1、- 1 -咸阳百灵学校 20182019 学年度第二学期第二次月考高二数学（文）试题一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1. （1+ i）（2+ i）=（ ）A. 1-i B. 1+3i C. 3+i D. 3+3i2给定下列命题： a ba2 b2； a2 b2a b； a b 0， y0，且 x y8，则(1 x)(1 y)的最大值为( )A16 B25 C9 D364已知 a， b(0,1)，记 M ab， N a b1，则 M 与 N 的大小关系是( )A MN D不确定5若 x0， y0， M ， N ，则 M， N 的大小关系是( )x y1 x y x
2、1 x y1 yA M N B MN6若 abc，则下列不等式成立的是( )A B bc D ac0,则 4x+ 的最小值是( )A.9 B.3 C.13 D.不存在- 2 -11.设 a， b， c， d 为正数， a b c d1，则 a2 b2 c2 d2的最小值为( )A. B. C.1 D.12 14 3412.对任意 x， yR，| x1| x| y1| y1|的最小值为( )A1 B2 C 3 D4二、填空题13.对任意两个正数 a， b，有_ (此式当且仅当 a b 时取“”号)ab我们称_为正数 a 与 b 的算术平均值，_为正数 a 与 b 的几何平均值14.以原点 O为极
3、点，以 x轴正半轴为极轴且与直角坐标系 xOy取相同的长度单位建立极坐标系若圆 C的极坐标方程为 25sin，则其直角坐标方程为_15有以下四个条件： b0 a；0 a b； a0 b； a b0.其中能使 成立的有_个条件1a 1b16用数学归纳法证明“ Sn 1(nN )”时， S1等于1n 1 1n 2 1n 3 13n 1_.三、解答题17.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 xcosyin（ 为参数） 若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程。18.解下列不等式：(1)|5x2|8； (2)| x1| x|0， y0，且 x y8，则(1 x)(1
4、 y)的最大值为( )A16 B 25 C9 D36答案 B解析 (1 x)(1 y) 2 1 x 1 y2 2 225，当且仅当 1 x1 y，即 x y4 时等号成立，所以(1 x)2 x y2 (2 82 )(1 y)的最大值为 25，故选 B.4已知 a， b(0,1)，记 M ab， N a b1，则 M 与 N 的大小关系是( )A MN D不确定答案 C解析 M N ab a b1(1 a)( 1 b)0， MN.5若 x0， y0， M ， N ，则 M， N 的大小关系是( )x y1 x y x1 x y1 yA M N B MN答案 B解析 x0， y0， x y11 x
5、0，1 x y1 y0，- 5 - bc，则下列不等式成立的是( )A B bc D acbc，所以 a c0， b c0，且 a cb c，所以 0,则 4x+ 的最小值是( )A.9 B.3 C.13 D.不存在2x+2x+ 3 ,当且仅当 2x= ,即 x=解析:因为 x0,所以 4x+ =2x 时等号成立 .11.设 a， b， c， d 为正数， a b c d1，则 a2 b2 c2 d2的最小值为( )A. B. C.1 D.12 14 34解析 由柯西不等式( a2 b2 c2 d2)(121 21 21 2)( a b c d)2，因为 a b c d1，于是由上式得4(a2
6、 b2 c2 d2)1，于是 a2 b2 c2 d2 ，14- 6 -当且仅当 a b c d 时取等号.1412.对任意 x， yR，| x1| x| y1| y1|的最小值为( )A1 B2 C3 D4解析：| x1| x| y1| y1| x1 x| y1( y1)|123.答案：C二、填空题13.对任意两个正数 a， b，有_ (此式当且仅当 a b 时取“”号)ab我们称_为正数 a 与 b 的算术平均值，_为正数 a 与 b 的几何平均值14.以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴且与直角坐标系 xOy取相同的长度单位建立极坐标系若圆 C的极坐标方程为 25sin，则其直角坐标方程
7、为_【答案】 225xy【解析】极坐标方程 si，两边同乘以 ， 2sin， 25xy， 225xy15有以下四个条件： b0 a；0 a b； a0 b； a b0.其中能使 成立的有_个条件1a 1b解析： b0， 0. a0， 0. .1b 1a 1a 1b b a0， .1b 1a a0 b， 0， 0. .1a 1b 1a 1b a b0， .1a 1b综上知，均能使 成立答案：31a 1b16用数学归纳法证明“ Sn 1(nN )”时， S1等于1n 1 1n 2 1n 3 13n 1_.解析 n1 时， n12，3 n14， S1 .12 13 14三、解答题- 7 -17.在平
8、面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 1 xcosyin（ 为参数） 若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程。18.解下列不等式：(1)|5x2|8； (2)| x1| x|2.解 (1)|5 x2|85 x28 或 5x28 x2 或 x ，65原不等式的解集为Error!.(2)解 法一：利用分类讨论的思想方法当 x1 时， x1 x2，解得 x1；32当1 x0 时， x1 x2，解得1 x0；当 x0 时， x1 x2，解得 0 x .12因此，原不等式的解集为 .x|32x12法二：利用方程和函数的思想方法令 f(x)| x1| x|2Error!作函
9、数 f(x)的图像(如图)，知当 f(x)0 时， x . 故原不等式的解集为 .32 12 x| 32x12法三：利用数形结合的思想方法由绝对值的几何意义知，| x1|表示数轴上点 P(x)到点 A(1)的距离，| x|表示数轴上点 P(x)到点 O(0)的距离由条件知，这两个距离之和小于 2.- 8 -作数轴(如图)，知原不等式的解集为 .x32 x12法四：利用等价转化的思想方法原不等式0| x1|2| x|，( x1) 2(2| x|)2，且 |x|2，即 04| x|32 x，且| x|2.16 x2(32 x)2，且2 x2.解得 x . 故原不等式的解集为32 12 x 32 x
10、1219若正数 x,y 满足 x+4y=4,则 xy 的最大值为 . 解析:由平均值不等式可得 x+4y2 =4 ,当且仅当 x=4y=2 时等号成立,所以4 4,所以 0xy1,故 xy 的最大值为 1.20.若 a， b， c 均为正数 ，求证： a b c .ab bc ca证明： a， b， c 为正实数， a b2 ， b c2 ， c a2 .ab bc ca由上面三式相加可得(a b)( b c)( c a)2 2 2 ，即 a b c .ab bc ca ab bc ca.21在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的参数方程
11、为Error!( 为参数)试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，由 x t1，得 t x1，代入 y2 t，得到直线 l 的普通方程为 2x y20.同理得到曲线 C 的普通方程为 y22 x.联立方程组Error!解得公共点的坐标为(2,2)， .(12， 1)21某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元 /m2,房屋侧面的造价为 150 元 /m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用 .当侧面的长度为多少时,总造价最低?解由题意可得,总造价 y=3 +5 800=900 +5 800(0x5),于是由平均值不等式,得 y=900 +5 800900 2 +5 800=13 000(元),- 9 -当且仅当 x= ,即 x=4 时,等号成立 .故当侧面的长度为 4 m 时,总造价最低 .22.用数学归纳法证明： （其中 是正整数）. .n1)( n,1
