1、- 1 -雅礼中学 2018 年上学期期末考试试卷高二理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 是 的共轭复数. 若 （ 为虚数单位） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先设 z=x+yi， （x,yR） ，由题得关于 x,y 的方程组，解方程组得 x,y 的值即得 z 的值.详解：设 z=x+yi， （x,yR） ，由题得 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数 的共轭复数 复数相等:.2.
2、设全集为 R，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先求得 ，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得： ，结合交集的定义可得： .本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设 ，则“ ”是 的 （ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要- 2 -条件【答案】A【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由 得-1x-11，所以 0x2.由 得 x2，因为 ，所以“ ”是 的充分不必要条件.故答案
3、为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合 的对应关系. ， ；最后利用下面的结论判断：（1）若 ,则 是 的充分条件，若 ，则 是 的充分非必要条件；（2）若 ,则 是 的必要条件，若 ，则 是 的必要非充分条件；（3）若且 ，即 时，则 是 的充要条件.4. 设 是等差数列. 下列结论中正确的是 （ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】试题分析：本题可使用举反例法排除错误选项A 项中，取，可
4、见命题是错误的；B 项中，取，可见命题是错误的；D 项中，取，可见命题是错误的；而 C 项中，因为 ，所以 ，可得，故本题的正确选项为 C.考点：等差数列的运用.- 3 -5. 下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果详解：首先根据函数 y=lnx 的图象，则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（x）的图象关于 y 轴对称由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称则：把函数 y=ln（x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：y=ln（2x） 即所求得解析式为：y=ln（2x） 故
5、答案为：B点睛：本题主要考查函数图像的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.6. 已知 为正实数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由对数与指数的运算法则，知 ， ，所以，故 D 正确，故选 D考点：指数与对数的运算7. 已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】， ，向量 在 方向上的投影为 ，故选 A8. 【2018 天津，文 2】- 4 -设变量 x， y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 （ ）A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【答案】C【解析】分析：先画出约束条件的可行域，利用
6、目标函数的几何意义，分析后易得目标函数 z=3x+5y的最大值详解：由变量 x，y 满足约束条件 ，得如图所示的可行域，由 解得 A（2，3） 当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，z 取得最大值将其代入得 z 的值为 21，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小， 就最小，要看函数的解析式，如： ,直线的纵截距为 ,所以纵截距 最小时， 最大.9. 函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图象
7、可知， ，解得 ， ，所以，令 ，解得 . 所以 ab0.所以，所以 .故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2)解答本题的关键是对数的运算.12. 已知数列 满足 ，且 是递减数列， 是递增数列，则 （ ）A. B. C. D. - 7 -【答案】D【解析】试题分析：由 可得： ，又 是递减数列， 是递增数列，所以 ， 即 ，由不等式的性质可得：，又因为 ，即 ，所以，即 ，同理可得： ；当数列 的项数为偶数时，令 ，可得：，将这 个式子相加得： ，所以，则 ，所以选 D考点：1裂项相消法求和；
8、2等比数列求和；二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 的夹角为 60， ，则 _ .【答案】【解析】由题意知 | | |cos6021 1，则 ( )2| |24| |24 44412.所以 2 .故答案为： .14. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层灯数为_【答案】3- 8 -【解析】分析：设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列a n公比为 2 的等比数列，利用等比数列前 n 项和公式
9、能求出结果详解: 设塔的顶层共有 a1盏灯，则数列a n公比为 2 的等比数列，S 7= =381，解得 a1=3故答案为：3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.15. 已知函数 , 其中 是自然对数的底数 .若 ,则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】由已知 ，则 是奇函数，又，所以 是 上的增函数，所以由得 ， ，解得 【点睛】解函数不等式 的问题，一般解法是说明（或已知） 是奇函数，然后证明 是单调函数，这样已知不等式可变为 ，然后利用单调性去“ ”求解，对偶函数 的不等式 一般变形为 ，再由单调性去“ ”求解16. 中， ，则 的最大值为_.【答
10、案】【解析】分析：先求出 ，再利用正弦定理求出 ，再利用三角变换和 基本不等式求其最大值.详解：由题得 ,由正弦定理得- 9 -所以 的最大值为 .故答案为：点睛：（1）本题主要考查平面向量的数量积，考查正弦定理和三角变换，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是求出 ，其二是化简得到 ，再利用基本不等式求最大值 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17. 已知集合 = ，集合 = .（1）若 ，求 ；（2）若
11、 A B，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）先化简集合 A,B，再求 .(2)先化简集合 A,B，再根据 A B 得到 ，解不等式得到实数 的取值范围.详解：（1）当 时， ，解得 .则 . 由 ，得 .则 . 所以 . （2）由 ，得 . - 10 -若 A B，则 解得 . 所以实数 的取值范围是 .点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成 的形式化成不等式组 解不等式组得解集.18. 已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .（1）求数列 的通项公式；（2
12、）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）利用项和公式求出数列 的通项公式.(2)先化简得 ，再利用裂项相消法求数列 的前 项和 .详解： (1)由 得 ，当 时， ，即 ，又 ，当 时符合上式，所以通项公式为 . (2)由（1）可知.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 类似 （其中 是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19. 已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且 .- 11 -（1）求角 的大小；（2）若 ,且 的面积为
13、,求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】分析：（1）根据正弦定理边化角，根据三角恒等变换求出 A；（2）根据面积求出 bc=4，利用余弦定理求出 a详解：（1）由正弦定理得， ，即 ， ， （2）由： 可得 ， ，由余弦定理得： ， .点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20. 某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情
14、况，从本市全体高三学生中随机抽取了100 人的身高数据进行统计分析经数据处理后，得到了如下图 1 所示的频事分布直方图，并发现这 100 名学生中，身高不低于 1.69 米的学生只有 16 名，其身高茎叶图如下图 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率- 12 -（1）求该市高三学生身高高于 1.70 米的概率，并求图 1 中 、 、 的值（2）若从该市高三学生中随机选取 3 名学生，记 为身高在 的学生人数，求 的分布列和数学期望；（3）若变量 满足 且 ，则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总
15、体是正常的试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由【答案】 （1）概率为 0.15 ， ， （2）见解析（3）正常【解析】分析：（1）先利用概率公式求这批学生的身高高于 1.70 的概率，再求 、 ，从而得到 a,b,c 的值 .(2)由于随机变量 服从二项分布，根据二项分布求 的分布列和数学期望.(3)先求 、，再根据已知判断该市高三学生的身高发育总体是否正常.详解：（1）由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15记 为学生的身高，结合图 1 可得：，又由于组距为 0.
16、1，所以 ， ， （2）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取 1 名，身高在 的概率为- 13 -，因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验，所以随机变量 服从二项分布 ，分布列为： ，0 1 2 30.027 0.189 0.441 0.343（或 ） （3）由 ，取 ， ，由（2）可知， ，又结合（1） ，可得： ，所以这批学生的身高满足近似于正态分布 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中频数频率的计算，考查随机变量的分布列和期望、考查正态分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
17、若 则21. 已知 ， （1）讨论 的单调性；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）求出 ，分两种情况讨论 的范围，在定义域内，分别令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（2）令，问题转化为 在 上恒成立，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当 时不合题意，当 时，可证明 在 上单调递增；所以 ，满足题意，从而可得结果.- 14 -试题解析：（1） ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，由 ，得 当 时， ；当 时， 所以 在 单调递减；在 单调递增 （2）令 ，问题转化为 在 上恒成立，注意到 当 时，
18、，因为 ，所以 ， ，所以存在 ，使 ，当 时， ， 递减，所以 ，不满足题意 当 时， ，因为 ， ， ，所以 ， 在 上单调递增；所以 ，满足题意综上所述： 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ， 为曲线 上的动点，动点 满足 （ 且 ） ， 点的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程，并说明 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标为 ，射线 与 的异于极点的交点为 ，已知 面积的最大值为 ，求 的值.- 15 -【答案】 （1） 曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆.（2）【解析】分析：（1）设 ， ，根据 ，推出 ，代入到
19、 ，消去参数即可求得曲线 的方程及其表示的轨迹；（2）法 1：先求出 点的直角坐标，再求出直线 的普通方程，再根据题设条件设 点坐标为 ，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合 面积的最大值为 ，即可求得 的值；法 2：将 ，代入 ，即可求得 ，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合 面积的最大值为 ，即可求得 的值.详解：（1）设 ， ，由 得 . 在 上 即 （ 为参数） ，消去参数 得 .曲线 是以 为圆心，以 为半径的圆.（2）法 1： 点的直角坐标为 .直线 的普通方程为 ，即 .设 点坐标为 ，则 点到直线 的距离.当 时， 的最大值为 .法 2：将 ， 代入 并整理得： ，令 得 .- 16 -当 时， 取得最大值 ，依题意 ， .点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.
