1、1 第一章 静电场 作业： 2， 7， 9， 12， 14， 16， 18， 19， 22， 24， 25 其中 1.25题补充条件：取 O点处为电势零点。 1.1 库仑定律 a) 电荷与物质的电结构： 两种电荷： 历史上人们以相互作用来区分两种电荷：同种相斥，异种相吸 而以两种电荷的 相加性和 “中和”来约定“正”、“负”符号：“玻正橡负” 物质的电结构： 基本粒子（无结构点粒子，至少目前实验上还未发现结构） 电量 e 2e/3 e/3 0 正反 轻子 lepton +,+,+ , 正反中微子 neutrino , , 正反夸克 quark , , , , 规范玻色子 gauge boson
2、 + ,0 黑格斯粒子 Higgs 所有带电粒子均可 直接 参与电磁相互作用，按照量子场论的观点这种相互作用 是通过交换光子 实现的 通常物质的电结构： 通常物质的电性质只与电子与原子核有关，其中原子核由带正电的质子 ()和 不带电的中子 () 组成 。 电荷的性质： （实验上） 量子性：电荷取分立值，继承于 基本粒子的分立电量。基本电量单位 1e = 1.602176464(83)1019 C 在国际单位制中，库仑（ C）是导出单位 。 狄拉克（ Dirac， 1931）曾经 证明：如果存在一个磁单极子的话，则电荷必定是量子化的。但目前为止，实验上没有磁单极子存在的明确证据，所以如上证明只对
3、 应理论上的一种“可能性”。 磁单极子 ： 仅带有 N 极或 S 极单一磁极的磁性物质，它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布 ，可以被 分别 称为 N、 S（或正负） 磁荷 。 相加守恒性： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，电荷只能是从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。在任何物理过2 程中 (从宏观到微观 )，电荷的代数和守恒 。 相对论不变性： 是严格的量子性与 相加 守恒性的内在要求 实验证据： 宏观物体的稳定性 （如上三点均为稳定性的内在要求） b) 库仑定律： 历史回顾： 富兰克林（ Franklin， 1755）发现 带 电 小球在 带 电 金属桶内几乎
4、不受力，普里斯特利（ Priestley， 1767）通过类比万有引力定律猜想电力满足平方反比律。 卡文迪什（ Cavendish， 1772） 利用导体 壳 静电平衡的性质，即 当 (2|) |越小，内表面带电量越小 以 内表面电量的“示零实验”测得 | 0,）轴线上场强分布 分析：由对称性可知轴线上场强方向沿轴线 = = |cos = 1402 +22 +2 = 140(2 +2)3/2 1402 附注： 若带电不 均匀，则 仍为所求，但一般 , 0. 书上 15 页，例 3：均匀带电直线段（ 0,2） 中垂面 上场强分布 分析：由对称性可知中垂面上场强方向沿径向（ = /(2)） = t
5、an = cos2 | = | | = 1402 +2 = 140 | + | = 2|cos = 1402 cos 因此，径向分布场强大小为 （ = sin1/2 +2） = 1402 cos0= 14022 +2 讨论： 6 1) 当 时回到点电荷电场的平方反比律； 2) 当 (无穷长带电直线 )时 = 120 1.3 静电场高斯定理 a) 立体角和通量 平面角 与立体角 ： 如图， 对应某参考点（如 O 点）的 微元 平面角 （ 1 维 ） 的一般定义为 | = | | 其正负方向可约定为顺时针或逆时针。 易知，如图 任意闭合曲线 对 内部参考点 O 的平面张角为 2 （与如图圆周张角相
6、同） ，对 O点的平面张角为 0！ 如图， 对应某参考点（如 O 点） 微元立体角 （ 2 维）的一般定义为 = 2 =2 ( = ) 易知，如图 球面 对 球内参考点 的 立体 张角为 4 ，对 球外参考点的立体 张角为 0！ （通常对于闭合 曲面选取外法向方向向量 来定义面元 = ） 如上结论可推广： 3 维空间内任意闭合曲面，对内部参考点的立体张角为 ，对外部参考点的立体张角为 0。 电通量： 即然 电场线 可以类比于流速场的流线，则 对于给定面元， = = cos 可以类比于流量（微元） = ，称为 电通量（微元），它的形象涵义是穿过该面元的 电场线 根数。 对于有限曲面，通量由曲面积
7、分给出 = 对于闭合曲面 （取外法向为正向） ，通量由闭合曲面积分给出 = 叠加性质： 满足标量叠加原理 ！ 即电荷体系所激发电场的通量为各部分电荷独立激发的电场通量的标量求和。 O O 7 b) 静电场 高斯定理 点电荷 激发电场的闭合曲面通量 = = 40 2 =40 = /0 位于 内0 位于 外 高斯定理 ：由通量的叠加性质得 = =( 内 )0 连续分布 0 闭合曲面 习惯上被称为 高斯面 ，而 为 该闭合曲面 所包围的区域。 高斯定理的 含义 1) 高斯 定理的积分式描述了静电场的 有源性 。 类比流速场，闭合曲面流量（通量）不为 0 时，表示有源或汇 （如右图） ，可以统称为源，
8、并加以区分为正负。而静电场的“源”即 是 高斯面内的 正负电荷，分别带来正负 通量 。 由此可以给出 电场线 的一般性质 ，即 电场线 越密集场强越大，即 电场线 的 （ 横截面上 )数密度 / 2) 高斯定理的积分式只反映了静电场整体分布特征的一个侧面，数学上来自平方反比律。 不能认为 高斯面 上的场强分布完全由面内电荷所决定，面外电荷对每一点的场强仍有贡献， 只是对总的通量贡献为零 。 静电场 高斯定理的 微分式 由数学的高斯定理 =结合物理的高斯定理 （积分式），可以给出高斯定理的微分式 = /0 静电场高斯定理的微分式的 意义 及拓展 ： 1) 相比于积分式，微分式更为直接地告诉我们场
9、强分布对电荷分布的具体依赖关系。虽然每一点的场独立于电荷而存在，但微分式告诉我们，场强的散度与电荷密度有确定的关联。 2) 电荷运动便会激发磁场，而变化的磁场也会激发 感应电场 （电磁感应） 。 感应电场与静电场不同，是无源的 。 由场的叠加原理可知，高斯定理仍然成 立。 c) 高斯定理应用 静电场 高斯定理 不等价于库仑定律，即使高斯面内 、外 的电荷分布已知（这一点相对容易做到）， 面上的场强分布一般仍然不能由高斯定理直接给出 。但当带电体系有较强的对称性（如球对称、轴对称、面对称等）时，场强 方向可以由对称性确定，而大小 往往只依赖于单变量，此时便可由高斯定理确定 场强分布。 8 书上
10、24 页例 4：均匀带电球壳（ ,） 分析：由球对称性可知，球壳内外场强分布 均沿径向 且大小只依赖于到球心的距离。 1) 球壳外：取如图高斯面（ ） = ()= 42() = /0 () = 1402 ( ) 相当于所有电荷集中于球心！ 2) 球壳内：取高斯面（ 1403 , 0 140 方法二：电势叠加法（看书） 思考：均匀带电球（ ,）电势分布 答案： () =140 1803(32 2) 书上 38 页例 10：电偶极子（ = ）远处电势分布 如 下 图，选电偶极子中点 O 为极点建立极坐标，则远处场点 P（ , ）正负电荷贡献电势 12 = 140 其中 ，当 时， cos/2 =
11、+ + = 40(1+ 1) 40cos2 = 403 可见，中垂面是电势为零的等势面。 1.5 静电场的基本微分方程 静电场的基本微分方程： 静电场高斯定理和环路定理的微分形式 = /0 = 0反应了 静电场的 有源无旋 特性，其中无旋性的等价表述为：可以找到标量势函数，使得 = 因此 ，电磁场的 基本特性集中体现在如下二阶偏微分方程中： = = 2 = 0即 2 = 0称为 泊松方程 。在无电荷分布区域，方程化为 2 = 0 称为 拉普拉斯方程 ，其中 拉普拉斯算符 在三维直角坐标系中的表达式为 2= 2 +2 +2 如上泊松方程或拉普拉斯方程被称为 静电场的基本微分方程 ，因为是偏微分方
12、程，故须给定边值条件（如区域边界的电荷分布和 /或电势分布）方能求解，称 为 边值问题 。 静电场边值问题的 唯一性定理 ： 边界条件可将静电场的空间分布唯一地确定下来。也就是说在给定边界条件的情况下，如果能找到一种合理的电场分布，则 其必为唯一现实的分布。 + /2 /2 1 第 2章 静电场中的导体与介质 作业： 1， 4， 7， 8， 12， 14， 17， 19， 21 2.1 导体和电介质 导体 ：能够导电的物体。从物质的微观电结构来看，导体中存在着大量 自由电荷 。例如， 金属：一般金属原子实对最外层电子（即 价电子 ）束缚不强，成为可移动的自由电子（密度约 1022/cm3）。
13、电解质（酸、碱、盐等）溶液：自由电荷为正负离子 电介质 ：亦称 绝缘体 ，微观电荷被束缚在原子尺度上，不能宏观移动，称为 束缚电荷 。 导体与绝缘体间的转化： 如日光灯中绝缘气体被高电压击穿电离后便可导电。 2.2 静电场中的导体 a) 导体的静电平衡 定义：当带电体系电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，我们说该带电体系达到了静电平衡 。 金属 导体在匀强电场 0内达到静电平衡的过程如图所示，其中 表示导体表面电荷激发的场强，最终达到平衡后，空间各处场强 = 0 + . 条件： 内部场强为零，即 内 = 0. 否则自由电荷不会停止移动。 性质： 1) 电势分布： 导体是个等势体，导体表面
14、是个等势面 。 证明：导体内部及表面 = 内 = 0 2) 净 电荷分布： 内部不存在宏观的净电荷（即 内 = ），电荷只分布在导体表面上 。 证明：体内任意一点电荷密度 内 = 0 内 = 0 2 3) 场强分布： 导体表面外场强处处与表面垂直，大小正比于表面电荷密度 证明：表面为等势面，故场强方向与表面垂直。此外，取如图高斯面 ，因内部场强为零，外部场强垂直于表面，故只有上表面对通量有贡献，即 = 外表面 = /0 外表面 = /0 孤立导体球（ ,）静电平衡： 由球对称性，导体表面电荷必然是均匀分布，等价于均匀带电球壳 外表面 = 1402 =0 思考： 孤立导体球（ ,）静电平衡时，
15、表面 单位面积电荷受到的静电排斥力 ？ （ 答： = 220, = Q4 . 提示：如上求解的场强分布为该小块表面电荷和其余表面电荷激发的场强叠加而成 ，根据库仑定律的原则，可“适当”定义面上场强，结果为 面 = 20） 4) 面电荷分布与导体表面曲率的定性关系：曲率越大（越尖锐）的地方，面电荷密度越大，相应的场强越大。 定性上看，如图孤立三棱锥导体静电平衡下的等势面在远处势必会过度到近似为球面，因此尖端附近等势面分布较为集中，对应场强较大。 尖端放电： 如果场强大到可以使其周围空气电离“尖端放电 ”。 危害：如 高压设备尖端放电 造成电晕损耗 应用：如避雷针等 b) 导体 空腔 的 静电平衡
16、 静电屏蔽 导体空腔的静电平衡性质： 1) 在静电平衡条件下， 若导体空腔内无带电体，则空腔的内表面不带电，电荷只分布在空腔的外表面，空腔内场强为零，整个空腔为等势体 。 证明： 如图，取导体内部高斯面 ，则 = 0 说明 内表面总电量为零 ，即若内表面有正电荷分布，必会存在相应的负电荷分布如图，亦即空腔内存在有正电荷指向负电荷的 电场线 ，则如图路径积分 3 0 这与导体静电平衡时是一个等势体是矛盾的！因此， 内表面无电荷分布，空腔内场强为零 ！ 2) 在静电平衡条件下， 若导体空腔内有带电体，则空腔的内表面所带电荷与空腔内电荷的代数和为零，空腔内各点的场强由空腔内电荷及空腔内表面电荷的分布
17、唯一地确定 。 证明：如图，取导体 中 高斯面 ，则 = 0 说明内表面总电量为 腔内带电体电量 等量异号。 设导体壳带电量为 ，则外表面分布有总电量为 + 的面电荷。设想导体壳将内（ 与 ）外（外部电荷分布和外表面电荷 +）分成两个 独立 系统 ： 壳中场强：外系统贡献为 零 +内系统贡献为 零壳内场强：外系统贡献为 零 +内系统贡献壳外场强：外系统贡献 +内系统贡献为 零如此则自然满足导体壳总电量为 ，并且为等势体的边界条件 ，由静电场边值问题的唯一性定理可知：如上为唯一现实的电场分布！ 例：总电量为 的导体 空腔 外表面为球面（ ），内表面形状不规则。 现 将电量为 0 的点电荷放置于导
18、体 空腔 内某处，静电平衡后， 请确定 导体 空腔外场强分布 情况？ 解：根据导体空腔静电平衡性质 空腔外表面为总电量 +0 的均匀球面分布，而此电荷分布完全确定了导体空腔外场强分布，即 静电屏蔽： 导体壳外电荷分布对壳内电场的影响在静电平衡的条件下被导体外表面电荷分布产生的贡献完全抵消，无论壳内是否存在有带电体， 此之谓 静电屏蔽 。 如上情形，壳内带电体的存在还是可以通过导体壳外表面感应电量多余的部分（相对于内部不存在带电体时）而对壳外电场分布产生实质的影响，因此没有被屏蔽掉。 可以通过导体壳接地，使对内、对外均可实现完全的屏蔽。如图，唯一性定理告诉我们， a、 b 内外场强分布的叠加既得
19、 c 中的内外场强分布，4 也就是说， c 中的外场强与 a 中一样，并与内部的电荷分布无关。 关于导体接地的附注： 实际工作中经常将电器外壳接地，并选取地球为电势零点，即 地 = 0. 可以这样做的原因是地球是一个导体，因此是个等势体。此外，在考虑问题的尺度远远小于地球半径时，可以认为选择地球或选择无穷远作为势能零点是一致的，即 地 = 0（如课后习题 2.4） 。 2.3 电容和电容器 a) 电容和电容器 孤立导体的电容： 根据电势叠加原理 及唯一性定理 ，当孤立导体的电量增减时，导体的电势相应增减 （ = 0） ，两者成正比， 比例系数 = 反应了 孤立导体容纳电荷的能力 ，称为 电容
20、， SI 单位为法（ F）， 1F =1C/V，常用单位为微法（ F）和皮法（ pF）。 附注：一般介质（如空气）具有一定的击穿场强，故电容器存在一定的耐压极大值 ，在此前提下电容的大小反应了 容纳电荷 的能力。 孤立导体球（半径为 ）：设带电量为 ，则 = 140 = 40 可见，孤立导体的电容与形状、大小等几何量有关，而与带电量无关。 电容器及其电容： 两个分立的导体构成的闭合、或近似闭合的导体空腔称为 电容器 。此时若开口处（如存在的话）边缘效应可略，并令 A、 B 两导体的内表面 （即构成空腔的相对表面） 电量分别为 ， 则由静电屏蔽效应可知： = 与外电场无关，并将正比于电量 ，比例
21、系数 = = 只与 形状、大小、相对位置等几何量有关，与带电量及外部带电体无关，称为该电容器的 电容 。（后面还会看到，电容器的电容与腔内填充的介质有关） 平行板电容器： 面积 ，间距 。忽略边缘效应（即 2） = = 0 = 0 = = 0 同心球 壳 电容器：内外半径分别为 1、 2 空腔内场强沿径向，大小可由高斯定理确定 = ()21= 40 221= 40(11 12) = = 40 122 15 附注：孤立导体球电容可看作是同心球壳电容器电容取极限 2 . 同轴柱形电容器： 内外半径分别为 1、 2，长度 2 1 = ()21= 40 21= 20ln21= 20ln21 = = 2
22、0ln21 分布电容： 任何导体间均存在电容，如导线之间、人体与仪器之间， 称为分布电容。分布电容通常很小，一般可以忽略 （参看教材 61 页例 1） b) 电容器的串并联 在实际使用时，如果已有电容器的电容值和耐压值不符所需，可采用串联和并联的方法加以调整 。 电容器串联： 电量相同，电压求和，故 1 =11 +12 + 等效为 极板间距变大，故电容变小。 电容器并联：电压相同，电量求和，故 = 1 +2 + 等效为 极板面积变大，故电容变大。 并联增加电容值，串联增加整体的耐压性。 有些时候，当涉及导体空腔的边界条件给定时，腔内的电场分布、电势差等相关问题可以等效为电容器的串并联问题： 1
23、) 若令 A = C,B = 0，则相当于 AB、 BC两个同心球电容器串联； 2) 若令 A = C,B 0，则相当于 AB、 CB 两个同心球电容器并联 2.4 电介质的极化 a) 极化的微观机制 分子（包括单原子分子）整体是电中性的，但其正负电荷“重心”未必重合。可假想分子中正负电荷分别集中于各自的“重心”，则此分子被模型化为 电偶极子，称为 分子等效电偶极子 。 无极分子 ： 正负电荷“重心”重合，如 He、 H2、 N2、 CH4等 有极分子： 正负电荷“重心”不重合，如 H2O、 HCl、 NH3等 即使对于有极分子，微观存在 等效分子电偶极矩 分 ，但宏观无外加电场的情况下，其取
24、向杂乱无章， 保证 分 = 0， 因此 不 产生 宏观 电场 。 A B C 6 宏观存在外加电场时， 电介质分子正负电荷“重心” 会出 定向性排列，从而产生宏观带电结构，称为电介质 极化 。一般存在两种极化情况 ： 有 极分子 的取向极化：如图，每个有极分子都受到外电场的力矩，产生定向转动， 使得 分 0，而且倾向于外电场方向， 这种极化机制 称为 取向极化 。因分子电偶极矩分布的定向性而使端面上存在有净电荷的分布，称此电荷为 极化电荷 ，本质上仍为束缚电荷。 无 极分子 的位移极化 ： 对于无极分子，外电场 存在导致正负电荷“重心”产生定向分离，从而出现极化，并伴有极化面电荷的分布， 这种
25、极化机制 称为 位移极化 。 需要说明的是，对于有极分子，也存在位移极化，但其效应比取向极化弱得多（一般差距在一个数量级以上），因此可以忽略。 b) 极化强度矢量 极化电荷 分布 电介质极化后，微观 分子电偶极矩出现（一定程度上）定向分布，宏观上可选取体元（宏观无穷小，微观无穷大） 来定义密度矢量 = 分 来描述此分布，称为 电极化强度矢量 ，单位为 C/m2 极化电荷分布与极化强度矢量的关系： 极化面电荷分布： 选如上 宏观无穷小，微观无穷大体元 = cos 如图，等价面电荷分布如右图，即 = 分 = cos 右 = cos cos = = 右 , 左 = = 左 因此，极化面电荷密度（若体
26、元外为真空） = = 若该体元外仍为电介质，则极化电荷面密度应为分界面两侧贡献的和： = 内 + 外 ( ) = ( 内 外 ) 对于均匀电介质， 在体内分布连续，故体内无面电荷分布。 左 右 7 极化体电荷分布： 如图，电荷守恒 要求整体电中性的有限体积区域面电荷与体电荷相互抵消，即 + = 0 = 2.5 有电介质存在时的静电场 a) 有电介质存在时的静电场 结构： 退极化场： 如图，置于外场 0 的介质球极化后，自身极化电荷分布会在空间内外形成附加 电场分布 ，与原外场叠加形成总的电场分布 = 0 + 的作用效果粗略概括为：在介质内 削弱 原外场；在介质外加强原外场 。介质内（被“削弱的
27、”）总电场 直接决定了介质的极化程度，因此称 为 退极化场 。 极化规律： 即极化强度矢量对总电场依赖关系的实验定律 线性介质 （一般对应场强较小时） ：各向同性时 = 0 其中无量纲比例系数 是不依赖以来于 的常数，称为 电极化率 ， 其取值依赖于介质的（微观）物理性质， 对于真空 = 0。 对于 单一 各向同性线性介质， 处处相同，称为 均匀介质 ，若介质区域由不同线性介质连续拼接而成，则 为位置的连续函数，整体上称为 非均匀介质 。 对于各向异性介质（如石英等晶体材料）， 应为张量线性系数矩阵，本课程不作要求。 非线性介质 ， 如 酒石酸钾钠、钛酸钡 等， 依赖于场强，即极化规律非线性，
28、 极化状态不仅决定于电场，还与极化历史有关，其性质类似于铁磁体 ，称为 铁电 体 ，本课程不作要求。 一般在强场中，介质 极化均会背离线性规律。如下我们仅考虑线性极化。 b) 有电介质存在时的静电场 方程： 环路定理：因为 0 和 分别由静止外场电荷分布 0 和静止极化电荷分布8 激发，均为无旋场，因此环路定理形式不变，即 = 0 + = 0 高斯定理： = 0 + = 00+0 =00 0 = 0 即为此时静电场高斯定理的等价形式 ，其中 = 0 + 被称为 电位移矢量 。 对于 且仅对于 线性介质： = 0 +0 = 0 其中 = 1+ 被称为 相对介电常数 ，或 相对电容率 。 书上 7
29、3 页例 3： 平行板电容器，极板面积 ， 间距为 ，充有各向同性均匀介质 ，其极化率为 。已知两极板自由电荷面密度分别为0，忽略边缘效应， 求充介质后的 和电容 。 解： 方法一、先求 0，再设定极化强度矢量 ，给出退极化场 ，进而由极化规律进行关联。 0：如图方向，大小为 0 = 0/0 ：如图方向，大小为 = /0 = /0 ：如图方向，大小为 = 0 /0 极化规律： = 0 = 0 = 01+= 00(1+)= 00 = 0 = 0 = 0 可见 ， 加入介质使得 减小， 增大 。可以定义 = 0为介质中的介电常数（电容率），则 = / . 此外， = 0 0 = 10 = 1+0
30、方法二、利用电位移高斯定理。 作如图高斯面，导体板内部 = 0 = 0，故介质内 = 0 = 0 = 0= 00 如上可以看到：已知导体自由静电荷分布求场强，直接求解陷入循环，可以通过定义电位移矢量打开循化，如下图所示 9 c) 边界上的“场方程” 静电场的边界条件 如存在两种电介质，则其交界面两侧，场量可能有突变，如上微分方程失效，取而代之的是 静电场的边界条件 。 实际上， 虽然静电场方程的微分形式失效，但积分形式仍然成立！而边界条件即是 将静电场方程的积分形式应用于边界面上的结果。 的法向分量连续 ： 如图， 介质分界面（设无自由电荷分布）附近作扁圆柱形高斯面 （高斯小面） ，应用高斯定
31、理积分式 = 0 忽略侧面（面积相比底面趋于 0）的贡献 1 1 + 2 2 = 0 且 1 = 2 ( 1 2) = 0 1 = 2 此时， 的法向分量并不连续 若分界面上存在自由电荷面分布 0 和极化电荷面分布 ，则应用高斯定理可得（ 方向仍如上图约定 2 指向 1） 1 2 = 0 1 2 = (0 +)/0 1 2 = 的切向分量连续 ： 如图 ，介质分界面附近作窄矩形闭合回路， 应用环路定理积分式 = 0 忽略法向边长的贡献 1 1 + 2 2 = (1 2) = 0 1 = 2 或 ( 1 2) = 0 试证：均匀线性介质极化， 若 内部 无自由电荷，则 无束缚电荷。 (不 必 要
32、求 + 0 0 输入 5 方程 5 未知量 0 10 均匀极化 ) 证明：介质内无自由电荷 = 0 = 0 又，均匀线性介质极化 = 0 = 1 = = 0 书上 76 页例 4：平行板电容器两极板 （面积为 ） 间充满两层 均匀电介质，如图，求 每层电介质中的场强、 平行板的电容和介质交界面处的极化电荷密度 。 解： 由已知 0 高斯定理 1 = 2 = 0 1 = 110= 0102 = 220= 020可以看到： 的法向分量连续 ， 的法向分量 不 连续 ！ = 11 +22, = 0 = 011+ 22= 1110+ 220= 111 +12可以看作两电容器上下串联 ！之所以如此，是因
33、为介质交界面为等势面！ 由如上电容器串联图像，可得交界面处上方介质极化面电荷密度 0 1 = 01 1 = 1 110 下方介质极化面电荷密度 0 +2 = 02 2 = 2 120 1403 80(3 23) e = 12 = 12 343 80(3 23)420= 32200 可见，当电量固定，半径趋于零时，该体系的静电能（即有限电量的点电荷的自能）是发散的。 b) 电容器储能 电容器充电过程中，外力（电源的非静电力）克服电场力作功，对应于电场能的增加，因此电容器可看作是储能设备，其储藏的静电能为（设电容为 ，极板电量为 ） e = = ()0= 0= 122 =12 =122 如上公式在
34、 有介质存在时仍成立 13 如把电容器储能类比为弹簧振子的弹性势能的话，那么 可以类比于偏离平衡位置的位移，而 1/ 可以类比为弹性系数。 如上储能公式也可直接由面分布电荷体系的静电能公式得到 e = 12 = 12(+ ) = 12 c) 静电场的能量 如上公式容易让人误会电势能“储藏”在电荷中。其实，若设想两个点电荷相对距离改变后，电势能相应改变，而过程中伴随改变的是场的分布，而不是点电荷的物质结构，因此电势能“储藏”在场中，是场能在静态时的表现形式。 例： 平行板电容器 （ ,0 = ,） e = 12 = 12 0 = 12 = (12 ) 单位体积具有的电场能 = 12 被称为 电能
35、密度 。 线性且 各向同性介质中 = 12 = 12 = 1202 如上场能密度公式可以推广到非静电场情形 。 1 第 3章 直流电 作业： 1， 3 3.0 引言 导体静电平衡时，表现为完全的“抗电性”，即内部电场为零。有电流存在时，导体脱离静电平衡内部场强不再为零。 电流 分布 不随时间变化时 ，称为 恒定电流 ，其对应的导体回路 电流 即 直流电 。 此时电荷之间相互替换，形成恒定电荷分布； 导体内部电场虽不为零，但恒定不变， 称为 恒定电场 ， 等效为静电场 ， 满足环路定理，可以引入电势差，即 电压 ， 它与电流之间满足一定的 实验 定律（即欧姆定律），反映了导体的导电性质。 从场
36、自身 的角度来讲，只有恒定和非恒定的区分，原则上没有静与动的区分 。但是从场与电荷的相互作用（实际上是电荷之间通过场来传递相互作用）角度来讲，源电荷的静与动是存在差别的。如恒定电流下导体内存在电场，这是与导体的静电平衡状态不同的。 为了区分后面章节将会提及的极化电流、磁化电流等，这里将导体中 自由电荷定向移动形成 的电流称为 传导电流 。 3.1 电流的连续 性 方程 恒定 条件 a) 电流密度矢量 电流强度 ：单位时间内流过某一截面的电量（ 即“电荷 流量 ” ） = / 国际单位制中单位为基本单位“安培（ 1A=1C/s）” 电流强度对电流分布的刻画显然太过“粗糙”，不适合描述大块导体中局
37、部电荷流动的方向和快慢。 电流密度矢量 ： 可以为每个空间局部部位引入电流密度矢量，以 表示，其方向为该部位电流流动的方向，大小 为 单位时间内流过单位横截截面的电量 = 横= 横则对任意面元矢量（如右图 b） = = cos 对任意有限截面 ，电流强度可以表示为面积分 = = cos（类比于电流密度矢量，流体力学中的 = 可以被称作 质量流面密度2 矢量 。 当然，电流强度自然可以类比于质量流量 ） 由 (,) 描述的电流分布被称为 电流场 ， 可以引入几何图示：电流线、电流管等 。 b) 电荷守恒与连续性方程 （类比于流体力学中的质量守恒 对应 致的连续性方程）对于空间固定区域 ，电荷守恒对应： 单位时间流出电量 = 单位时间区域内减少电量 由此导致 电流连续性方程 为： + = 0 其中 为区域 的边界闭合曲面 ，面元方向取为外法向 。 微分形式 + = 0 c) 恒定 电流 条件 ： 恒定电流对应稳恒的电流分布，即稳恒的电流场 = ()， 空间 各处 电荷 稳定流动，相互“替换”，故 分布不变， 即 = = 0
