1、2018 届四川省成都市龙泉驿区第一中学高三上学期 12 月月考试数学（理）试题数学（理工类）（考试用时：120 分 全卷满分：150 分 ）注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答
2、题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交；第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 |13Ax， 2|4Bx，则 ()RACB（ ）A |2x B |21C | D |x2.复数 41i（）A. 3 B. 3i C. 13i D. 13i3.已知等差数列 na的前 项和为 nS，若 204a， 2016S等于（）A 2016B 7C 206D 1084已知实数 a=1.70.3，b=0.9 0.1，c=log 25，d=log 0.31.8，那么
3、它们的大小关系是（ ）Ac ab d Bab cdC cbad Dcad b5.定义一种运算 ,，若 243xf，当 gxfm有 5个不同的零点时，则实数 m的取值范围是（）A 0,1B , C 1,3 D ,6一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为 1 的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ）A. 34B. 1 C. 2D. 747.已知平面向量 a， b夹角为 3，且 1a， 2b，则 ab与 的夹角是( )A. 6B. 5C. 4D. 8.四棱锥 PABCD的底面是一个正方形， PA平面 BCD，2， E是棱 的中点，则异面直线 E与 所成角的余弦值是 ( )A 15 B
4、105 C 63 D 629.设 1e， 2为单位向量，满足 12e，非零向量 11,Rae，则 1|a的最大值为（）A. 2B. 32C. D. 310.已知如图所示的程序框图的输入值 1,4x，则输出 y值的取值范围是（ ）A 0,2B 1,2C 1,5D 2,1511一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐 18吨；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1吨，硝酸盐 15吨现库存磷酸盐 10吨，硝酸盐 66吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产 1车皮甲种肥料产生的利润为 12 000元，生产 1车皮乙种肥料产生的利润为 7 000元
5、，那么可产生的最大利润是( )A29 000 元 B31 000 元 C38 000 元 D45 000 元12已知双曲线2:1(0,)xyab的左、右焦点分别为 12,FO、 为坐标原点，点 P是双曲线在第一象限内的点，直线 2,POF分别交双曲线 C的左、右支于另一点 ,MN，若 12PF，且021MFN，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 7 C. 3 D. 2第卷（非选择题部分，共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13点 P从 (
6、0,1) 出发，沿单位圆逆时针方向运动 23 弧长到达 Q点，则 Q点的坐标为 .14.92x的展开式中的常数项为.（用数字作答） nnnnn NaSaa S,1,2,1,S.15 *12则且 满 足 ：项 和 为的 前已 知 数 列_.16.已知函数 的部分图象如图所示，则函数的解析式为_三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17.（本题满分 12分）如图，在ABC 中，B= ，AC=2 （1）若BAC=，求 AB 和 BC 的长 （结果用 表示） ；（2）当 AB+BC=6 时，试判断ABC 的形状18.（本题满分 12分）右面茎叶图记录了甲组 3名同
7、学寒假假期中去图书馆 A学习的次数和乙组 4名同学寒假假期中去图书馆 B学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 x表示.(1)如果 x6，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；(2)如果 x7，从学习次数大于 7的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于 20的概率.19. （本小题满分 12分）如图，多面体 ABCDEF中，四边形 ABC是菱形， 4, 60BAD， BC,相交于 O，EF AC，点 在平面 ABCD上的射影恰好是线段 O的中点（）求证： 平 面 ；（）若直线 与平面 所成的角为 45，求平面 EF与平面 所成角
8、（锐角）的余弦值20.（本小题满分 12分）已知 2()xfea， ()gx是 f的导函数（）求 g的极值；（）若 ()1fx在 0x时恒成立，求实数 a的取值范围21.如图，已知椭圆 E：21(0)xyab的离心率为 2， A、 B为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为 2， P、 Q为椭圆 上异于 A、 B的两点，且直线 Q的斜率等于直线 AP斜率的 2倍（）求证：直线 BP与直线 Q的斜率乘积为定值；（）求三角形 APQ的面积 S的最大值请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分 10 分。22.（本小题满分 10 分） （选
9、修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xoy中，设倾斜角为 的直线 l的参数方程为 3cosinxty（ t为参数）与曲线1:cstanCy（ 为参数）相交于不同的两点 A、 B（I）若 3，求线段 AB的中点的直角坐标；（II）若直线 l的斜率为 2，且过已知点 (3,0)P，求 |APB的值23. （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 3)(xmf，不等式 2)(xf的解集为（2，4） （1）求实数 的值；（2）若关于 x的不等式 )(fa恒成立，求实数 a的取值范围数学（理工类）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有
10、一项是符合题目要求的15 ABCAB 610 DABDB 1112 CB二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.3(,)214. 15 16.三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17.解：1）由正弦定理得： = ，即 = ，所以 BC=4sin又C= ，sinC=sin（ ）=sin（ +） = 即 = ，AB=4sin（ +） -6 分（2）由 AB+BC=6 得到：4sin（ +）+4sin =6，所以，8sin（ +） =6，整理，得 sin（ +）= 0 +， += 或 += ，= ，或 = ABC 是直角三角形 -12 分
11、18.（本题满分 12分）解:(1)当 x6 时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：6，7，8，11，所以平均数为 x8，6 7 8 114方差为 s2 (68) 2(78) 2(88) 2(118) 2 .14 72(2)甲组中学习次数大于 7的同学有 3名，记为 A1， A2， A3，他们去图书馆学习次数依次为 9，11，12；乙组中学习次数大于 7的同学有 2名，记为 B1， B2，他们去图书馆学习次数依次为 8，11；从学习次数大于 7的学生中选两名学生，所有可能的结果有 10个，它们是：A1A2， A1A3， A1B1， A1B2， A2A3， A2B1， A2B2， A3B
12、1， A3B2， B1B2用事件 C表示：“选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于 20”这一事件，则 C中的结果有 4个，它们是： A1B2， A2B2， A3B1， A3B2，故根据古典概型，选出的两名同学恰好分别在不同组且这两名同学学习的次数之和不小于 20的概率为 P(C) .410 2519.（本小题满分 12分）解：（）取 AO的中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCDBD 在平面 ABCD内，EHBD 2 分又菱形 ABCD中，ACBD 且 EHAC=H，EH、AC 在平面 EACF内BD平面 EACF，即 BD平面 ACF 5 分（）由（）知 EH平
13、面 ABCD，以 H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz 6 分EH平面 ABCD，EAH 为 AE与平面 ABCD所成的角，即EAH45，又菱形 ABCD的边长为 4，则 23,3AOHE各点坐标分别为 (0,)(3,0)(,0)()HAD,E(0,0, ) 7分易知 E为平面 ABCD的一个法向量，记 n= ,E， A=2,0 ,D=,23EF/AC， F2,8 分设平面 DEF的一个法向量为 Fmzyxm,则 （注意：此处 EF可以用 AO替代）即 Dm 30xy , 230x令 2,0,zy则 ，则， , 9 分37cosn平面 DEF与平面 ABCD所成角（锐角）的余弦值为2
14、. 12 分20（本小题满分 12分）解：（） 2()xfea， ()xgxfea， ()2xgea，当 0a时， 0g恒成立， 无极值；当 时， ()x，即 ln(2)，由 ()，得 la；由 0gx，得 ln(2)a，所以当 ln2)x时，有极小值 l().（）令 2(1xhe，则 1xhe，注意到 (0)h，令 )1kx，则 ()xke，且 ()0k，得 ； kx，得 0， (0，即 x恒成立，故 2(1)xa，当 2a时， a， ()0h，于是当 x时， x，即 ()1fx成立 .当 1时，由 e（ ）可得 e（ 0x）.()2(1)()2xxxxhaa，故当 0,ln时， 0h，于是
15、当 ()x时， ()x， ()1fx不成立.综上， a的取值范围为 1,221.解：（）214xyAPBk，故 BPQk（）当直线 的斜率存在时，设 Pl： ykxb与 轴的交点为 M，代入椭圆方程得 22(1)40kxkb，设 1(,)Pxy， 2,Q，则 121，241bxk，由 0B，得 122()40yx，得 212()()kxkbb，483，得 k或 3 ykx或 ykx，所以过定点 (2,0)或 ,，点 (2,0)为右端点，舍去， 121|2APQMAQSSOy22228(4)16(9)39kbk2216749()k，令 2t（ 01） ，21674()9APQSt， 201t，
16、329APQS，当直线 l的斜率 k不存在时， 1(,)Pxy， 1(,)y，12APBQk，即 12yx，解得 123， 14，839S，所以 APQ的最大值为 .22.（本小题满分 10 分） （选修 4-4：坐标系与参数方程）解：（I）由曲线1:costanxCy（ 为参数） ，可得 C的普通方程是 21xy 2 分当 3时，直线 l的参数方程为32xty（ 为参数） ，代入曲线 C的普通方程，得 2610t， 3 分得 126t，则线段 AB的中点对应的 23t，故线段 的中点的直角坐标为 93(,)2 5 分（II）将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，化简得22(cosin)6cos80tt， 7 分则21222(1tan)| |inPABt ，9 分由已知得 tan，故 40|3PAB 10 分23. （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲解：（1）f （x）=m |x3|，不等式 f（x）2 ，即 m|x3|2，5 mxm +1，而不等式 f（x）2 的解集为（2 ，4） ，5 m=2 且 m+1=4，解得：m=3；.5 分（2 ）关于 x 的不等式 |xa|f（x）恒成立关于 x 的不等式|xa|3|x3|恒成立，|xa|+|x 3|3 恒成立|a3|3 恒成立，由 a33 或 a3 3，解得：a6 或 a0.10 分
