1、- 1 -2018 届高三毕业班第二次模拟考试数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ,所以 ,选 B.2. 若复数 ， 为 的共轭复数，则复数 的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,所以虚部为 1,选 C.3. 如图所示的是一块儿童玩具积木的三视图，其中俯视图中的半曲线段为半圆，则该积木的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该积木为一个柱体,前面为两个正方形加半个圆柱侧面
2、积,后面为矩形,上下为一个矩形去掉半圆,左右为矩形,因此表面积为,选 A.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量- 2 -(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用4. 已知命题 ： ， ，则 为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】因为命题 ： ， ，所以 为 : ， ,选 D.5. 在某校连续 次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学 次成绩的平均数为 ，乙同学 次成绩的中位
3、数为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为乙同学 次成绩的中位数为 ，所以 选 A.6. 若执行如图所示的程序框图，其中 表示区间 上任意一个实数，则输出数对 的概率为（ ）A. B. C. D. - 3 -【答案】C【解析】概率为几何概型,测度为面积,概率为 选 C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它
4、们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率7. 已知 ， 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 或【答案】C【解析】若 ， ，则 ;若 ， 则 ， ， ；若 ， ，则 而 ，则 或 ；若 ， ，则由线面平行判定定理得 或 ；因此选 C.8. 若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作可行域如图，则 ,所以直线 过点 A(0,1)时 取最大值 1，选 B.- 4 -点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合
5、的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9. 将 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到 的图象，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，因此 ，选 D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.10. 已知圆 ： 与圆 ： 的公共弦所在直线恒过定点，且点 在直线 上，则 的取
6、值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 与 ,相减得公共弦所在直线方程：，即 ，所以由 得 ，即 ，因此 ，选 D.- 5 -点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11. 已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，点 在线段 上，且.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ，则由面积关系得.所以 ，选 B.12. 设函数 ，若 在区间 上无零点，则实数 的取值范围
7、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当 时， ，所以 在 上至少有一个零点；舍去 B,D;当 时， ，所以 在 上至少有一个零点；舍去 C;因此选 A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 _- 6 -【答案】【解析】 1
8、4. 已知焦点在 轴上的双曲线 ，它的焦点 到渐近线的距离的取值范围是_【答案】【解析】由题意得 ，焦点 到渐近线的距离为 .点睛：1.已知双曲线方程 求渐近线：2.已知渐近线 设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为 ，垂足为对应准线与渐近线的交点.15. 已知在 中， ， ，动点 位于线段 上，则当 取最小值时，向量 与 的夹角的余弦值为_【答案】【解析】因为 ， ，所以 ,所以 当且仅当 时取等号，因此 ,所以向量 与 的夹角的余弦值为16. 已知定义在 上奇函数 和偶函数 满足 ，若，则 的取值范围是_【答案】- 7 -【解析】因为 ，所以 ，即 ，因此因为 ，所以由 ，得，结合分
9、母不为零得 的取值范围是点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得 的值或解析式.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等差数列 的前 项和为 ，点 在函数 （ ）的图象上，且 .（1）求数列 的通项公式；（2）记数列 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据函数关
10、系得和项关系式，再根据等差数列和项特征求首项与公差，最后代入等差数列通项公式；（2）因为 为等差与等比乘积，所以利用错位相减法求和.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，则 ，又，两式对照得 所以数列 的通项公式为 .（2）则- 8 -两式相减得点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为 的等边三角形， 为
11、的中点，侧棱 ，点 在 上，点 在 上，且 ， .（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）根据平几知识得 ，由线面垂直得 ，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角 的余弦值.试题解析：（1） 是等边三角形， 为 的中点， ， 平面 ，得 .在侧面 中，- 9 -， ， ， ， .结合，又 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面（2）解法一：如图建立空间直角坐标系 .则 ，
12、， .得 ， ，设平面 的法向量 ，则即 得 取 .同理可得，平面 的法向量则二面角 的余弦值为 .解法二：由（1）知 平面 ， ， . 即二面角 的平面角在平面 中，易知 ， ，设 ， ，解得 .即 ，- 10 -则二面角 的余弦值为 .19. 随着互联网技术的快速发展，人们更加关注如何高效地获取有价值的信息，网络知识付费近两年呈现出爆发式的增长，为了了解网民对网络知识付费的态度，某网站随机抽查了岁及以上不足 岁的网民共 人，调查结果如下：（1）请完成上面的 列联表，并判断在犯错误的概率不超过 的前提下，能否认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关？（2）在上述样本中用分层抽样的方法，从支持和
13、反对网络知识付费的两组网民中抽取 名，若在上述 名网民中随机选 人，设这 人中反对态度的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.附： ， .【答案】(1) 在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年龄有关. (2) 【解析】试题分析：（1）先根据数据填表，再代入卡方公式求 ，最后与参考数据比较作判断， （2）先根据分层抽样确定人数，确定随机变量取法，再利用组合数计算对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1） 列联表如下：支持 反对 合计不足 岁- 11 -岁及以上合计所以在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为网民对网络知识付费的态度与年
14、龄有关.（2）易知抽取的 人中，有 人支持， 人反对.的可能取值为 ， ， ，且， ，则 的分布列为的数学期望20. 已知椭圆 （ ）的上顶点与抛物线 （ ）的焦点 重合.（1）设椭圆和抛物线交于 ， 两点，若 ，求椭圆的方程；（2）设直线 与抛物线和椭圆均相切，切点分别为 ， ，记 的面积为 ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何性质得 p，再根据对称性得 A 坐标，代人椭圆方程可得 a,（2）先根据导数几何意义得抛物线切线方程，再与椭圆方程联立，根据判别式为零确定切点，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最值，证得结论.试题解析：（1）易知
15、 ，则抛物线的方程为由 及图形的对称性，不妨设 ，- 12 -代入 ，得 ，则 .将之代入椭圆方程得 ，得 ，所以椭圆的方程为 .（2）设切点 ， 即 ，求导得 ，则切线 的斜率为 ，方程，即 ，将之与椭圆 联立得 ，令判别式化简整理得 ， ，此时设直线 与 轴交于点 ，则由基本不等式得 ，则 ，仅当 时取等号，但此时 ，故等号无法取得，于是 .21. 已知函数 ， 为自然对数的底数.（1）若当 时， 恒成立，求 的取值范围；（2）设 ，若 对 恒成立，求 的最大值.【答案】(1) (2) 的最大值为 ，此时 ，【解析】试题分析：（1）因为 ，所以 恒成立，由于 ，所以设 ，- 13 -则 恒
16、成立，根据一次函数单调性即得 的取值范围；（2）令 ，则原问题转化为对 恒成立.根据二次求导可得 ， ，即得 ，再利用导数求函数 最大值，即得 的最大值.试题解析：（1）由题意得 ，且 ，注意到设 ，则 ，则 为增函数，且 .讨论如下：若 ， ，得 在 上单调递增，有 ，得 在上单调递增，有 ，合题意；若 ，令 ，得 ，则当 时， ，得 在 上单调递减，有 ，得 在 上单调递减，有 ，舍去.综上， 的取值范围 .（2）当 时， ，即 .令 ，则原问题转化为 对 恒成立.令 ， .若 ，则 ，得 单调递增，当 时， ， 不可能恒成立，舍去；若 ，则 ；若 ，则易知 在 处取得最小值 ，所以 ，将
17、 看做新的自变量 ，即求函数 的最大值，则 ，令 ，得 .所以 在 上递增，在 上递减，所以 ，即 的最大值为 ，此时 ， .点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.- 14 -请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .（1）求直线 的极坐标方程和圆 的直角坐
18、标方程；（2）射线 ： 与圆 的交点为 ， ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据 ， 得直线 的极坐标方程以及圆 的直角坐标方程；（2）将 代入得 ， ，再根据 求线段 的长.试题解析：（1）在 中，令 ， .得 ，化简得 .即为直线 的极坐标方程.由 得 ，即 .，即为圆 的直角坐标方程.（2）所以 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若 ，解不等式 ；（2）对任意满足 的正实数 ， ，若总存在实数 ，使得 成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先利用 1 的代换求 最小值，再根据绝对值三角不等式求 的最小值，最后- 15 -解不等式可得实数 的取值范围.试题解析：（1）当 时，由 得 ，则 ；当 时， 恒成立；当 时，由 得 ，则 .综上，不等式 的解集为（2）由题意 ，由绝对值不等式得 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .由题意得 ，解得 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
