1、1模块综合测评(一)(时间 120分钟，满分 160分)一、填空题(本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案填写在题中横线上)1命题“ xR， x210” 的否定为_【解析】 全称命题“ xR ， x210”的否定是存在性命题 “xR， x210” 【答案】 x R， x2102下列求导数的运算： 1 ；(log 2x) ；(3 x)3 xlog3x；( x2cos x)(x1x) 1x2 1xln 22 xsin x； .(sin xln x) xcos xln x sin xx ln x 2其中正确的是_(填序号)【解析】 1 ，故错误；符合对数函数的求导公式，故正确；(x1x
2、) 1x2(3 x)3 xln 3，故错误；( x2cos x)2 xcos x x2sin x，故错误； ，(sin xln x) cos xln x sin x1x ln x 2 xcos xln x sin xx ln x 2正确【答案】 3已知函数 y f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程是 x2 y10，则 f(1)2 f(1)的值是_. 【导学号：95902269】【解析】 函数 y f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程是 x2 y10， f(1)1， f(1) ， f(1)2 f(1)2.12【答案】 24在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 C： 1( a0)
3、的一条渐近线与直线x2a2 y216x y10 平行，则双曲线 C的焦距为_【解析】 双曲线方程为 1，x2a2 y216渐近线方程为 y x， 1，4a 4a a0， a4， c 4 ，双曲线 C的焦距为 8 .a2 b2 2 22【答案】 8 25 “a1”是“ 1”的_条件1a【解析】 由 1 得：当 a0 时，有 1 a，即 a1；当 a0 时，不等式恒成立1a所以 1 a1 或 a0，从而 a1 是 1 的充分不必要条件1a 1a【答案】 充分不必要6已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点与x2a2 y2b2 3抛物线 y216 x的焦点相同则双曲线
4、的方程为_. 【导学号：95902270】【解析】 由双曲线渐近线方程可知 ， ba 3因为抛物线的焦点为(4,0)，所以 c4， 又 c2 a2 b2，联立，解得 a24， b212，所以双曲线的方程为 1.x24 y212【答案】 1x24 y2127设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y(1 x)f( x)的图象如图 1所示，则函数 f(x)的极大值是_，极小值是_图 1【解析】 由图可知，当 x2 时， f( x)0；当2 x1 时， f( x)0；当1 x2 时， f( x)0；当 x2 时， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，
5、在 x2 处取得极小值【答案】 f(2) f(2)8函数 y f(x)的图象如图 2所示，则导函数 y f( x)的图象大致是_(填序号)图 23【解析】 由 f(x)的图象及 f( x)的意义知，在 x0 时， f( x)为单调递增函数且f( x)0；在 x0 时， f( x)为单调递减函数且 f( x)0.故选【答案】 9函数 y xlnx， x(0,1)的单调增区间是_. 【导学号：95902271】【解析】 函数 y xln x的导数为 y( x)ln x x(ln x)ln x1，( x0)由 ln x10，得 x ，故函数 y xln x 的增区间为 .1e (1e， 1)【答案】
6、 (1e， 1)10从边长为 10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为_【解析】 设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm，则 y(102 x)(162 x)x4 x352 x2160 x(0 x5)， y12 x2104 x160.令 y0，得 x2 或 x (舍去)，203 ymax6122144(cm 3)【答案】 144 cm 311若函数 f(x) x36 bx3 b在(0,1)内只有极小值，则实数 b的取值范围是_【解析】 f( x)3 x26 b，由题意知，函数 f( x)图象如下Error! ，即Error!，得
7、 0 b .12【答案】 (0，12)12已知 F1， F2是椭圆 C： 1( a b0)的焦点， P是椭圆 C的准线上一点，x2a2 y2b2若 PF12 PF2，则椭圆 C的离心率的取值范围是_4【解析】 设椭圆 C的焦距为 2c， F1( c,0)， F2(c,0)， P(x， y)是椭圆右准线上一点由 PF12 PF2及两点间距离公式，得2 整理得 y2 c2，此方程表示圆心为 M x c 2 y2 x c 2 y2 (x53c)2 169，半径 r c的圆由题意知，此圆要与椭圆 C的右准线有公共点，所以 (53c， 0) 43 |53c a2c|c，于是 c c，整理得 c23 a2
8、9 c2，同除以 a2得 3，即 e23，43 4c3 53 a2c 43 13 c2a2 13所以 e ，又 e(0,1)， e1.33 3 33【答案】 33， 1)13设 AB为过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦，则 AB的最小值为_【解析】 焦点 F坐标 ，设直线 L过 F，则直线 L方程为 y k ，(p2， 0) (x p2)联立 y22 px得 k2x2( pk22 p)x 0，由根与系数的关系得 x1 x2 p .p2k24 2pk2AB x1 x2 p2 p 2 p ，2pk2 (1 1k2)因为 ktan a，所以 1 1 .1k2 1tan2 1sin2所以 AB
9、，当 a90时，即 AB垂直于 x轴时， AB取得最小值，最小值是2psin2AB2 p.【答案】 2 p14定义在 R上的函数 f(x)满足： f( x)1 f(x)， f(0)6， f( x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)e x5(其中 e为自然对数的底数)的解集为_. 【导学号：95902272】【解析】 设 g(x)e xf(x)e x，( xR)，则 g( x)e xf(x)e xf( x)e xe xf(x) f( x)1， f( x)1 f(x)， f(x) f( x)10， g( x)0， y g(x)在定义域上单调递增，e xf(x)e x5， g(x)5，又
10、g(0)e 0f(0)e 0615， g(x) g(0)， x0，不等式的解集为(0，)【答案】 (0，)二、解答题(本大题共 6小题，共 90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14分)已知 p： x23 x20， q：| x m|1.5(1)当 m1 时，若 p与 q同为真，求 x的取值范围；(2)若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m的取值范围【解】 (1)由 p，得 x2 或 x1，当 m1 时，由 q，得 0 x2，因为若 p与 q同为真，所以，0 x1；(2) p为 x ，1， 2q为 x m1， m1，因为，若 p是 q的充分不必要件，所以， Erro
11、r!，所以 m1,216(本小题满分 14分)过椭圆 1 内一点 M(2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，x216 y24求这条弦所在直线的方程【解】 设直线与椭圆的交点为 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， M(2，1)为 AB的中点 x1 x24， y1 y22，又 A、 B两点在椭圆上，则 x 4 y 16， x 4 y 16, 21 21 2 2两式相减得( x x )4( y y )0，21 2 21 2于是( x1 x2)(x1 x2)4( y1 y2)(y1 y2)0， ，即 kAB ，y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y2 442 12 12故所求直线的方程为
12、y1 (x2)，即 x2 y40.1217(本小题满分 14分)已知 a2，函数 f(x)( x2 ax a)ex(1)当 a1 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)的极大值是 6e2 ，求 a的值【解】 (1)当 a1 时， f(x)( x2 x1)e x， f( x)( x23 x2)e x，由 f( x)0，得 x2 或 x1， f(x)的增区间为(，2，1，)(2)f( x) x2( a2) x2 aex，由 f( x)0，得 x2 或 x a，列表讨论，得：x (，2) 2 (2， a) a ( a，) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 x2 时， f(x)
13、取得极大值，又 f(2)(4 a)e2 ， f(x)的极大值是 6e2 ，(4 a)e2 6e 2 ，解得 a2. a的值为2.618(本小题满分 16分)设 F1， F2分别是椭圆 E： x2 1(0 b1)的左、右焦点，y2b2过 F1的直线 l与 E相交于 A、 B两点，且| AF2|，| AB|，| BF2|成等差数列(1)求| AB|；(2)若直线 l的斜率为 1，求 b的值. 【导学号：95902273】【解】 (1)由椭圆定义知| AF2| AB| BF2|4，又 2|AB| AF2| BF2|，得|AB| .43(2)l的方程式为 y x c，其中 c 1 b2设 A(x1，
14、y1)， B(x2， y2)，则 A， B两点坐标满足方程组Error!化简得(1 b2)x22 cx12 b20.则 x1 x2 ， x1x2 . 2c1 b2 1 2b21 b2因为直线 AB的斜率为 1，所以| AB| |x2 x1|，即 |x2 x1|.243 2则 ( x1 x2)24 x1x2 .89 4 1 b2 1 b2 2 4 1 2b21 b2 8b4 1 b2 2解得 b .2219(本小题满分 16分)设函数 f(x)2ln x x2.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若关于 x的方程 f(x) x2 x2 a0 在区间1,3内恰有两个相异实根，求实数a的取值
15、范围【解】 (1) f( x) ， x0， x(0,1)时， f( x)0，所以函数 f(x)2 1 x2x的单调递增区间是(0,1)(2)将 f(x)代入方程 f(x) x2 x2 a0 得 2ln x x2 a0，令 g(x)2ln x x2 a则 g( x) ；当 2 x3 时， g( x)0；2 xx g(2)是 g(x)的极大值，也是 g(x)在上的最大值；关于 x的方程 f(x) x2 x2 a0 在区间内恰有两个相异实根；函数 g(x)在区间1,3内有两个零点；则有： g(2)0， g(1)0， g(3)0，所以有：Error!解得：2ln 35 a2ln 24，所以 a的取值范
16、围是(2ln 35,2ln 24)20(本小题满分 16分)已知椭圆 C经过点 ，且与椭圆 E： y21 有相同的焦(1，32) x227点(1)求椭圆 C的标准方程；(2)若动直线 l： y kx m与椭圆 C有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 交于点 Q，问：以线段 PQ为直径的圆是否经过一定点 M？若存在，求出定点 M的坐标；若不存在，请说明理由【解】 (1)椭圆 E的焦点为(1,0)，设椭圆 C的标准方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则Error! 解得Error!所以椭圆 C的标准方程为 1.x24 y23(2)联立Error!消去 y，得(34 k2)x28 kmx4 m2120，所以 64 k2m24(34 k2)(4m212)0，即 m234 k2.设 P(xp， yp)，则 xp ， yp kxp m m ，即 P .4km3 4k2 4km 4k2m 3m ( 4km， 3m)假设存在定点 M(s， t)满足题意，因为 Q(4,4k m)，则 ， (4 s,4k m t)，MP ( 4km s， 3m t) MQ 所以 (4 s) (4k m t) (s1)MP MQ ( 4km s) (3m t) 4km t( s24 s3 t2)0 恒成立，故Error!(3m m 4k)解得Error! 所以存在点 M(1,0)符合题意
