的倾斜角是 或 . 4 34【答案】 或 4 34(2)设所求抛物线方程为
11、 y2 ax(a0) 直线方程变形为 y2 x1 设抛物线截直线得弦长为 AB，将代入整理得 4x2(4 a)x10，则 AB .解得 a12 或 a4.15故所求抛物线方程为 y212 x 或 y24 x.规律方法 直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于 A x1， y1 ， B x2， y2 两点，直线的斜率为 k.1 一般的弦长公式：| AB| |x1 x2|.1 k22 焦点弦长公式：当直线经过抛物线 y22 px p0 的焦点时，弦长|AB| x1 x2 p.3 求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求 x1， x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需
12、要列出参数的方程或不等式即可求解，而6 x1， y2 或 y1， x2 一般是求不出来的.跟踪训练3过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_. 【导学号：95902141】【解析】 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为直线倾斜角为 45，过抛物线焦点，所以可设直线方程为 y x ，代入抛物线方程得 2 px，即 x23 px 0，故p2 (x p2)2 p24x1 x23 p，由抛物线的定义可知，| AB| x1 x2 x1 x2 p4 p8，因此 p2.p2 p2【答案】 2构建体系当 堂 达
13、 标固 双 基1过抛物线 y24 x 的焦点作直线与抛物线相交于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，若x1 x28，则 PQ 的值为_. 【导学号：95902142】【解析】 PQ x1 x2210.【答案】 102.如图 242，已知等边三角形 AOB 的顶点 A， B 在抛物线 y26 x 上， O 是坐标原点，则 AOB 的边长为_图 242【解析】 设 AOB 边长为 a，则 A ， 6 a. a12 .(32a， a2) a24 32 3【答案】 12 33.如图 243 所示是抛物线形拱桥，当水面在 1 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽
14、_米. 7【导学号：95902143】图 243【解析】 设水面与拱桥的一个交点为 A，如图所示，建立平面直角坐标系，则 A 的坐标为(2，2)设抛物线方程为 x22 py(p0)，则 222 p(2)，得 p1.设水位下降 1 米后水面与拱桥的交点坐标为( x0，3)，则 x 6，解得 x0 ，所20 6以水面宽为 2 米6【答案】 2 64已知点 P(6， y)在抛物线 y22 px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于_【解析】 抛物线 y22 px(p0)的准线为 x ，因为 P(6， y)为抛物线上的点，p2所以 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以 p4，焦点 F 到抛物线p2准线的距离等于 4.【答案】 45若抛物线的顶点在原点，开口向上， F 为焦点， M 为准线与 y 轴的交点， A 为抛物线上一点，且 AM ， AF 3，求此抛物线的标准方程17【解】 设所求抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，设 A(x0， y0)，由题知M . AF3， y0 3， AM ，(0， p2) p2 17 x 17，20 (y0p2)2 x 8，代入方程 x 2 py0得，82 p ，解得 p2 或 p4.20 20 (3p2)所求抛物线的标准方程为 x24 y 或 x28 y.
