1、- 1 -开封市 2019 届高三第一次模拟考试数学（理科）试题第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合 A，B，利用交并补运算得到结果.【详解】由题意易得： ， , ,故选：C【点睛】本题考查集合的交、并、补的基本运算，指数函数与对数函数的性质，考查计算能力2.已知复数 满足 ，则复平面内与复数 对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运
2、算化简，求出 z 的坐标得答案【详解】由 得，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ， ） ，在第四象限故选：D- 2 -【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.已知函数 ，则下列说法正确的是A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 2C. 的图像关于 轴对称 D. 在区间 上单调递减【答案】C【解析】【分析】利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】 f（ x）sin 4xcos 4xsin 2xcos 2xcos2 x，函数的最小正周期 T， f（ x）cos（2 x）cos2 x f（ x） ， f（ x）为偶函数，其图象关于 y 轴对
3、称， f（ x）cos2 x 在 ， 上单调递减，故 f（ x）cos2 x 在 ， 上单调递增故选： C【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键4.已知等比数列 中，有 ，数列 是等差数列，其前 项和为 ，且 ，则A. 26 B. 52 C. 78 D. 104【答案】B【解析】【分析】设等比数列 的公比为 q，利用等比性质可得 ，即 ，再结合 ，即可得到结果.【详解】设等比数列 的公比为 q， ， 0，解得 4，数列 是等差数列，且 - 3 -故选：B【点睛】本题考查了等比数列与等差数列
4、的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.已知直线 ， 和平面 ， ，则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：直线 ，平面 ，且 ，若 ，当 时， ，当 时不能得出结论，故充分性不成立；若 ，过 作一个平面 ，若 时，则有，否则 不成立，故必要性也不成立由上证知“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故选 D考点：1、线面平行；2、命题的充分必要条件6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体
5、的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为 4，圆柱的底面半径为 2，高为 4，则组合体的体积： .本题选择 B 选项.- 4 -【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7.已知函数 若 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意，对 a 分 a 与 a 讨论，再解相应的不等式即可【
6、详解】 ， 或即 或即 的取值范围是故选：B【点睛】本题考查分段函数的图象与性质的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想的综合应用，属于中档题8.若 ， 满足约束条件 则 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】问题转化为在约束条件下目标函数的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得【详解】作出 x， y 满足约束条件 的可行域如图：- 5 - ABC， 表示区域内的点与点（2，0）连线的斜率，联方程组 可解得 B（2，2） ，同理可得 A（2，4） ，当直线经过点 B 时， M 取最小值： ，当直线经过点 A 时， M 取最大值 1则 的取值范围： ，1故选： A【点睛
7、】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.9.已知数列 中， ， ，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是- 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，模拟程序的运行过程知，该程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时求出满足题意的选项即可【详解】通过分析，本程序框
8、图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前， A ， n1；第 1 次循环， A121， n1+12；第 2 次循环， A1+12， n2+13；第 3 次循环， A1 ， n3+14；所以，程序运行时计算 A 的值是以 3 为周期的函数，当程序运行后输出 A2 时， n 能被 3 整除，此时不满足循环条件分析选项中的条件，满足题意的 C故选： C【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理
9、循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.已知 的内角 ， ， ， 为 所在平面上一点，且满足，设 ，则 的值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】- 7 -【分析】由题意结合三点共线的充分必要条件讨论 的最大值即可.【详解】由题意可知， O 为 ABC 外接圆的圆心，如图所示，在圆 中， 所对的圆心角为，点 A,B 为定点，点 为优弧上的动点，则点 满足题中的已知条件，延长 交 于点 ，设 ，由题意可知： ，由于 三点共线，据此可得： ，则 ，则
10、的最大值即 的最大值，由于 为定值，故 最小时， 取得最大值，由几何关系易知当 是， 取得最小值，此时 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查数形结合解题，三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知 是双曲线 上一点，且在 轴上方， ， 分别是双曲线的左、右焦点， ，直线 的斜率为 ， 的面积为 ，则双曲线的离心率为A. 3 B. 2 C. D. - 8 -【答案】B【解析】【分析】利用三角形的面积求出 P 的纵坐标，通过直线的斜率，求出 P 的横坐标，然后求解 a， c，然后求解双曲线的离心率即可【详解】 P 是
11、双曲线 1（ a0， b0）上一点，且在 x 轴上方， F1， F2分别是双曲线的左、右焦点，| F1F2|12， c6， PF1F2的面积为 24 ，可得 P 的纵坐标 y 为： ， y4 直线 PF2的斜率为4 ，所以 P 的横坐标 x 满足： ，解得 x5，则 P（5，4 ） ，|PF1| 13，|PF2| 7，所以 2a137， a3，所以双曲线的离心率为： e 2故选： B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得 的值，直接代入公式 求解；（2）列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 后转化成关于 的方程(或不等式)求解12.有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根
12、长都为 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力当构成三棱锥的两- 9 -条对角线长为 a，其他各边长为 2， a 有最小值，易得 a 的取值范围，由此能求出此三棱锥体积的取值范围【详解】构成三棱锥的两条对角线长为 a，其他各边长为 2，如图所示，AD=BC=a,此时0 a2 取 BC 中点为 E,连接 AE,DE,易得：BC平面 ADE,，当且仅当 4 即 时，等号成立，此三棱锥体积的取值范围是故选：【点睛】本题考查的知识点
13、是空间想像能力，我们要结合数形结合思想，极限思想，求出 a的最大值和最小值，进而得到形成的三棱锥体积最大值第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中， 的系数等于 _【答案】-120【解析】- 10 -【分析】利用通项公式即可得出【详解】 （1 x） 10的展开式中， Tr+1 （ x） r，令 r3，则 T4 x3，则 x3的系数 120故答案为：120【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开
14、式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.14.已知向量 ， ，且 在 方向上的投影为-3，则向量 与 的夹角为_【答案】【解析】， ，解得 ， ，所以 与 的夹角为 .15.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽炫图” （以弦为边长得到的正方形组成）.类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个
15、大等边三角形，设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是_【答案】【解析】- 11 -【分析】根据几何概型的概率公式，设 DF2 AF2 a，求出 DEF 和 ABC 的面积，计算所求的概率值【详解】由题意，设 DF2 AF2 a，且 a0，由 DFE ， AFC ； DEF 的面积为 S DEF 2a2asin a2， AFC 的面积为 S AFC a3asin a2，在大等边三角形中随机取一点，此点取自小等边三角形的概率是P 故答案为： 【点睛】题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几
16、何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.16.已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 .若存在 ，使得 成立，则实数 的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据数列的递推公式可求出 ，再利用累乘法求出通项公式，再构造数列Bn T2n Tn，判断数列的单调性，即可求出【详解】3 Sn（ n+m） an，3 S13 a1（1+ m） a1，
17、解得 m2，3 Sn（ n+2） an，- 12 -当 n2 时，3 Sn1 （ n+1） an1 ，由可得 3an（ n+2） an（ n+1） an1 ，即（ n1） an（ n+1） an1 ， ， ， ， ， ， ，累乘可得 an n（ n+1） ，经检验 a12 符合题意， an n（ n+1） ， nN*， anbn n， bn ，令 Bn T2n Tn ，则 Bn+1 Bn 0，数列 Bn为递增数列， Bn B1 ，存在 nN*，使得 + Tn T2n成立， B1 ，故实数 的最小值为 ，故答案为： 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和，以及数列的函数特征
18、，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .（）求角 ；（）若 ，求 面积的最大值.【答案】() () - 13 -【解析】【分析】（）利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换求得 A 的值；（） 的面积 ，由余弦定理及均值不等式即可得到 bc 的最值.【详解】 （）由已知及正弦定理得： ， ， ， ， .（） 的面积 ，由 及余弦定理得 ，又 ，故 ，当且仅当 时，等号成立. 面积的最大值为 .【点睛】本题考查了三角恒等
19、变换与解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.如图所示， 是边长为 2 的正方形， 平面 ，且 .（）求证：平面 平面 ；（）线段 上是否存在一点 ，使二面角 所成角的余弦值为 ？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】()见解析() F 为 AD 中点.【解析】【分析】（）先证 BC平面 ABE，进而得面面垂直；（）建立空间坐标系，设点 F 的位置，利用向量列方程求解【详解】 （） 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ，又 ， ， 平面 ，- 14 -又 平面 ，平面 平面 .（）如图所示，建立空间直角坐标系 ， ， ， ， .假设线段 上存在一点 满足题意
20、， ， ， ，易知：平面 的一个法向量为 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 ， .点 为线段 的中点时，二面角 所成角的余弦值为 .【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合，抛物线 的动弦 过点 ，过点 且垂直于弦 的直线交抛物线的准线于点 .（）求抛物线的标准方程；（）求 的最小值.
21、【答案】() ()2- 15 -【解析】【分析】（）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出 p 的值，再写出抛物线 C 的标准方程；（）当动弦 AB 所在的直线斜率不存在时，求得 2；当动弦 AB 所在的直线斜率存在时，写出 AB 所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长| AB|；写出 FM 所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长| MF|，再求 的最小值，从而得出结论【详解】 （）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为抛物线的焦点为 ， ，抛物线的标准方程为 .（）当动弦 所在直线的斜率不存在时，易得：， ， .当动弦 所在的直线斜率存在时，易知， 的斜率不为 0.设 所在直线方程为 ，且 ， .联
22、立方程组： ，得 ；， ， ，所在的直线方程为 ，联立方程组： ，得点 ， ，综上所述： 的最小值为 2.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体- 16 -现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围20.大学先修课程
23、，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分 100 分） ，结果如下表所示：分数人数 25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率0.9 0.8 0.6 0.4 0.3（）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生 非优等生 总计学习大学先修课
24、程 250没有学习大学先修课程总计 150- 17 -（）已知今年全校有 150 名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.（）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（）某班有 4 名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为 ，求 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.参考数据：0.15 0.10 005 0.025 0.010 0.0052.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.8
25、79参考公式： ，其中【答案】()见解析；()见解析.【解析】【分析】（）根据题意填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论；（） （）分成四类情况，利用互斥概率加法公式计算即可；（）设获得高校自主招生通过的人数为 ，则 ，从而得到 的分布列及今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数.【详解】 （）列联表如下：优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计 150 1100 1250- 18 -由列联表可得 ，因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.（） （）由题意得所求概率为
26、.（）设获得高校自主招生通过的人数为 ，则 ， ， 的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为 .【点睛】独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成 列联表；（II）根据公式计算 的值；（III） 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断 （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误 ）21.已知函数 .（）当 时，求函数 的极值；（）若 ，且方程 在区间 内有解，求实数 的取值范围.【答案】() 极小值为 ，极大值为 . () 【解析】【分析】（）将 a b1 代入函数 f（ x）的解析式，求函数 f（
27、x）的导数 f（ x） ，求出极值点，并分析函数 f（ x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；- 19 -（）由 f（1）1，得 b e1 a，再由 f（ x）1，得 ex ax2+bx+1，构造函数 g（ x） ex ax2 bx1，分析函数 g（ x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数 g（ x）的极值正负确定方程 f（ x）1 在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数 a 的取值范围【详解】 （） ，当 时， ，得 ， 在 上单调递增；，得 或 ， 在 和 上单调递减. 的极小值为 ，极大值为 .（）由 得 ，由 得 ，设 ，则 在 内有零点，设 为 在 内的一个
28、零点，由 知 在 和 不单调.设 ，则 在 和 上均存在零点，即 在 上至少有两个零点.， ，当 时， ， 在 上递增， 不可能有两个及以上零点，当 时， ， 在 上递减， 不可能有两个及以上零点，当 时，令 得 ， 在 上递减，在 上递增， 在 上存在最小值 ，若 有两个零点，则有 ， ， ， ，设 ， ，则 ，令 ，得 ，当 时， ， 递增；当 时， ， 递减. ， 恒成立.由 ， ，得 .【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，- 20 -属于难题. 求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程求出函数定义域内的
29、所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程是 （ 为参数） ，曲线 的参数方程是（ 为参数） ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 . （）求直线 和曲线 的极坐标方程；（）已知射线 （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，射线 与直线交于 点，若 的面积为 1，求 的值和弦长 .【答案】() ， () ， .【解析】【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程直
30、角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果【详解】 （）直线 的普通方程为 ，极坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 ，极坐标方程为 .（）依题意， ， ， ， ， ， .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲- 21 -23.已知函数 ， .（）若 的最小值为 1，求实数 的值；（）若关于 的不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) 或 4.(2) .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用绝对值不等式求函数的最小值从而得到 a 的值. (2)第（2）问，先求出不等式的解集，再比较它们的关系得到实数 a 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ， 因为 的最小值为 3，所以 ，解得 或 4.（2）当 时， 即 ，当 时， ，即 ，因为不等式 的解集包含 ，所以 且 ，即 ，故实数 的取值范围是 .
