1、13.3.2 极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法(重点)自 主 预 习探 新 知1函数极值的定义极大值设函数 y f(x)在 x x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值函数的极值极小值设函数 y f(x)在 x x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值.2.求函数 y f(x)的极值的方法解方程 f( x)0，当 f( x0)0
2、 时：(1)如果在 x0附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值基础自测1判断正误：(1)函数 f(x) 有极值( )1x(2)函数的极大值一定大于极小值( )(3)若 f( x0)0，则 x0一定是函数 f(x)的极值点( )【解析】 (1). f(x) 在(，0)，(0，)上是减函数，故无极值1x(2).反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值(3).反例， f(x) x3， f( x)3 x2，且 f(0)0，但 x0 不是极值点【答案】 (1) (2) (3)2函数
3、y x 的极大值为_1x【解析】 y1 ，令 y0 得 x21， x1.1x2当 x(，1)时， y0.当 x(1,0)时， y0.2 y x 在 x1 处取得极大值 y2.1x【答案】 2合 作 探 究攻 重 难求函数的极值求下列函数的极值：(1)y2 x36 x218 x3；(2) y2 x . 8x【导学号：95902226】思路探究 f ( x0)0 只是可导函数 f(x)在 x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在 x0处取得极值【自主解答】 (1)函数的定义域为 R.y6 x212 x186( x3)( x1)，令 y0，得 x3 或 x1.当 x
4、变化时， y， y 的变化情况如下表：x (，3) 3 (3,1) 1 (1，)y 0 0 y 极大值 57 极小值7 从上表中可以看出，当 x 3 时，函数取得极大值，且 y 极大值 57.当 x 1 时，函数取得极小值，且 y 极小值 7.(2)函数的定义域为(，0)(0，)， y2 2 2 ，8x2 (1 4x2) (1 2x)(1 2x)令 y0，得 x2 或 x2.当 x2 时， y0；当2 x0 时， y0.即 x2 时， y 取得极大值，且极大值为8.当 0 x2 时， y0；当 x2 时， y0.即 x2 时， y 取得极小值，且极小值为 8.规律方法 求函数极值的方法1 求
5、f x 0 在函数定义域内的所有根；2 用方程 f x 0 的根将定义域分成若干个小区间、列表；3 由 f x 在各小区间内的符号，判断 f x 0 的根处的极值情况.跟踪训练1求函数 y x44 x35 的极值【解】 y4 x312 x24 x2(x3)3令 y4 x2(x3)0，得 x10， x23.当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表：x (，0) 0 (0,3) 3 (3，)y 0 0 y 不是极值 极小值22 故当 x3 时函数取得极小值，且 y 极小值 f(3)22.已知函数的极值求参数已知函数 f(x) ax3 bx2 cx(a0)在 x1 处取得极值，且 f(1)1.(
6、1)求常数 a， b， c 的值；(2)求函数的极大值和极小值思路探究 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此 f(1)0， f(1)0，再由 f(1)1，得到三个关于 a， b， c 的方程，联立可求得a， b， c 的值【自主解答】 (1) f( x)3 ax22 bx c，由 x1 是极值点，得Error! 又 f(1)1，所以 a b c1. 联立，解得Error!，经验证 a， b， c 的值符合题意(2)由(1)得 f(x) x3 x，所以 f( x) x2 (x1)( x1)，12 32 32 32 32当 x1 或 x1 时， f( x)0；当1 x1 时， f( x)
7、0.所以，当 x1 时， f(x)有极大值 f(1)1；当 x1 时， f(x)有极小值 f(1)1.规律方法 已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：1 常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处取得极值 10，求常数 a、 b 的值. 【导学号：95902227】【解】 f( x)3 x22 ax b，依题意得Error!即Error!解得Error! 或Error!但由于当 a3， b3 时， f( x)
8、3 x26 x30，故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x1 处取得极值，所以Error!不符合题意，舍去；4而当Error! 时，经检验知符合题意，故 a， b 的值分别为 4，11.函数极值的综合应用探究问题1已知三次函数 f(x) ax3 bx2 cx d(a0)，若 f( x)0 的两个根是 x1， x2，且 x1 x2，分别写出当 a0 和 a0 时函数 f(x)的单调区间【提示】 由题意可知 f( x) a(x x1)(x x2)，当 a0 时，令 f( x)0 可得x x1或 x x2，令 f( x)0 可得 x1 x x2，所以当 a0 时，函数 f(x)的单增区间是(，
9、 x1)，( x2，)，单调减区间是( x1， x2)同理当 a0 时，函数 f(x)的单增区间是( x1， x2)，单减区间是(， x1)，(x2，)2当 a0 时，分别判断当 x和 x时探究 1 中的三次函数 f(x)的变化趋势是怎样的？当 a0 时呢？【提示】 当 a0 时，若 x，则 f(x)，若 x，则 f(x)；当 a0 时，若 x，则 f(x)，若 x，则 f(x).3设 a0，讨论探究 1 中的三次函数 f(x)的图象和 x 轴交点的个数？【提示】 因为 a0，所以函数 f(x)的单调增区间是(， x1)，( x2，)，单减区间是( x1， x2)所以 f(x)的极大值为 f(
10、x1)，极小值为 f(x2)，显然 f(x1) f(x2)，所以当 f(x2)0或 f(x1)0 时，函数 f(x)的图象和 x 轴只有 1 个交点；当 f(x1)0 或 f(x2)0 时，函数 f(x)的图象和 x 轴有 2 个交点；当 f(x1)0 且 f(x2)0 时，函数 f(x)的图象和 x 轴有 3 个交点已知函数 f(x) x33 ax1， a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 y m 与 y f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围思路探究 解(1)需要对参数 a 分类讨论解决(2)可根据在 x1 处取得极值的条件，解出 a
11、的值，进而求 m 的取值范围【自主解答】 (1) f( x)3 x23 a3( x2 a)，当 a0 时，对 xR，有 f( x)0，所以当 a0 时， f(x)的单调递增区间为(，)；当 a0 时，由 f( x)0，解得 x 或 x ，a a由 f( x)0，解得 x ，a a5所以当 a0 时， f(x)的单调递增区间为(， ， ，)，a af(x)的单调递减区间为( ， )a a(2)因为 f(x)在 x1 处取得极值，所以 f(1)3(1) 23 a0.所以 a1.所以 f(x) x33 x1， f( x)3 x23.由 f( x)0，解得 x11， x21.由(1)知 f(x)的单调
12、性，可知 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1 ，在 x1 处取得极小值 f(1)3.因为直线 y m 与函数 y f(x)的图象有三个不同的交点，又 f(3)193， f(3)171，结合 f(x)的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知 m 的取值范围是( 3,1)规律方法 应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与 x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.跟踪训练3已知函数 f(x) x34 x4.试分析方程 a f(x)的根的个数13【解】 f(x) x34 x4， f
13、( x) x24( x2)( x2)由 f( x)0 得13x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时，函数取得极大值 f(2) .当 x2 时，函数取得极小值 f(2) .283 43且 f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示6结合图象：当 a 或 a 时，方程 a f(x)有一个根283 43当 a 时，方程 a f(x)有三个根43 283当 a 或 a 时，方程 a f(x)有两个根28
14、3 43构建体系当 堂 达 标固 双 基1下列四个函数中： y x3； y x21； y x2； y2 x 能在 x0 处取得极值的函数是_(填序号)【解析】 均为单调函数，不存在极值，在 x0 处取得极值【答案】 2下列结论：导数为零的点一定是极值点；如果在 x0附近的左侧 f ( x)0，右侧 f ( x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧 f ( x)0，右侧 f ( x)0，那么 f(x0)是极小值；如果在 x0附近的左侧 f ( x)0，右侧 f ( x)0，那么 f(x0)是极大值其中正确的是_. 【导学号：95902228】【解析】 根据函数极值的概念，依次判断
15、各选项知，选项，均错，选项正确【答案】 3函数 f(x) x33 x21 在 x_处取得极小值【解析】 f( x)3 x26 x3 x(x2)，当 x(0,2)时， f( x)0， f(x)递减，7当 x(，0)或(2，)时， f( x)0， f(x)递增，在 x2 处函数取得极小值【答案】 24函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图 336所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有_个极小值点图 336【解析】 由题图可知，在区间( a， x1)，( x2,0)，(0， x3)内 f( x)0；在区间(x1， x2)，( x3， b
16、)内 f( x)0，即 f(x)在( a， x1)内单调递增，在( x1， x2)内单调递减，在( x2， x3)内单调递增，在( x3， b)内单调递减所以，函数 f(x)在开区间( a， b)内只有一个极小值点，极小值点为 x x2.故填 1.【答案】 15求函数 f(x) x2 xln x2 的极值. 【导学号：95902229】【解】 函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)2 x1 ，1x 2x 1 x 1x当 0 x 时 f( x)0，当 x 时 f( x)0，12 12函数 f(x)在区间 单调减，在区间 单调递增，(0，12) (12， )当 x 时，函数 f(x)取得极小值为 ln 2，无极大值12 114
