1、- 1 -20172018 学年度下学期六校协作体高一期末考试试题数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 ，其中 是第二象限角，则 = （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：由题意，利用同角三角函数的基本关系式，即可求解 的值.详解：因为 ，其中 是第二象限角，所以 ，故选 A.点睛：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的化简求解，其中熟练掌握三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 要得到 的图象只需将 的图象（ ）A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位C.
2、向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以由 y=3sin3x 的图象向左平移 个单位得到考点：本题考查正弦函数的图象和性质点评：解决本题的关键是注意平移时，提出 x 的系数3. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）- 2 -A. B. C. D. 2【答案】D【解析】试题分析：第一圈，i=0，s=2，是，i=1,s= ;第二圈，是，i=2，s= ;第三圈，是，i=3，s=3；第四圈，是，i=4，s=2；第五圈，否，输出 s，即输出 2，故选 D。考点：本题主要考查程序框图的功能识别。点评：简单题，注意每次循环后，变量的变化情况。视频4. 已知 ，那
3、么 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：根据两角和与差的正弦公式进行化简，求得 的值，再由余弦函数的二倍角公式，即可得到答案.- 3 -详解：由 ，即 ，所以 ，故选 A.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求解，其中解答中涉及到两角和与差的正弦公式的逆用，以及余弦的二倍角公式的应用，熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5. 与函数 的图象不相交的一条直线是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 ，令 ，得 为函数图象的一条渐近线，即直线 与函数的图象不相交选 D6. 设 ， ， ，若 ，则实数 的值等于（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由 ，得 ，又由 得 ，解得 ，故选项为 C.考点：向量的坐标运算.7. 直线 ,圆 , 与 的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定【答案】A【解析】【详解】分析：把圆的方程化为标准方程，求和圆心和半径，再根据圆心到直线的距离和圆的半径的关系，即可得到直线与圆的位置关系.- 4 -详解：由圆 ，即 ，表示以 为圆心，半径为 的圆，所以圆心到直线的距离为 ，所以直线和圆相交，故选 A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，以及三角函数的基本关系式的应用，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理
5、与论证能力.8. 某班有男生 30 人，女生 20 人，按分层抽样方法从班级中选出 5 人负责校园开放日的接待工作现从这 5 人中随机选取 2 人，至少有 1 名男生的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】分析：根据分在层抽样求出抽取的男生为 3 人，女生为 2 人，再跟姐姐概率的公式，即可得到答案.详解：由题意，男生 30 人，女生 20 人，按照分层抽样方法从半径中抽取 5 人负责小圆开放日的接待工作，则男生为 人，女生为 ，从这 5 人中随机选取 2 人，共有 种，起哄全是女生的只有 1 种，所以至少有 1 名女生的概率为 ，故选 D.点睛：本题主要考查了分层抽样
6、与古典概型及其概率的计算，其中解答中根据分层抽样，确定好男生和女生的人数，找出基本事件的总数，利用古典概型及概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9. 已知方程 ，则 的最大值是（ ）A. 14 B. 14 C. 9 D. 14【答案】B【解析】【详解】分析：把圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，又由 表示圆上的点到原点的距离的平方，利用圆的性质即可求解.详解：由圆的方程 ，得 ，- 5 -表示以 为圆心，以 为半径的圆，如图所示，连接 ，并延长交圆于点 ，此时 取得最大值，又 ,所以 ，即 的最大值为 ，故选 B.点睛：本题主要考查了圆的标准方程，以及两点
7、间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合思想，借助圆的特征，找出适当的点 ，把 的最大值转化为原点与 的距离的平方是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.10. 已知函数 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 和 ，图象在 轴上的截距为 ，给出下列四个结论： 的最小正周期为 ； 的最大值为 2； ； 为奇函数其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D- 6 -【解析】【详解】分析：利用三角函数的的图象，求解函数点最小正周期、 的值，得到函数的解析式，即可判定，得到答案.详解：由图象得，函数的最小正周期为 ，解得 ，则 ，即 ，
8、又由 ，即 ，所以 ，解得 ，即 ，又由 ，即 ，所以 ，即 ，则函数的最大值为 2，所以上正确的；又由 ，所以上正确的；又由 为奇函数，所以是正确的，所以正确结论的个数为 4 个，故选 D.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中熟记三角函数的图象与性质，根据三角函数的图象，求得三角函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. 在直角三角形 中，点 是斜边 的中点，点 为线段 的中点， ( ）A. 2 B. 4 C. 5 D. 10【答案】D【解析】【详解】分析：以 为原点， 所在的直线为 轴，建立坐标系，由题意得以 为直径的圆必定过 点，设 ，得到
9、 和 各点的坐标，运用两点的距离公式，求解和 的值，即可得到答案.详解：由题意，以 为原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，因为 是直角 的斜边，所以以 为直径的圆必过 点，设 ，则 ，- 7 -因为点 为线段 的中点，所以 ，所以，所以由因为点 为线段 的中点，且 ,所以 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查了平面向量的坐标运算，及向量的模的计算问题，其中根据题意建立适当的平面直角坐标系，转化为向量的坐标表示与运算和平面上两点间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方程的应用，试题属于中档试题.12. 设 ,其中 ，若 在区间 上为增函数
10、，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：利用三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，在利用正弦函数的性质，即可求解.详解：由题意 - 8 -，因为 在 上为增函数，其中 ，则 ，且 ，解得 ，即 的的最大值为 ，故选 C.本题考查了三角恒等变换的应用，及三角函数的图象与性质的应用，解答中把利用三角恒等变换的公式，把三角函数式化为 的形式，再利用正弦型函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分。13. 欧阳修的卖油翁中写道：“(翁)乃取一葫芦，置
11、于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿 ”可见“行行出状元” ，卖油翁的技艺让人叹为观止已知铜钱是直径为 3 的圆，中间有边长为 1 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是_【答案】【解析】【详解】分析：分别计算出圆和正方形的面积，由几何概型的概率公式，即可得到答案.详解：由题意可知铜钱所在圆的半径为 ，所以其面积为 ，又由中间边长为 的正方形，则正方形的面积为 ，由几何概型的概率公式可得概率为 .点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的应用，其中解答中认真审题、正确理解题意，合理运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14
12、. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为 .由以上信息，得到下表中 的值为_.- 9 -【答案】6【解析】因为回归直线过样本点中心,所以 ,则 c=6.故答案为：615. 若向量 ，向量 ，则 在 上的正射影的数量为_【答案】【解析】【详解】分析：设向量 与 的夹角为 ，则所求 ，利用向量的坐标运算，即可求解.详解：设向量 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为 .点睛：本题主要考查了平面向量的正射影的求解，其中牢记平面向量的正射影的定义以及向量的数量积的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16. 由正整数组成的一组数据 ，
13、其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为_.（从小到大排列）【答案】1，1，3，3【解析】试题分析：由已知不妨假设 ，则 ，又因为标准差等于 ，所以 ，且都是正整数，观察分析可知这组数据只可为：，- 10 -考点：平均数与中位数；标准差；方程组思想三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 已知（1）化简 ；（2）若 是第三象限角，且 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【详解】分析：（1）利用诱导公式化简，即可求解；（2）利用诱导公式，求解 ，再由三角函数的基本关系式，即可求解.详解：（1）是第三象限角,点睛：本题主
14、要考查了三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式的应用，其中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20，30） ，30，40） ，80，90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（2）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40，50）内的人数；- 11 -（3）已知样本中有一半男生的分数不小于
15、 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例【答案】 （1）0.4；（2）20；（3）【解析】【详解】分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于 70 的频率，进而得到分数小于 70 的概率；(2)根据题意，根据样本中分数不小于 50 的频率为 ，求得分数在区间 内的人数为 5人，进而求得总体中分数在区间 内的人数；（3）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 60 人，求得样本中分数不小于 70 的男生人数，即可求解.详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为(0.02+0.04)10=0.6 ,样本
16、中分数小于 70 的频率为 1-0.6=0.4.从总体的 400 名学生中随机抽取一人其分数小于 70 的概率估计为 0.4(2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为，分数在区间 内的人数为 所以总体中分数在区间 内的人数估计为 （3）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 所以样本中的男生人数为 ，女生人数为 ，男生和女生人数的比例为点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估
17、计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于 1；在频率分布直方图中，各小长- 12 -方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于 1.19. 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班身高的样本方差；（3）现从乙班的这 10 名同学中随机抽取 2 名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm的同学被抽到的概率【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由茎叶图，获得所有身高数据，
18、计算平均值可得；（2）由方差公式计算方差；（3）由茎叶图知乙班这 名同学中身高不低于 的同学有人，可以把 5 人编号后，随便抽取 2 名同学这个事件含有的基本事件可以用列举法列举出来（共 10 个） ，其中含有身高 176cm 基本事件有 4 个，由概率公式计算可得试题解析：（1）由茎叶图知：设样本中甲班 位同学身高为 ，乙班 位同学身高为 ，则2 分4 分 ，据此可以判断乙班同学的平均身高较高设甲班的样本方差为 ，由（1）知 则- 13 -， 8 分由茎叶图可知：乙班这 名同学中身高不低于 的同学有 人，身高分别为 、 、 、 这 名同学分别用字母 、 、 、 、 表示则记“随机抽取两名身高
19、不低于 的同学”为事件 ，则 包含的基本事件有：、 、 、 、 、 、 、 、 、 共个基本事件 10 分记“身高为 的同学被抽中”为事件 ，则 包含的基本事件为： 、 、 、 共 个基本事件由古典概型的概率计算公式可得： 12 分考点：茎叶图，均值，方差，古典概型视频20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x 2y 212x14y600 及其上一点 A(2，4） （1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程【
20、答案】 （1） ；（2）【解析】【详解】分析：(1)化简得到圆 的标准方程，求得圆 的圆心坐标和半径，进而求得 N 的标准方程；(2)由题意得 ，设 ，则圆心 到直线 的距离，由此能求出直线 的- 14 -方程.详解：圆 M 的标准方程为(x6) 2(y7) 225，所以圆心 M(6,7)，半径为 5.(1)圆 N 的标准方程为(x6) 2(y1) 21.(2)因为直线 lOA，所以直线 l 的斜率为 2设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0，因为 BCOA 2 ，而 MC2d 2 2，则圆心 M 到直线 l 的距离 d 所以解得 m5 或 m15.故直线 l 的方程为 2xy50 或
21、 2xy150点睛：本题主要考查了圆的标准方程的求法及直线与的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，以及合理运用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.21. 已知函数 ， （1）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；（2）若 ，x 0 ，求 cos 2x0的值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先整理 ,由 可得函数的最小正周期，由可得 的范围,进而可得函数的最值；（2）由 可得- 15 -的值,由 的范围可得 的值,再由两角差的余弦公式可求得的值.试题解析：（1）由 ，得，所以函数 的最小正周期为
22、因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上的最大值为 2，则最小值为-1（2）解：由（1）可知 ，又因为 ，所以 ，由 ，得 ，从而 ，所以 考点：二倍角公式；两角和与差的正弦,余弦公式；三角函数的性质.22. 已知向量 ， ， （1）求出 的解析式，并写出 的最小正周期，对称轴，对称中心；（2）令 ，求 的单调递减区间；（3）若 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【详解】分析：（1）由题意，根据向量的数量积的运算得到 ，即可求解最小正周期，对称轴和对称中心；（2）由（1）得 ，利用余弦型函数的性质，即可求解函数的递减区间；（3）由 ，求得 ，进而利用三角函数基本关系式，即可化简求得 的值.- 16 -详解：（1） .所以 的最小正周期 ，对称轴为对称中心为 .（2） .令 得所以 的单调减区间为 .（3）若 / ，则 即.点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简求值问题，解答本题关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
