1、- 1 -重庆市綦江中学 2017-2018 学年高一数学下学期第三学月考试试题（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列 中， ，则 ( )A. 5 B. 8 C. 10 D. 14【答案】B【解析】试题分析：因为 ,又因为 ，所以，故答案 D.考点：等差数列通项公式.2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3
2、 件，则 ( )A. 9 B. 10 C. 12 D. 13【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是 120，80，60，甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6：4：3，丙车间生产产品所占的比例 ，因为样本中丙车间生产产品有 3 件，占总产品的 ，所以样本容量 n=3 =13考点：分层抽样方法视频3. 已知四个条件： ； ； ； ，能推出 成立的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】C- 2 -【解析】 中，因为 ，所以 ，因此能推出 成立；中，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，因此正确的；中，因为 ，所以 ，所以不正确的；中，因
3、为 ，所以 ，所以正确的；故选 C.4. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是( )对（1） “至少有 1 个白球”与“都是白球” （2） “至少有 1 个白球”与“至少有 1 个红球”（3） “至少有 1 个白球”与“恰有 2 个白球” （4） “至少有 1 个白球”与“都是红球”A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】对于（1） ， “至少有 1 个白球” ，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于（2） ， “至少有 1 个白球” ，包括“两个白球”和“一白一红”两种情况， “至少
4、有 1 个红球” ，包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于（3） ， “至少有 1 个白球”与“恰有 2 个白球” ， 两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于（4） ， “至少有 1 个白球”与“都是红球” ，不可能同时发生，是互斥事件，即互斥事件的对数是 ，故选 B.5. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为( )A. 10 B. 8 C. 5 D. 2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：- 3 -作直线 ，再作一组平行于 的直线 ，当直线经过点 时，取得最大值，由 得： ，所以点 的坐标为 ，所以，故选 C考点：线性规划视频6. 根据如下样本数据
5、：3 4 5 6 72.5 3 4 4.5 得到的回归方程为 ，则 ( )A. 5 B. 5.7 C. 6 D. 7【答案】C【解析】分析：求出样本平均数 ，利用公式即可得出结论.解析：样本平均数 ，样本中心点必在回归直线上，- 4 -，.故选：C.点睛：回归直线 必过样本点的中心 .7. 若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将原不等式整理成关于 x 的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论.解析：不等式 ，可化为 .当 时，即 时，恒成立，符合题意；当 时，要使不等式恒成立，需 ，解得 .综上
6、所述，的取值范围为 .故选：A.点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论（1）若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；（2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（3）对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集8. 在 中，角 的对边分别为 .若 为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦
7、定理推出结果即可.解析：在 中，角 的对边分别为 ，满足：- 5 -可得：，为锐角三角形，由正弦定理可得： .故选：B.点睛：（1）应熟练掌握和运用内角和定理，结合诱导公式可以减少角的种数（2）解三角形要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断.9. 已知事件“在矩形 的边 上随机取一点 ，使 的最大边是 ”发生的概率为 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形 的边上随机取一点 ，使 的最大边是 ”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率 ，从而求出 .解析：记：“矩形 的边 上随机
8、取一点 ，使 的最大边是 ”为事件 M，试验的全部结果构成的长度即为线段 .构成事件 M 的长度为线段 CD 其一半，根据对称性，当 时， ，如图：设 ，则 ，再设 ，则 ，- 6 -于是 ，解得 ，从而 .故选：B.点睛：判断几何概型中的几何度量形式的方法（1）当题干是双重变量问题时，一般与面积有关系（2）当题干是单变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于( )A. B. C. D
9、. 【答案】D【解析】试题分析：当 时,运行程序如下, ,当时, ,则 ,故选 D.考点：程序框图 二次函数11. 在等差数列 中， ，它的前 项和 有最大值，则当 时， 的最大值为( )A. 17 B. 18 C. 19 D. 20【答案】A【解析】分析：公差 ，首项 ， 为递减数列，由等差数列的性质知：， ，由此能求出结果.- 7 -解析： ，可得 ，由它的前 项和 有最大值，可得公差 ，.， .当 时， 的最大值为 17.故选：A.点睛：观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项12. 设正实数 满足 .则当 取得最小值时， 的最大值为( )A. 0 B. C. 2 D. 【答案
10、】C【解析】由题意可得： (当且仅当 x=2y 时取“=”)，即 x=2y(y0)， x+2yz=2y+2y(x23xy+4y2)=4y2y2=2(y1)2+22. x+2yz 的最大值为 2.本题选择 C 选项.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本数据 的均值 ，方差为 ，则样本数据 的均值为_，方差为_.【答案】 (1). 11. (2). 20.【解析】分析：利用平均数计算公式求解；根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了 1 所以波动不变，方差不变，一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，即可得出答案.解析：
11、数据 的均值 ，- 8 -样本数据 的均值为： ；数据 的方差为 ，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，同时加减一个数方差不变，样本数据 的方差为 20.故答案为：11，20.点睛：平均数、方差的公式推广（1）若数据 x1， x2， xn的平均数为 ，那么 mx1 a， mx2 a， mx3 a， mxn a 的平均数是 .（2）数据 x1， x2， xn的方差为 s2.数据 x1 a， x2 a， xn a 的方差也为 s2；数据 ax1， ax2， axn的方差为 a2s2.14. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则_【答案】 .【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将
12、 的值代入求出 的值，即可确定出 B的度数.解析：在 中， ，由正弦定理 得： .，.或 .故答案为： 或 .点睛：（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.15. 中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为- 9 -_【答案】5.【解析】设数列的首项为 ，则 ，所以 ，故该数列的首项为 ，所以答案应填： 【考点定位】等差中项视频16. 在数列 中， 为其前 项和，若对任意 ，都有 ，则数列的
13、通项公式 _【答案】 .【解析】分析：根据 和 的关系，将题目中的 替换为 ，先求出 的表达式，然后利用二者的关系，求出 的通项公式.解析：当 时，由 可得 ，则有 ，化简该式可得： ，是以首项为 ，公差为 1 的等差数列.，.当 时， ，当 时， ，.故答案为： .- 10 -点睛：在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 ，而是直接把数列的通项公式写成 an Sn Sn1 的形式，但它只适用于 n2 的情形三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列 满足 .(1)求证：数列 是等差数列，并求出 的通项公式；(2)若
14、，求数列 的前 项和.【答案】(1)证明见解析; .(2) .【解析】分析：（1）由 ，平方可得 ,且 ，即可证明结论；（2） ，利用裂项求和方法即可得出.解析：(1)证明:由 ,平方可得: ,且数列 是等差数列,首项为 1,公差为 2.(2)解: ,数列 的前 项和 .点睛：在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消18. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ， .(1)求 得值；(2)求 的面积.【答案】(1) .- 11 -(2) .【解析】分析：（1）利用 求得 ，进而利用 A 和 B 的关系求得 ，最后利用正弦定理求得 b 的值；（2
15、）利用 ，求得 的值，进而根据两角和公式求得 的值，最后利用三角形面积公式求得答案.解析：() , ,. ,由正弦定理知 , () ,.点睛：应熟练掌握和运用内角和定理： A B C ， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数19. 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加书法社团 2 30（1）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 ,3 名女同学 .现从这 5 名男同学和 3 名女同学中
16、各随机选 1 人，求 被选中且 未被选- 12 -中的概率.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数， “至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（2）先求基本事件总数，即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，有多少种选法，再求出“ 被选中且 未被选中”事件包含的基本事件个数，然后根据古典概型的概率公式计算即可.解析：（1）从 45 个人中随机选一人的可能结果有 45 种，参加社团的同学共有 8+5+2=15 人，故所求概率为 .（2）从 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选取一人
17、，则所有的可能结果有：共 15 种，其中 选中 未被选中的结果有 2 种，故所求概率为 .点睛：有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决20. 关于 的不等式 .（1）已知不等式的解集为 ，求的值；（2）解关于 的不等式 .【答案】(1) .(2) 时，不等式的解集为 ， 时，不等式的解集为 ，时，不等式的解集为 ， 时，不等式的解集为 ，时，不等式的解集为 .【解析】试题分析：（1）由不等式的解集可知 ，2 是方程 的
18、两根，- 13 -由韦达定理可求得 的值 （2）讨论二次项系数 是否为 0，由 时的根为 或 ，讨论两根的大小，并注意抛物线开口方向结合一元二次函数图像解不等式试题解析：解：因为 的解集为 ，所以方程 的两根为 或 ，所以 ，解得 （2） ，当 时原不等式变形为 ，解得 ；当 时， 的根为 或 时 ， 或 ，时 ， ，时 ， ，时 ，综上可得 时原不等式解集为 ；时原不等式解集为 ；时原不等式解集为 ；时原不等式解集为 ；时原不等式解集为 考点：一元二次不等式21. 如图，在等腰直角 中， , ,点 在线段 上.（1）若 ，求 的长；（2）若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小
19、？并求出面积的最小值.- 14 -【答案】(1) .(2) 时， 的面积最小值为 .【解析】试题分析：（1）在OPQ 中，由余弦定理得， ，解得 MP 即可；（2）POM=，060，在OMP 中，由正弦定理求出 OM，同理求出 ON，推出三角形的面积，利用两角和与差的三角函数化简面积的表达式，通过 的范围求出面积的最大值试题解析：（1）在 中， ， ， ，由余弦定理得， ，得 ，解得 或 （2）设 ，在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，同理因为 ， ，所以当 时， 的最大值为 ，此时 的面积取到最小值即 时， 的面积的最小值为 考点：1三角形中的几何计算；2正弦定理22. 已知函数 ，无穷数列
20、满足 .- 15 -（1）若 ，求 ；（2）若 ，且 ，成等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由.【答案】(1) .(2)当且仅当 时， 构成等差数列.【解析】分析：（1）由题意代入式子计算即可；（2）假设这样的等差数列存在，则 成等差数列，即 ，亦得，分情况讨论即可当 时，当 时，当 时.解析：（1） ；（2）当 时， ，所以 ，得 ；当 时， ，所以 ，得 （舍去）或.综合得 或 ；（3）假设这样的等差数列，那么 .由 得.再分情况讨论：当 时，由 得 ，与 矛盾；当 时，由 得 ，从而 ，所以 是一个等差数列；当 时，可得公差 ，因此存在着 使得 ，这与矛盾.综合可知，当且仅当 时， 构成等差数列.点睛：本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性较强.- 16 -
