1、第十一单元 鸡兔同笼与假设法单元简介：鸡兔同笼问题，是我国古代著名趣题之一。大约在 1500 年前，孙子算经 （ 孙 子 算 子 共 三 卷 ， 成 书 大 约 在 公 元 5 世 纪 。 这 本 书 浅 显易 懂 ， 有 许 多 有 趣 的 算 术 题 ） 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 题目中给出了鸡兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚
2、，那么，兔子就成了 2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是 352=70（只） ，比题中所说的 94 只要少 94-70=24（只） 。现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即70+2=72（只） ，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2，一直继续下去，直至增加 24，因此兔子数：242=12（只） ，从而鸡有 35-12=23（只） 。我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少
3、只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数） 。类似地，也可以假设全是兔子。走进来我们今天来学习一个有趣的问题，这个问题是我国伟大的数学家孙子在大约1500年前提出来的：“ 今有 鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？”你知道 这四句话的意思 吗？你又知道孙子当年是如何解决这个问题的吗？今天我们就沿着孙子的足迹走进1500年前，和我们伟大的数学家孙子一起来探讨这个问题，好吗？为了研究方便研究问题，我们不妨建立几个情境：新年到了，鸡兔在一起开展了一次化妆舞会。第一场：鸡的专场舞会：10只鸡上台表演，你知道有多少条腿
4、吗？第二场：兔的专场舞会：一些兔上场表演，数腿有20条，你知道有多少只兔吗？第三场鸡兔同台表演：数头10只，数腿28条，你知道有几只鸡和几只兔吗？我们来分析一下，上面三个问题，哪一个更 难一些？难在哪里了呢？解决问题的方法是什么呢？（把两样东西看成一样的东西）一起做好，我们就用上面的想法来解决这个问题。出示例 1。【例 1】鸡兔同笼，不知其数，只知头共 10 只，腿共 28 条，鸡兔各多少只？教学建议：可以都看成什么？结果是什么？解：假设都是鸡（画 10 个小圆圈表示 10 只头，每个头下面画两竖表示两条腿）则有腿：102=20 比实际少了 28-20=8 原因是这里面有兔，把兔看成鸡了。每看
5、错 1 只少：4-2=2 只腿。看错：8（4-2）=4 只。则有兔 4 只，鸡：10-4=6你知道孙子是怎样解决这个问题的吗？小结：当几种事物参合在一起的时候，分不清哪个有几个的时候，先不妨看成一样的，即采取假设的方法来解决。好处是多样 的事物转化为一种事物，把复杂问题转化为简单问题来解决了。练习：展现自己 12【例 2】小达的储蓄盒里有 2 元和 5 元的人民币共 55 张，总钱数为 185 元，两种面值的人民币各多少张？教学建议：说一说题中的条件是什么？与例 1 比较，相同的地方是什么？解：假设55张都是2元的，552=110元，相差185-110=75元，每把一张5元的当成2元的少算（5
6、-2）元，因此有 5元的张数是75（5-2）=25张。2元的张数是55-25=30张。小结：什么时候用假设法来解决问题。假设法的作用是什么？练习：展现自己 35【例 3】鸡兔同笼，鸡比兔多 14 只，共有脚 136 只。鸡兔各有多少只？教学建议：如果这个问题变成鸡兔同样多，你会解决了吧？那么假设什么呢？解：假设鸡和兔同样多，1只鸡和1只兔为一组共6条腿。可以“ 假设去掉14只鸡，根据腿的剩下数量可以求出兔的数量， （136-142）（4+2）=18只（兔的数量）。 还可以“假设 增加14只兔，则腿的数量增加到136+14 4=192只脚，192（4+2）=32只（鸡的数量）也可解答。练习：展现
7、自己 67【例 4】鸡兔同笼，鸡兔共 45 个头，兔脚比鸡脚多 78 只，鸡兔各有多少只？教学建议：提出问题：如果 45 只都是兔，而鸡是 0 只，兔腿的总数比鸡腿多多少呢？解：假设 45 只都是兔，而鸡是 0 只，兔腿的 总数比鸡腿多 180 条，要使兔腿比鸡腿多 78 只，调整鸡、兔的数量是本例的关键。每 调整一只，则腿的差减少（4+2）条，现在中多 180，而实际上只多 78 条。相差 180-78=102 条，所以鸡的只数=102 （4+2）=17 只。兔的只数是 45-17=28 只。练习：展现自己 89【例 5】达慧学校举行智力竞赛，每位选手应回答 25 道题，若回答正确，每题得
8、4 分，若答错了或不答，则每题倒扣 1 分。小奇得了 85 分，他答对了多少道题？提出问题：对每一道题来讲，得分情况都有哪些？“ 答错了或不答，则每题倒扣1分”的意思是什么？（从做对题得分中扣1分）解：假设25道题全答对，每题得4分， 则得25 4=100分。而实际得分85分，损失了15分，把一道扣分的题当成对的，多少了 4+15分，就可计算出他答错了15（4+1）=3道（答错或未答的）答 对了25-3=22 道。练习：展现自己 1012【例 6】小慧的储蓄盒里有 2 元、5 元和 10 元人民币共 48 张，总钱数为 220 元，其中 2 元和 5 元的张数相同，三种人民币各有多少张？提出问
9、题：本例题与例 2 有什么不同？三个未知量能否转化为两个未知量，如何转化？解：三个未知量中， “2 元和 5 元张数相同”由此可假设 48 张都是 10 元人民币，钱数=48 10=480 元，钱数与 实际矛盾。 调整时，要注意一组一组调整，用“ 1 张 2元和 1 张 5 元” 换“ 2 张 10 元”。每交 换一次，钱数减少 102-（2+5）=13 元。2 元和5 元的张数=（ 480-220）13=20 张。 10 张数=48-20-20=8 张。练习：展现自己 1315【例 7】蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在有三种昆虫共 18 只
10、，有腿 122 条，翅膀 16 对，问三种昆虫各有多少只？教学建议：认真读题，此题与前面的题比较，有什么特点？（三种事物，而且数量关系比较复杂：在已知条件中有头有腿还有翅膀），我们考虑问题不仅要考虑腿的数量还要考虑翅膀的数量（首先从腿的情况考虑：蜻蜓和蝉都有 6 条，可以把它们看成同一类昆虫，而蜘蛛 8 条腿， 这样可以分成两大类。从而求出蜘蛛和 6 条腿的昆虫的只数。再从翅膀方面讨论，得出蜻蜓和蝉的只数）解：假设都是 6 条腿的昆虫，共有腿 186=108 条。和实际相差 122-108=14 条。有 8 条腿昆虫只数=14（8-6 ）=7 只。 6 条腿昆虫=18-7=11 只。 （蜻蜓+
11、蝉）。假设 11只都是蜻蜓，则有翅膀 112=22 对，和实际相差 22-16=6 对。蝉的只数=6（2-1）=6 只。则蜻蜓只数=18-7-6=5 只。练习：超越自我 13我发现什么时候用假设法来解决问题？假设法的作用是什么？参考答案：展现自己1鸡：25 只；兔：5 只 2鸡：16 只；兔：35 只35 角：8 张；2 角：10 张 4梨：16 筐；苹：12 筐5篮球：32 元；排球：25 元 6鸡：28 只；兔：43 只7鸡：57 只；兔：42 只 8兔：30 只；鸡 70 只9鸡：55 只；兔：45 只 10对：11 道11对：18 道 125 箱 13. 50 元：20 张 14. 4
12、0 元：120 张 50 元：120 张 30 元：160 张15. 1 元：20 张；2 元：18 张；5 元：12 张超越自我1假设 24 只都是 6 条腿：15624612 条，蜘蛛：12（86）6只；蜻蜓和蝉共：24618 只，假设 18 只都是蝉：蜻蜓 281810 只；蝉：18810 只。 （方法不一）2假设 37 只都是 6 条腿：25037628 条，螃蟹：28（86）14只；蜻蜓和螳螂共：371423 只，假设 23 只都是螳螂：蜻蜓 25232只；螳螂：23221 只。部分练习详解：展现自己1 3047050（只）鸡：50（42）25（只） 兔：30255（只）2 5141
13、7232（只）鸡：32（42）16（只） 兔：511635（只）3 5186030（只）2 角：30（52）10 5 角：181084 302878060（筐）苹果：60（3025）12（筐） 梨：281216（筐）5 22137200（元）排球：200（35）25（元）篮球：25732（元）615460（只）鸡：（22860）（42）28（只）兔：281543（只）715230（只）兔：（28230）（42）42（只）鸡：421557（只） 81002200（只）兔：（20020）（42）30（只）鸡：1003070（只）91004400（只）鸡：（40070）（42）55（只）兔：1005
14、545（只）10 158120（分）错：（12072）（84）4（道）对：15411（道）11 2058812（分）错：12（51）2（道）对：20218（道）12 250204400600（元）600（20100）5（箱）13 1004618002800（元）2800（21001050）20（张）14 3040012000（元）15600120003600（元）40 元与 50 元：3600（4050302）120（张）30 元：4001202160（张）15 11612114（元）（502）5114126（元）2 元：126（5212）18（张）1 元：18220（张）5 元：501820
15、12（张）第十二单元 盈亏问题与对应法单元简介：盈亏问题是在等分除法的基础上发展的，它属于分配问题。分配时，两种分配方案的结果会出现“剩余（盈） ”或“不足（亏） ”的情况，所以我们分析问题时，通过观察、比较已知条件，研究对应数量的变化，寻找答案 ，这种思维方法叫对应法。对应法又叫比较法，重点是在比较中分析，在比较中解题。 “对应”是解决数学问题常用的一种方法。为了清楚地找出变化的数量关系，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，有利于我们进行观察和分析。走进来：很久以前的一天，几个小童去赶集，路上买了一筐梨，于是他们商量把这筐梨分了。如果一人3个则多 5个，如果一人 4个则正好，你知道
16、有几个小童？几个梨吗？我们来分析一下：分了几次梨？为什么还要分第二次？两次分梨的过程中相同点和不同点是什么？通过比较两次分梨的过程，你得出什么结论？走进来【例 1】老师把一些笔记本分发给他的学生们 ，若每人分 3 本，则剩余 28本；若每人分 4 本，则缺少 2 本。问有多少名学生？有多少本笔记本？提出要求：列出已知条件。再比较两次分配结果的差额，想想出现差额的原因是什么？解：每人 3 本，多 28 本；每人 4 本，少 2 本。学生数：（28+2）（4-3）=30（人）本数：430-2=118（本）或：330+28=118（本）练习：展现自己 12【例 2】老师把一些笔记本，分发给他的学生们
17、, 若每人分 3 本，则剩余 67本；若每人分 5 本，则剩余 7 本。问有多少名学生？有多少本笔记本？提出问题：第二次和第一次比较，每人多分2本，一共多分了多少本？解：人数：(67-7)（5-3）=30（人）本数：330+67=157（本）或：530+7=157（本）练习：展现自己 36【例 3】老师把一些笔记本，分发给他的学生们。若每人分 5 本，则缺少33 本；若每人分 4 本，则缺少 3 本。问有多少名学生？有多少本笔记本？教学建议：提出问题：由原来的缺3本，到缺33本，多缺了多少本？多缺的原因是什么？解：学生人数：（33-3）（5-4）=30 （人）。本数：430-3=117（本）。
18、练习：展现自己 7小结：前面解决的问题都是基本类型题，直接告诉了余或亏，解决问题的方法就是将两次分的方法和分的结果进行对比就可以。下面几道例题的关键是将条件进行转化。【例 4】有一组少先队员去植树，如果每人种 5 棵，还有 3 棵没有人种；如果其中 2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，这些树正好种完。问这个活动小组有多少人？一共种多少棵树？教学建议：提出问题：“ 如果每人种 5棵，还有3棵没有人种 ”是什么意思？“如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵， 这些树正好种完。 ”能否也说成每个人种几棵，多（或少）几棵呢？说明：将题目的条件摘录为：每人种5棵，剩下3棵 每人种5棵，多3棵每人种
19、6棵，少22棵解：人数：（22+3）（6-5 ）=7（人）树的棵数：57+3=38 （棵）练习：展现自己 812 小结：解决这样问题的关键是将题中的条件进行转化。【例 5】校外活动小组的同学，用一根绳子测量一座大桥桥面至水面的高度。把绳子对折后垂到水面，绳子超过桥面 9 米；把绳子三折后垂到水面，绳子超过桥面 2 米。绳子的长和桥面到水面的高度各是多少米？教学建议：同学们不妨画一画“对折” 和“三折”测量的情况，无论是对折还是三折，在测量过程中什么没有改变，什么 变了？变了的原因是什么？说明：摘录条件：两折后垂到水面，绳子超过桥面9米 三折后垂到水面，绳子超过桥面2米 转化为：对折，多出92=
20、18米三折，多出23=6米解 ：桥到水面的高：（18-6）（3-2）=12 （米）绳长：=2 12+18=42（米）。也可以312+6=42（米）练习：展现自己 1314【例 6】奇奇从家出发到学校去上课，他每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按此速度走下去，到学校就会迟到 1 分钟。于是他开始提高速度，每分钟比原来多走 10 米，到达学校时，离上课还有 2 分钟。问：奇奇家离学校有多少米？提出问题：在本题中，不变的量是什么？（奇奇从家走的时候到学校上课铃响的时间是不变的，奇奇家到学校的路程也是不变的。 ）说明：本例关键是把“ 迟到 1分钟” 转化为“上课时间到了，离学校还有501=60
21、米”；“ 提前2分钟”转化为“ 上课时间到了，能超过学校602=120米”。可以画图演示以上的两种情况。摘录条件：每分50米，迟到1分钟每分（50+10）米，提前2分钟转化为： 每分60米，差601=60米每分（50+10）米，超（50+10） 2=120米解：时间：（120+50 ）（60-50）=17（分）路程：50（17+2）=1000（米）练习：超越自我 3我发现盈亏问题为什么要用比较法来解决问题？比较什么？参考答案展现自己1人：15；糖：69 2人：12；树：513行：20；人：184 4人：13；砖：82 56 块 6. 人：15；纸：437班：7；跳绳：35 8小猴：10；桃：8
22、09人：40；本：200 10船：5；人：3611房间：18 人数：96 12车：17 人：112013绳子：600；井深：240 14 绳：48 池深：13超越自我 1如果每人都分 5 个，亏：（54）22（个） ，如果每人都分 6 个，亏：6212（个） ，人数：（122）（65）10（人） ，铅笔数：10（62）40（根）2如果每人都分 2 只，盈： 2（42）48（只） ，如果每人都分 4 只，亏：12（64）10（只） 。人数：（108）（42）9（人） ，橘子：42（92）2426（个）3人数：（91）（1210）4（人） 书包：104949（元）4速度：（605803）（8060
23、）27（分） ，距离：60（275）1920（米） 5假设 10 千克牛肉换成 10 千克猪肉，剩余 310624（元） ，猪肉单价：（244）（1210）10（元） 。总数：10124124（元）部分练习详解：展现自己1. （96）（54）15（个）154969（块）2 （159）（53）12（人）125951（棵）3 （244）（98）20（行）20824184（人）4 （304）（64）13（人）1343082（块）5 （155）（53）5（人）351530（块）3056（块）6 （322）（53）15（名）153243（张）7 7（54）7（个）5735（根）8 210（108）10（
24、只）10880（个）9 80（53）40（个）405200（个）10 （69）（96）5（条）59936（人）11 （2412）（64）18（个）1842496（个）12（7015）517（辆）1770701120（个）13 （120120）（32）240（米）2402120600（米）14 （94）（43）13（尺）133948（尺）第十三单元 第一阶段检测单元简介：本单元可在完成16单元教学之后进行，通过对前6个单元的知识点测试，及时了解学生学习情况和能力发展的程度，教师可及时调控教学对策。检测可以放置课内或者课后进行。参考答案一190，275 27，12 3 30 420，12 550
25、66 72310 89 9248125二 325 590 90 360三132 种 2106 分 360 分钟 4 （1）2500 个（2）96个59 人 6210 次 724 种 838 千克四1 （1）10 只 （2）43 只 251 人 38 千米/时4233 种 5甲 230 元乙 170 元丙 310 元丁 210 元第十四单元 第二阶段检测单元简介：本节检测可在完成各单元教学之后进行，通过对一学期学习内容的测试，及时了解学生学习成绩情况和能力发展的程度，教师可及时查漏补缺。从而使本学期的教学扎实有效。检测可以放置课内或者课后进行。参考答案一174 2550 313 元 422，25 528 628 7668五 9.72 米/分钟 10.4,6 11.24,9332412. 37 或 39二 1.860 个 2.钢笔 18 盒,铅笔 5 盒 3. 963 4.16道5.先拿 2 枚必胜,以后每次拿的数目为“4 减去另一个人之前每次拿的数”。6大船 5 条，小船 3 条。 7.380 角 8.(1)100 (2)96 (3)30 9.127 元 丁有 148 元 10.320 三.1.1600 种 2.720 吨 3.B 4.小智先拿 21 个一堆中的 3 个必胜。以后每轮次小慧拿一堆个数，小智拿另一堆同小慧数，如剩一堆为 1，小智拿没另一堆。
