1、- 1 -辽宁省沈阳市东北育才学校 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理考试时间 120 分钟 试卷满分 120 分一选择题（共 12 小题）1 （ ）2)3(iA B C D68i68i68i682复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的虚部为（ ）iz zA B C D12ii23下列求导计算正确的是（ ）A B2ln)l(xxe22log)(lC Dl1x xcssin4记 为虚数集，设 则下列类比所得的结论正确的是（ ）I IyRba、 ,A由 ，类比得 B由 ，类比得bx 02a02xC由 ，类比得22)()(yyxD由 ，类比得ba05下列表述正确的是（ ）归纳推理是由特
2、殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若 ，且 ，则 的最小值是 3Cz1|2|iz|2|izA B C D6设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）A lnxy)0,( 01ayxa2B C D 221217某个班级组织元旦晚会，一共准备了 六个节目，节目演出顺序第FECBA、一个节目只能排 或 ，最后一个节目不能排 ，且 要求相邻出场，则不同的节ABD、- 2 -目顺序共有（ ）种A72 B84 C96 D1208用数学归纳法证明“ 能被 13 整除”的第二步中，当 时为了)(34*12Nnn 1kn使用归纳假设，对 变形
3、正确的是（ ）1kA B12)34(6k kk3942C D112345kkk 1214)(k9 的展开式中 的系数是（ ）82)1(xxA-1288 B1280 C1288 D128010某班有 50 人，从中选 10 人均分 2 组（即每组 5 人） ，一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A B C D510C2510 2510A 2540AC11函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足)(xf ),()(xf，则不等式 的解集为（ ）02 201833)()8xfxA B15|x 2015|C D28|8|x12若函数 在 上有最大值无最小值，则实数的取值范
4、围为（ 1)(23xaxf ),(）A B C D43543a435a二填空题（共 4 小题）13 的展开式中，常数项为 62)(x14将数列 按“第 组有 个数”的规则分组如下：（1） ， （3，9） ， （27，81，243） ，31nn，则第 100 组中的第一个数是 15定积分 等于 102)(dxx- 3 -16已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的值22)()()eaxfx0x14)(20exf a为 三解答题（共 6 小题）17 （10 分）已知复数 （ 是虚数单位， ） ，且 为纯虚数（ 是miz1Rm)3(izz的共轭复数） （1）设复数 ，求 ；z i2|1z（2）设复数
5、 ，且复数 所对应的点在第一象限，求实数 的取值范围zia201722 a18 （12 分） （1）用分析法证明： ；756（2）用反证法证明： ，不能为同一等差数列中的三项532，19 （12 分）已知数列 满足： ，且 na)1(21nna61（1）求 的值，并猜想 的通项公式；432,（2）试用数学归纳法证明上述猜想20 （12 分）已知函数 xfln)(（1）求函数 的单调区间；x（2）已知 ， （其中 是自然对数的底数） ，求证： Rba、 e ba21 （12 分） （1）设 展开式中的各项系数之和为 ，各项的二项式系数之和为 ，nx)13(AB若 ，求展开式中的 项的系数7BAx
6、（2）若 展开式前三项的二项式系数和等于 79，求 的展开式中系数最n)( nx)21(大的项？22 （12 分）设函数 xxegeaf)(,1()2（）求函数 单调递减区间；)(xF- 4 -（）若函数 的极小值不小于 ，求实数 的取值范围)0()(axgfxG23ea- 5 -2018-2019 下学年度高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题）1 （3 i） 2（ ）A86 i B8+6 i C86 i D8+6 i【解答】解：（3 i） 296 i+i286 i故选： C2复数 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为（ ）A1 B2 C i D2 i【解答】
7、解： ，复数 z 的虚部为1故选： A3下列求导计算正确的是（ ）A BC D （ xsinx）cos x【解答】解： A 选项应为 ， C 选项应为 2xln2，D 选项应为 sinx+xcosx故选： B4记 I 为虚数集，设 a， bR， x， y I则下列类比所得的结论正确的是（ ）A由 abR，类比得 xy IB由 a20，类比得 x20C由（ a+b） 2 a2+2ab+b2，类比得（ x+y） 2 x2+2xy+y2D由 a+b0 a b，类比得 x+y0 x y【解答】解： A：由 abR，不能类比得 xy I，如 x y i，则 xy1 I，故 A 不正确；B：由 a20，不
8、能类比得 x20如 x i，则 x20，故 B 不正确；- 6 -C：由（ a+b） 2 a2+2ab+b2，可类比得（ x+y） 2 x2+2xy+y2故 C 正确；D：若 x， y I，当 x1+ i， y i 时， x+y0，但 x， y 是两个虚数，不能比较大小故 D 错误故 4 个结论中， C 是正确的故选： C5下列表述正确的是（ ）归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若 zC，且| z+22 i|1，则| z22 i|的最小值是 3A B C D【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故正
9、确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故错误；分析法是一种直接证明法，故错误；|z+22 i|1 表示复平面上的点到（2，2）的距离为 1 的圆，| z22 i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2（2）|13，故正确故选： D6设曲线 y 在点（1，0）处的切线与直线 x ay+10 垂直，则 a（ ）A2 B2 C D【解答】解：由题意得， （ x0） ，在点（1，0）处的切线与直线 x ay+10 垂直， a，解得 a ，故选： C- 7 -7某个班级组织元旦晚会，一共准备了 A、 B、 C、 D、 E、
10、 F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排 A 或 B，最后一个节目不能排 A，且 C、 D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种A72 B84 C96 D120【解答】解：按照第一个节目分两类：排 A，将 C， D 捆绑在一起当一个元素，共 4 个元素作全排列，有 A A 48 种；排 B，将 C， D 捆绑在一起当一个元素，共 4 个元素作全排列，有 48 种，其中 A 排最后一个节目的有 A A 12，故共有 481236 种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有 48+3684 种故选： B8用数学归纳法证明“4 2n1 +3n+1（ nN *）能被 13 整除”的第二步中
11、，当 n k+1 时为了使用归纳假设，对 42k+1+3k+2变形正确的是（ ）A16（4 2k1 +3k+1）133 k+1B44 2k+93kC （4 2k1 +3k+1）+154 2k1 +23k+1D3（4 2k1 +3k+1）134 2k1【解答】解：假设 n k 时命题成立即：4 2k1 +3k+1被 13 整除当 n k+1 时，4 2k+1+3k+2164 2k1 +33k+116（4 2k1 +3k+1）133 k+1故选： A9 （2 x2 x+1） 8的展开式中 x5的系数是（ ）A-1288 B1280 C1288 D1280【解答】解： x5可能是（ x） 5， （2
12、 x2） （ x） 3， （2 x2） 2（ x） ， （ x） 5表示在 8 个式子中 5 个选（ x） ，其余 3 个选出 1，系数为（1） 5 1356； （2 x2） （ x） 3表示在 8 个式子中 1 个选 2x2，其余 7 个中 3 个选（ x） ，其余选 1，系数为2 （1） 314560；（2 x2） 2（ x）表示在 8 个式子中 2 个选 2x2，其余 6 个中一个选（ x） ，其余选 1，系数为 22 （1）1 5672，所以将（2 x2 x+1） 8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是565606721288- 8 -故选： A10某班有 50 人，从中选 10 人
13、均分 2 组（即每组 5 人） ，一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A BC D【解答】解：由题意，先分组，可得 ，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有 ，故选： A11函数 f（ x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，其导函数为 f（ x） ，且满足f（ x）+ f（ x）0，则不等式 的解集为（ ）A x|x2015 B x|x2015C x|2018 x0 D x|2018 x2015【解答】解：根据题意，设 g（ x） x2f（ x） ， （ x0） ，则导数 g（ x）（ x2） f（ x）+ x2f（ x） x2f（ x）+2 xf（ x） ；函数
14、f（ x）在区间（0，+）上，满足 f（ x）+ f（ x）0，则有 x2f（ x）+2xf（ x）0，则有 g（ x）0，即函数 g（ x）在区间（0，+）上为增函数；（ x+2018） 2fx+2018）3 2f（3） g（2018） g（3） ，则有 0 x+20183，解可得：2018 x2015；即不等式的解集为 x|2018 x2015；故选： D12若函数 f（ x） ax3+2x2+x+1 在（1，2）上有最大值无最小值，则实数 a 的取值范围为（ ）- 9 -A a B a C D【解答】解： f（ x）3 ax2+4x+1， x（1，2） a0 时， f（ x）4 x+10
15、，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a0 时，1612 a由0，解得 ，此时 f（ x）0，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增，无极值，舍去由0，解得 a （ a0） ，由 f（ x）0，解得x1 ， x2 当 时， x10， x20，因此 f（ x）0，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增，无极值，舍去当 a0 时， x10， x20，函数 f（ x） ax3+2x2+x+1 在（1，2）上有最大值无最小值，必然有 f（ x1）0，1 2， a0解得： a 综上可得： a 故选： C二填空题（共 4 小题）13解：（ x ） 6的展开式的通项公式为 Tr+
16、1 （2） rx63 r，令 63 r0，求得 r2，可得常数项 460，14将数列3 n1 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下：（1） ， （3，9） ， （27，81，243） ，则第 100 组中的第一个数是 3 4950 【解答】解：由题意，前 99 组数共包含 1+2+3+99 4950 个数，则第 100 组数中的第一个数应是原数列的第 4951 项，即 34950故答案为：3 4950- 10 -15定积分 （ x） dx 等于 【解答】解： （ x） dx dx xdxdx dx ，由 y ，则函数 y 表示以（1，0）为圆心，半径 r1 的圆的， dx ， dx ，故
17、答案为： 16已知函数 f（ x）（ x+a） 2+（ ex+ ） 2，若存在 x0，使得 f（ x0） ，则实数 a的值为 【解答】解：函数 f（ x）（ x+a） 2+（ ex+ ） 2，函数 f（ x）可以看作是动点 M（ x， ex）与动点 N（ a， ）之间距离的平方，动点 M 在函数 y ex的图象上， N 在直线 y x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由 y ex得， y ex ，解得 x1，所以曲线上点 M（1， ）到直线 y x 的距离最小，最小距离 d ，则 f（ x） ，根据题意，要使 f（ x0） ，则 f（ x0） ，此时 N 恰好为垂足，由 K
18、MN e，解得 a 故答案为： 三解答题（共 6 小题）- 11 -17已知复数 z1+ mi（ i 是虚数单位， mR） ，且 为纯虚数（ 是 z 的共轭复数）（1）设复数 z1 ，求| z1|；（2）设复数 z2 ，且复数 z2所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围【解答】解： z1+ mi， 1 mi （3+ i）（1 mi） （3+ i）（3+ m）+（13 m） i又 （3+ i）为纯虚数， ，解得 m3 z13 i（1） z1 i，| z1| ；（2） z13 i， z2 ，又复数 z2所对应的点在第一象限， ，解得： a 18 【解答】证明（1）要证明 2 ；只要证 2 ，
19、只要证（ ） 2（ 2 ） 2，只要证 13+2 13+2 ，只要证即证 4240 而 4240 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设 ， ， 为同一等差数列的三项，则存在整数 m， n 满足mdnd n m 得： n m （ n m） 两边平方得：3 n2+5m22 mn2（ n m） 2- 12 -左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确故 ， ， 不能为同一等差数列中的三项19已知数列 an满足： nan+1（ n+2） （ an1） ，且 a16（1）求 a2， a3， a4的值，并猜想 an的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想解：（1）由递推公式可得 a
20、215， a328， a445，可猜想 an（ n+1） （2 n+1）2 n2+3n+1（2）下面用数学归纳法证明猜想成立当 n1 时，猜想显然成立；假设 n k（ k1， kN +）时猜想成立，即 ，则 n k+1 时，由 kak+1（ k+2） （ ak1）可得 （ k+2） （2 k+3）2（ k+1） 2+3（ k+1）+1，即：当 n k+1 时，猜想也成立，由可知，当 nN +时， an2 n2+3n+120已知函数 （1）求函数 f（ x）的单调区间；（2）已知 a、 bR， a b e（其中 e 是自然对数的底数） ，求证： ba ab【解答】解：（1） ，当 x e 时，
21、，函数 在 上是单调递减当 0 x e 时， ，函数 在（0， e）上是单调递增 f（ x）的增区间是（0， e） ，减区间是 （2）证明： ba0， ab0要证： ba ab，只需证： alnb blna只需证 （ a b e）由（1）得函数 在 上是单调递减- 13 -当 a b e 时，有 ，即 得证21 （1）设 展开式中的各项系数之和为 A，各项的二项式系数之和为 B，若A+B272，求展开式中的 x 项的系数（2）若 展开式前三项的二项式系数和等于 79，求 的展开式中系数最大的项？【解答】解：（1）二项式 展开式中的各项系数之和为 A（3+1） n4 n，各项的二项式系数之和为
22、B2 n，若 A+B4 n+2n272，2 n16，求得 n4，故展开式中的 x 项为 108 x，故展开式中的 x 项的系数为 108（2）若 展开式前三项的二项式系数和等于 79，即+ + 1+ n+ 79，求得 n12，故 的展开的通项公式为 Tr+1 22r12 xr，令 ，求得 r ， r 为整数， r10，故展开式系数最大的项为第 11 项，即 T11 28x1016896 x1022设函数 （）求函数 单调递减区间；（）若函数 G（ x） f（ x）+ g（ x） （ a0）的极小值不小于 ，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）由题可知 ，所以由 F（ x）0，解得 或 综上所
23、述， F（ x）的递减区间为 和 - 14 -（）由题可知 ，所以 （1）当 a0 时， ，则 G（ x）在（，1）为增函数，在（1，+）为减函数，所以 G（ x）在 R 上没有极小值，故舍去；（2）当 a0 时， ，由 G（ x）0 得 ，由于 a0，所以 ，因此函数 G（ x）在（，1）为增函数，在 为减函数，在 为增函数，所以 G（ x） 极小值 即 令 ，则上述不等式可化为 上述不等式 设 ，则 ，故 h（ t）在（1，+）为增函数又 h（2）0，所以不等式的解为 t2，因此 ，所以 ，解得1 a0综上所述 a1，0） 2018-2019 下学年度高二期中数学考试试卷参考答案与试题解析
24、一选择题（共 12 小题）1 （3 i） 2（ ）A86 i B8+6 i C86 i D8+6 i- 15 -【解答】解：（3 i） 296 i+i286 i故选： C2复数 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的虚部为（ ）A1 B2 C i D2 i【解答】解： ，复数 z 的虚部为1故选： A3下列求导计算正确的是（ ）A BC D （ xsinx）cos x【解答】解： A 选项应为 ， C 选项应为 2xln2，D 选项应为 sinx+xcosx故选： B4记 I 为虚数集，设 a， bR， x， y I则下列类比所得的结论正确的是（ ）A由 abR，类比得 xy IB由 a20，
25、类比得 x20C由（ a+b） 2 a2+2ab+b2，类比得（ x+y） 2 x2+2xy+y2D由 a+b0 a b，类比得 x+y0 x y【解答】解： A：由 abR，不能类比得 xy I，如 x y i，则 xy1 I，故 A 不正确；B：由 a20，不能类比得 x20如 x i，则 x20，故 B 不正确；C：由（ a+b） 2 a2+2ab+b2，可类比得（ x+y） 2 x2+2xy+y2故 C 正确；D：若 x， y I，当 x1+ i， y i 时， x+y0，但 x， y 是两个虚数，不能比较大小故 D 错误故 4 个结论中， C 是正确的故选： C5下列表述正确的是（
26、）- 16 -归纳推理是由特殊到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；分析法是一种间接证明法；若 zC，且| z+22 i|1，则| z22 i|的最小值是 3A B C D【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故错误；分析法是一种直接证明法，故错误；|z+22 i|1 表示复平面上的点到（2，2）的距离为 1 的圆，| z22 i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2（2）|13，故正确故选： D6设曲线 y 在点（1
27、，0）处的切线与直线 x ay+10 垂直，则 a（ ）A2 B2 C D【解答】解：由题意得， （ x0） ，在点（1，0）处的切线与直线 x ay+10 垂直， a，解得 a ，故选： C7某个班级组织元旦晚会，一共准备了 A、 B、 C、 D、 E、 F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排 A 或 B，最后一个节目不能排 A，且 C、 D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种A72 B84 C96 D120【解答】解：按照第一个节目分两类：排 A，将 C， D 捆绑在一起当一个元素，共 4 个元素作全排列，有 A A 48 种；- 17 -排 B，将 C， D 捆绑在一起当一个
28、元素，共 4 个元素作全排列，有 48 种，其中 A 排最后一个节目的有 A A 12，故共有 481236 种，根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有 48+3684 种故选： B8用数学归纳法证明“4 2n1 +3n+1（ nN *）能被 13 整除”的第二步中，当 n k+1 时为了使用归纳假设，对 42k+1+3k+2变形正确的是（ ）A16（4 2k1 +3k+1）133 k+1B44 2k+93kC （4 2k1 +3k+1）+154 2k1 +23k+1D3（4 2k1 +3k+1）134 2k1【解答】解：假设 n k 时命题成立即：4 2k1 +3k+1被 13 整除当 n
29、 k+1 时，4 2k+1+3k+2164 2k1 +33k+116（4 2k1 +3k+1）133 k+1故选： A9 （2 x2 x+1） 8的展开式中 x5的系数是（ ）A-1288 B1280 C1288 D1280【解答】解： x5可能是（ x） 5， （2 x2） （ x） 3， （2 x2） 2（ x） ， （ x） 5表示在 8 个式子中 5 个选（ x） ，其余 3 个选出 1，系数为（1） 5 1356； （2 x2） （ x） 3表示在 8 个式子中 1 个选 2x2，其余 7 个中 3 个选（ x） ，其余选 1，系数为2 （1） 314560；（2 x2） 2（ x）
30、表示在 8 个式子中 2 个选 2x2，其余 6 个中一个选（ x） ，其余选 1，系数为 22 （1）1 5672，所以将（2 x2 x+1） 8展开合并同类项之后的式子中x5的系数是565606721288故选： A10某班有 50 人，从中选 10 人均分 2 组（即每组 5 人） ，一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A B- 18 -C D【解答】解：由题意，先分组，可得 ，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有 ，故选： A11函数 f（ x）是定义在区间（0，+）上的可导函数，其导函数为 f（ x） ，且满足f（ x）+ f（ x）0，则不等式 的解集为
31、（ ）A x|x2015 B x|x2015C x|2018 x0 D x|2018 x2015【解答】解：根据题意，设 g（ x） x2f（ x） ， （ x0） ，则导数 g（ x）（ x2） f（ x）+ x2f（ x） x2f（ x）+2 xf（ x） ；函数 f（ x）在区间（0，+）上，满足 f（ x）+ f（ x）0，则有 x2f（ x）+2xf（ x）0，则有 g（ x）0，即函数 g（ x）在区间（0，+）上为增函数；（ x+2018） 2fx+2018）3 2f（3） g（2018） g（3） ，则有 0 x+20183，解可得：2018 x2015；即不等式的解集为 x|
32、2018 x2015；故选： D12若函数 f（ x） ax3+2x2+x+1 在（1，2）上有最大值无最小值，则实数 a 的取值范围为（ ）A a B a C D【解答】解： f（ x）3 ax2+4x+1， x（1，2） a0 时， f（ x）4 x+10，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增，无极值，舍去a0 时，1612 a由0，解得 ，此时 f（ x）0，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增，无极- 19 -值，舍去由0，解得 a （ a0） ，由 f（ x）0，解得x1 ， x2 当 时， x10， x20，因此 f（ x）0，函数 f（ x）在 x（1，2）内单调递增
33、，无极值，舍去当 a0 时， x10， x20，函数 f（ x） ax3+2x2+x+1 在（1，2）上有最大值无最小值，必然有 f（ x1）0，1 2， a0解得： a 综上可得： a 故选： C二填空题（共 4 小题）13解：（ x ） 6的展开式的通项公式为 Tr+1 （2） rx63 r，令 63 r0，求得 r2，可得常数项 460，14将数列3 n1 按“第 n 组有 n 个数”的规则分组如下：（1） ， （3，9） ， （27，81，243） ，则第 100 组中的第一个数是 3 4950 【解答】解：由题意，前 99 组数共包含 1+2+3+99 4950 个数，则第 100
34、组数中的第一个数应是原数列的第 4951 项，即 34950故答案为：3 495015定积分 （ x） dx 等于 【解答】解： （ x） dx dx xdxdx dx ，由 y ，则函数 y 表示以（1，0）为圆心，半径 r1 的圆的- 20 -， dx ， dx ，故答案为： 16已知函数 f（ x）（ x+a） 2+（ ex+ ） 2，若存在 x0，使得 f（ x0） ，则实数 a的值为 【解答】解：函数 f（ x）（ x+a） 2+（ ex+ ） 2，函数 f（ x）可以看作是动点 M（ x， ex）与动点 N（ a， ）之间距离的平方，动点 M 在函数 y ex的图象上， N 在直线
35、 y x 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由 y ex得， y ex ，解得 x1，所以曲线上点 M（1， ）到直线 y x 的距离最小，最小距离 d ，则 f（ x） ，根据题意，要使 f（ x0） ，则 f（ x0） ，此时 N 恰好为垂足，由 KMN e，解得 a 故答案为： 三解答题（共 6 小题）17已知复数 z1+ mi（ i 是虚数单位， mR） ，且 为纯虚数（ 是 z 的共轭复数）（1）设复数 z1 ，求| z1|；（2）设复数 z2 ，且复数 z2所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围- 21 -【解答】解： z1+ mi， 1 mi （3+ i）
36、（1 mi） （3+ i）（3+ m）+（13 m） i又 （3+ i）为纯虚数， ，解得 m3 z13 i（1） z1 i，| z1| ；（2） z13 i， z2 ，又复数 z2所对应的点在第一象限， ，解得： a 18 【解答】证明（1）要证明 2 ；只要证 2 ，只要证（ ） 2（ 2 ） 2，只要证 13+2 13+2 ，只要证即证 4240 而 4240 显然成立，故原不等式成立（2）证明：假设 ， ， 为同一等差数列的三项，则存在整数 m， n 满足mdnd n m 得： n m （ n m） 两边平方得：3 n2+5m22 mn2（ n m） 2左边为无理数，右边为有理数，且有
37、理数无理数所以，假设不正确故 ， ， 不能为同一等差数列中的三项- 22 -19已知数列 an满足： nan+1（ n+2） （ an1） ，且 a16（1）求 a2， a3， a4的值，并猜想 an的通项公式；（2）试用数学归纳法证明上述猜想解：（1）由递推公式可得 a215， a328， a445，可猜想 an（ n+1） （2 n+1）2 n2+3n+1（2）下面用数学归纳法证明猜想成立当 n1 时，猜想显然成立；假设 n k（ k1， kN +）时猜想成立，即 ，则 n k+1 时，由 kak+1（ k+2） （ ak1）可得 （ k+2） （2 k+3）2（ k+1） 2+3（ k+
38、1）+1，即：当 n k+1 时，猜想也成立，由可知，当 nN +时， an2 n2+3n+120已知函数 （1）求函数 f（ x）的单调区间；（2）已知 a、 bR， a b e（其中 e 是自然对数的底数） ，求证： ba ab【解答】解：（1） ，当 x e 时， ，函数 在 上是单调递减当 0 x e 时， ，函数 在（0， e）上是单调递增 f（ x）的增区间是（0， e） ，减区间是 （2）证明： ba0， ab0要证： ba ab，只需证： alnb blna只需证 （ a b e）由（1）得函数 在 上是单调递减当 a b e 时，有 ，即 得证21 （1）设 展开式中的各项系
39、数之和为 A，各项的二项式系数之和为 B，若A+B272，求展开式中的 x 项的系数（2）若 展开式前三项的二项式系数和等于 79，求 的展开式中系数- 23 -最大的项？【解答】解：（1）二项式 展开式中的各项系数之和为 A（3+1） n4 n，各项的二项式系数之和为 B2 n，若 A+B4 n+2n272，2 n16，求得 n4，故展开式中的 x 项为 108 x，故展开式中的 x 项的系数为 108（2）若 展开式前三项的二项式系数和等于 79，即+ + 1+ n+ 79，求得 n12，故 的展开的通项公式为 Tr+1 22r12 xr，令 ，求得 r ， r 为整数， r10，故展开式
40、系数最大的项为第 11 项，即 T11 28x1016896 x1022设函数 （）求函数 单调递减区间；（）若函数 G（ x） f（ x）+ g（ x） （ a0）的极小值不小于 ，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）由题可知 ，所以由 F（ x）0，解得 或 综上所述， F（ x）的递减区间为 和 （）由题可知 ，所以 （1）当 a0 时， ，则 G（ x）在（，1）为增函数，在（1，+）为减函数，所以 G（ x）在 R 上没有极小值，故舍去；- 24 -（2）当 a0 时， ，由 G（ x）0 得 ，由于 a0，所以 ，因此函数 G（ x）在（，1）为增函数，在 为减函数，在 为增函数，所以 G（ x） 极小值 即 令 ，则上述不等式可化为 上述不等式 设 ，则 ，故 h（ t）在（1，+）为增函数又 h（2）0，所以不等式的解为 t2，因此 ，所以 ，解得1 a0综上所述 a1，0） - 25 -
