1、12016-2017 学年江苏省淮安市淮海中学高三（下）第二次段考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（ UB）= 2函数 f（x）=（sinxcosx） 2的最小正周期为 3已知复数 z 满足（1i）z= +i（i 是虚数单位） ，则 z 的模为 4设函数 f（x）=x 3cosx+1，若 f（a）=11，则 f（a）= 5如图，矩形 ABCD 由两个正方形拼成，则CAE 的正切值为 6若直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y3=0 平行，则
2、实数 m 的值为 7在等比数列a n中，已知 a1=1，a k=243，q=3，则数列a n的前 k 项的和 Sk= 8已知点 P 是函数 图象上的一点，则曲线 y=f（x）在点 P 处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 9若 cos（ ）= ，则 cos（ +）sin 2（ ）= 10在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点 E 和 F 分别在线段BC 和 DC 上，且 = ， = ，则 的值为 11等比数列a n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn，若 log3 an（S 4m+1）=9，则+ 的最小值是 12在平面直角坐标系数 xOy 中，
3、点 A（1，0） ，B（4，0） ，若直线 xy+m=0 上存在点 P，使得 2PA=PB，则实数 m 的取值范围是 13已知函数 f（x）= ，g（x）=kx+1，若方程 f（x）g（x）=0 有两个不同实根，则实数 k 的取值范围为 214已知函数 f（x）= ，若关于 x 的不等式 f（x）f（x+m）的解集为M，且1，1M，则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = （1）求角 A 的值；（2）若ABC 的面积为 ，且 a=
4、，求ABC 的周长16如图已知四边形 AOCB 中，| |=5， =（5，0） ，点 B 位于第一象限，若BOC 为正三角形（1）若 cosAOB= ，求 A 点坐标；（2）记向量 与 的夹角为 ，求 cos2 的值17如图，在半径为 30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 A（点 A，B 在直径上，点C，D 在半圆周上） ，并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） （1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B，C 是椭圆 =1（ab0）上不同3的三点， ，B（
5、2，2） ，C 在第三象限，线段 BC 的中点在直线 OA 上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点 C 的坐标；（3）设动点 P 在椭圆上（异于点 A，B，C）且直线 PB，PC 分别交直线 OA 于 M，N 两点，证明 为定值并求出该定值19已知数列a n和b n满足 a1a2a3an= （nN *） 若a n为等比数列，且a1=2，b 3=6+b2（）求 an和 bn；（）设 cn= （nN *） 记数列c n的前 n 项和为 Sn（i）求 Sn；（ii）求正整数 k，使得对任意 nN *均有 SkS n20已知函数 f（x）=x 22alnx（aR） ，g（x）=2ax（1）求函数 f（x
6、）的极值；（2）若 a0，函数 h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数 a 的值；（3）若 0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数 x1，x 2，都有|f（x 1）f（x 2）|g（x 1）g（x 2）|成立，求 a 的取值范围42016-2017 学年江苏省淮安市淮海中学高三（下）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（ UB）= 1，2，3 【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】进行补集、并集的运算即可【
7、解答】解：根据条件： UB=2；A（ UB）=1，2，3故答案为：1，2，32函数 f（x）=（sinxcosx） 2的最小正周期为 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法【分析】化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期【解答】解：函数 f（x）=（sinxcosx） 2=12sinxcosx=1six2x；所以函数的最小正周期为：T= ，故答案为：3已知复数 z 满足（1i）z= +i（i 是虚数单位） ，则 z 的模为 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出复数 z，由此能求出 z
8、 的模【解答】解：复数 z 满足（1i）z= +i（i 是虚数单位） ，z= = = = ，z 的模为|z|= = 故答案为： 54设函数 f（x）=x 3cosx+1，若 f（a）=11，则 f（a）= 9 【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】由于函数 f（x）=x 3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数 g（x）=f（x）1=x 3cosx，然后利用 g（x）为奇函数，进行解答【解答】解：令 g（x）=f（x）1=x 3cosx则 g（x）为奇函数，又f（a）=11，g（a）=f（a）1=111=10g（a）=10=f（a）1f（a）=9
9、故答案为：95如图，矩形 ABCD 由两个正方形拼成，则CAE 的正切值为 【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】有已知矩形 ABCD 由两个正方形拼成，设正方形的边长为 1，由图可知：CAD=DAD+CAE，利用两角和的正切公式即可求得【解答】解：因为矩形 ABCD 由两个正方形拼成，设正方形的边长为 1，则在 RtCAD 中， =2， ，所以 故答案为：6若直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y3=0 平行，则实数 m 的值为 【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系6【分析】直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y3=0 平行，直线 l1的斜率存在，
10、因此直线 l2的斜率也存在化为斜截式，利用直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：直线 l1：x+2y4=0 与 l2：mx+（2m）y3=0 平行，直线 l1的斜率存在，直线 l2的斜率也存在两条直线的方程可以化为：y= x+2；y= x+ ，2 解得：m= 故答案为： 7在等比数列a n中，已知 a1=1，a k=243，q=3，则数列a n的前 k 项的和 Sk= 364 【考点】89：等比数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前 n 项和公式，再代入 ak=243，根据等比数列前 n 项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前 n 项和为
11、 sn= ，等比数列a n中，已知 a1=1，a k=243，q=3，数列a n的前 k 项的和 Sk= = =364，故答案为：364；8已知点 P 是函数 图象上的一点，则曲线 y=f（x）在点 P 处的切线斜率取得最大值时切线的方程为 y=1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出 f（x）的导数，设 P（m，n） ，可得切线的斜率，由正弦函数的单调性，可得切线的斜率的最大值，以及切点坐标，进而得到所求切线的方程【解答】解：函数 的导数为 f（x）=sinx，设 P（m，n） ，可得在点 P 处的切线斜率为 k=sinm，7由 0m ，可得 k 的最大值为 k=sin0
12、=0，此时 m=0，n=cos0=1，可得所求切线的方程为 y=1故答案为：y=19若 cos（ ）= ，则 cos（ +）sin 2（ ）= 【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GO：运用诱导公式化简求值；GQ：两角和与差的正弦函数；GT：二倍角的余弦【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系进行解答【解答】解：cos（ ）=cos（ ）= ，sin 2（ ）=1cos 2（ ）= ，cos（ +）=cos（ +）=cos（ ）= ，cos（ +）sin 2（ ）= = 故答案是： 10在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60，点 E 和 F 分别在线段BC 和
13、 DC 上，且 = ， = ，则 的值为 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可【解答】解：AB=2，BC=1，ABC=60，BG= = ，CD=21=1，BCD=120， = ， = ， =（ + ）（ + ）=（ + ）（ + ）= + + + 8=21cos60+ 21cos0+ 11cos60+ 11cos120=1+ = ，故答案为：11等比数列a n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn，若 log3 an（S 4m+1）=9，则+ 的最小值是 2.5 【考点】88：等比数列的通项公式；7F：基本不等式【分析】根据等比数列a
14、n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn，可得an=23n1 ；S n=3n1，由 log3 an（S 4m+1）=9，可得 n+4m=10，进而利用“1”的代换，结合基本不等式，即可得出结论【解答】解：等比数列a n的首项为 2，公比为 3，前 n 项和为 Sn，a n=23n1 ；S n=3n1，log 3 an（S 4m+1）=9，（n1）+4m=9，n+4m=10， + = （n+4m） （ + ）= （17+ ） （17+8）=2.5，当且仅当 m=n=2 时取等号， + 的最小值是 2.5故答案为：2.512在平面直角坐标系数 xOy 中，点 A（1，0） ，B（4，0）
15、，若直线 xy+m=0 上存在点 P，使得 2PA=PB，则实数 m 的取值范围是 2 ，2 【考点】IG：直线的一般式方程9【分析】设 P（x，x+m） ，由 2PA=PB，可得 4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m） 2=4x 2，可得：m=x ，x2，2通过三角函数代换即可得出【解答】解：设 P（x，x+m） ，2PA=PB，4|PA| 2=|PB|2，4（x1） 2+4（x+m） 2=（x4） 2+（x+m） 2，化为（x+m） 2=4x 2，4x 20，解得 x2，2，m=x ，令 x=2cos，0，m=2cos2sin=2 sin（ ）2 ，2 ，实数 m
16、 的取值范围是2 ，2 ，故答案为2 ，2 13已知函数 f（x）= ，g（x）=kx+1，若方程 f（x）g（x）=0 有两个不同实根，则实数 k 的取值范围为 （ ，1）（1，e1 【考点】54：根的存在性及根的个数判断；53：函数的零点与方程根的关系【分析】方程 f（x）kx=1 有两个不同实根可化为函数 f（x）与函数 y=kx+1 有两个不同的交点，作函数 f（x）与函数 y=kx+1 的图象，结合函数的图象求解【解答】解：g（x）=kx+1，方程 f（x）g（x）=0 有两个不同实根等价为方程 f（x）=g（x）有两个不同实根，即 f（x）=kx+1，则等价为函数 f（x）与函数
17、y=kx+1 有两个不同的交点，当 1x2，则 0x11，则 f（x）=f（x1）=e x1 ，当 2x3，则 1x12，则 f（x）=f（x1）=e x2 ，当 3x4，则 2x13，则 f（x）=f（x1）=e x3 ，10当 x1 时，f（x）=f（x1） ，周期性变化；函数 y=kx+1 的图象恒过点（0，1） ；作函数 f（x）与函数 y=kx+1 的图象如下，C（0，1） ，B（2，e） ，A（1，e） ；故 kAC=e1，k BC= ；在点 C 处的切线的斜率 k=e0=1；结合图象可得，实数 k 的取值范围为（ ，1）（1，e1；故答案为：14已知函数 f（x）= ，若关于 x
18、 的不等式 f（x）f（x+m）的解集为M，且1，1M，则实数 m 的取值范围是 （1 ，0） 【考点】7E：其他不等式的解法【分析】由题意可得，当 m=0，显然不满足条件；在1，1上，函数 y=f（xm）的图象应在函数 y=f（x）的图象的下方，【解答】解：函数 f（x）= ，若 m=0，则不等式即 f（x）f（x ） ，显然不成立若 m0，函数 f（x）= 在 R 上是增函数，如图 1 所示：由 f（x）f（x+m） ，可得 xx+m，m0，故 m 无解11若 m0，函数 y=f（x+m）的图象是把函数 y=f（x）的图象向右平移m 个单位得到的，由题意可得，当 x1，1时，函数 y=f（
19、x+m）的图象在函数 y=f（x）的图象的下方，如图 2 所示：只要 f（1+m）f（1）即可，即（1+m）1m（1+m）1（1+m） ，即 m+2m 2m 30，即 1+2mm 20，求得 1 m1+ ，综合可得，1 m0，故答案为：（1 ，0） 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = （1）求角 A 的值；（2）若ABC 的面积为 ，且 a= ，求ABC 的周长【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】 （1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可
20、得出结论（2）由已知利用三角形面积公式可求 bc 的值，利用余弦定理可求 b+c 的值，即可得解【解答】解：（1）由 = ，利用正弦定理可得 2sinBcosAsinCcosA=sinAcosC，化为 2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，sinB0，12cosA= ，A（0，） ，A= （2）A= ，ABC 的面积为 = bcsinA= bc ，bc=2，a= ，由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，可得：5=b 2+c2bc=（b+c） 23bc=（b+c）26，解得：b+c= ，ABC 的周长 l=a+b+c= + 16如图已知四边形 AOCB 中，| |=5， =（5，
21、0） ，点 B 位于第一象限，若BOC 为正三角形（1）若 cosAOB= ，求 A 点坐标；（2）记向量 与 的夹角为 ，求 cos2 的值【考点】9R：平面向量数量积的运算；G9：任意角的三角函数的定义【分析】 （1）设AOB=，cos= ，sin= 可得：x A= ，y A=（2）B ，计算 . ， 可得 cos= 【解答】解：（1）设AOB=，cos= ，sin= xA= = = yA= =5 = 13A （2）B ，= = = = =5， =5cos= = cos2=2cos 21= 17如图，在半径为 30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 A（点 A，B 在直径上，点C，D 在
22、半圆周上） ，并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） （1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 （1）设 BC=x，求出 AB，得出侧面积 S 关于 x 的函数，利用基本不等式得出 S 的最大值；（2）用 x 表示出圆柱的底面半径，得出体积 V（x）关于 x 的函数，判断 V（x）的单调性，得出 V（x）的最大值【解答】解：（1）连接 OC，设 BC=x，则 AB=2 ， （其中 0x30） ，S=2x =2 x 2+=900，当且仅当 x2=900x 2，即
23、 x=15 时，S 取最大值 900；14取 BC=15 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大值为 900cm2（2）设圆柱底面半径为 r，高为 x，则 AB=2 =2r，解得 r= ，V=r 2h= ， （其中 0x30） ；V= ，令 V（x）=0，得 x=10 ；因此 V（x）= 在（0，10 ）上是增函数，在（10 ，30）上是减函数；当 x=10 时，V（x）取得最大值 V（10 ）= ，取 BC=10 cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为 cm318如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B，C 是椭圆 =1（ab0）上不同的三点， ，B（2，2） ，C 在第三
24、象限，线段 BC 的中点在直线 OA 上（1）求椭圆的标准方程；（2）求点 C 的坐标；（3）设动点 P 在椭圆上（异于点 A，B，C）且直线 PB，PC 分别交直线 OA 于 M，N 两点，证明 为定值并求出该定值【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】 （1）将 A，B 坐标代入椭圆方程，求出 a，b，即可求椭圆的标准方程；15（2）设点 C（m，n） （m0，n0） ，则 BC 中点为（ ， ） ，求得直线 OA 的方程，利用点 C 在椭圆上，即可求点 C 的坐标；（3）求出 M，N 的纵坐标，利用点 C 在椭圆上，结合向量的数量积公式，即可求得结论【解答】解：（1）由已知，将 ，B（2，2
25、）代入椭圆方程：，解得 ，椭圆的标准方程为 ； （2）解：设点 C（m，n） （m0，n0） ，则 BC 中点为（ ， ） 由已知，求得直线 OA 的方程：x2y=0，从而 m=2n2又点 C 在椭圆上，m 2+4n2=20由，解得：n=2（舍） ，n=1，从而 m=4点 C 的坐标为（4，1） （3）证明：设 P（x 0，y 0） ，M（2y 1，y 1） ，N（2y 2，y 2） P，B，M 三点共线，则 = 整理得 y1= P，C，N 三点共线，则 = ，整理得 y2= 点 C 在椭圆上，x 02+4y02=20，x 02=204y 02，从而 y1y2= = =2 = =5y1y2=
26、为定值，定值为 1619已知数列a n和b n满足 a1a2a3an= （nN *） 若a n为等比数列，且a1=2，b 3=6+b2（）求 an和 bn；（）设 cn= （nN *） 记数列c n的前 n 项和为 Sn（i）求 Sn；（ii）求正整数 k，使得对任意 nN *均有 SkS n【考点】8K：数列与不等式的综合；8E：数列的求和【分析】 （）先利用前 n 项积与前（n1）项积的关系，得到等比数列a n的第三项的值，结合首项的值，求出通项 an，然后现利用条件求出通项 bn；（） （i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本
27、小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明【解答】解：（）a 1a2a3an= （nN *） ，当 n2，nN *时， ，由知： ，令 n=3，则有 b 3=6+b2，a 3=8a n为等比数列，且 a1=2，a n的公比为 q，则 =4，由题意知 an0 ，q0，q=2 （nN *） 又由 a1a2a3an= （nN *）得：，b n=n（n+1） （nN *） 17（） （i）c n= = = S n=c1+c2+c3+cn= ；（ii）因为 c1=0，c 20，c 30，c 40；当 n5 时，而= 0，得，所以，当 n5 时，c n0，综上，对任意 nN *恒有 S4S n，故 k=
28、420已知函数 f（x）=x 22alnx（aR） ，g（x）=2ax（1）求函数 f（x）的极值；（2）若 a0，函数 h（x）=f（x）g（x）有且只有一个零点，求实数 a 的值；（3）若 0a1，对于区间1，2上的任意两个不相等的实数 x1，x 2，都有|f（x 1）f（x 2）|g（x 1）g（x 2）|成立，求 a 的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数18的极值问题；（2）求出 h（x）的导数，求出 h（x）的单调区间，求出极小值，得到函数 m（x）=2ln
29、x+x1，根据函数的单调性求出 a 的值即可；（3）问题转化为 h（x）在1，2递增，求出函数的导数，分离参数得到 a 在1，2恒成立，令 t=x+12，3，从而求出 a 的范围即可【解答】解：（1）f（x）= ，当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，f（x）无极值，当 a0 时，x（0， ）时，f（x）0，f（x）递减，x（ ，+）时，f（x）0，f（x）递增，f（x）有极小值 f（ ）=aalna，综上：a0 时，f（x）无极值，a0 时，f（x） 极小值 =aalna，无极大值；（2）令 h（x）=x 22alnx2ax，则 h（x）= ，a0，令 h（x）=0，解得 x0
30、= ，h（x）在（0， ）递减，在（ ，+）递增，h（x）在 x0处取得极小值 h（x 0）=0， 2alnx 02ax 0=0 且 2 2ax 02a=0，联立可得：2lnx 0+x01=0，令 m（x）=2lnx+x1 得 m（x）= +10，故 m（x）在（0，+）递增又 m（1）=0，x 0=1，即 =1，解得：a= ；（3）不妨令 1x 1x 22，则由（1）得 f（x 1）f（x 2）19|f（x 1）f（x 2）|g（x 1）g（x 2）f（x 2）f（x 1）g（x 2）g（x 1）f（x 2）g（x 2）f（x 1）g（x 1） ，则 h（x）在1，2递增，h（x）= 0 在1，2恒成立，即 2x22ax2a0 在1，2恒成立，a 在1，2恒成立，令 t=x+12，3，则 =t+ 2 ，0a ，a 的范围是（0，
