1、北京 22 中 20172018 学年度第一学期期中试卷高三年级数学学科（理科）第卷一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的选出符合要求的一项填在答题卡上 ）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意, ，故选 B。2. 下列函数为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】A、B 不具有对称性， C 为偶函数，D 为奇函数，故选 D。3. 设 ， ， 若 ，则实数 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得 ，因为 ，则 ，因此 ，解得 ，故选 A考点：
2、平面向量数量积4. 若 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，过点 ， 有最大值 4，故选 B。5. 若， 是两个非零的平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ，得 ，所以是充要条件，故选 C。6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由图象可知， ，故选 A。7. 已知函数 ，若， ， 是互不相同的正数，且 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知， ， ，
3、所以 ， ，所以取值范围是 ，故选 A。点睛：本题考查函数与方程的关系、不等式的性质。本题中 ，先将函数图象画出，得到如图图象，由图象交点特性，可知 ， ，得 ，所以得到取值范围。8. 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确已知前四次输入密码分别为 ， ， ，则正确的密码中一定含有数字（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】首先考虑题目要求：位置不对，那么：第一位只能是 0、2、4、5、8、9，第二位只能是 0、2、5、7、8、9，第三位只能是 1、2、4、5
4、、8、9，第四位只能是1、2、4、5、8、9。那么四位数可选的数字排除后是 0、1、2、4、5、6、7、8、9.其次考虑题目中有两位数字正确，那么：（1）可选的数字中 2、5、8、9 即可排除，四位可选数字为 0、1、4、6、7，第一位可选0、4、7，第二位可选 4、6、7，第三位可选 1、4，第四位可选 1、4。（2）根据出现频次，可排除 0、6。即四位可选数字为 1、4、7、8，第一位可选 7、8，第二位可选 4、7，第三位可选 1，第四位可选 8。故密码中一定含有数字 1、7，应选答案 D.点睛：本题的求解过程即是推理的过程，求解时先依据题设条件将符合题设的数字一一列举出来，然后再进行分
5、析筛选，确定出可选的数字和可能出现的数字，最后确定一定出现出数字从而使得问题获解。第卷二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.）9. 已知抛物线的方程 ，则其焦点到准线的距离为 _【答案】2【解析】由题意， ，所以交点到准线的距离为 。10. 若 ， ，则 _【答案】【解析】由题意，为第二象限角，所以 ，所以11. 设 ， ， ，则， ，的大小关系是_ （从小到大用“ ”连接）【答案】【解析】 ，所以 。12. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，若 ，则的值是_【答案】【解析】 点睛：本题考查平面向量的综合应用。本题中利用平面向量的线性表示，得到 ，
6、展开得到 ，由数量积的几何意义可知， ，所以解得答案。学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥ 网. 学￥科￥ 网.学￥科￥网.学￥科￥网 .13. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 _【答案】【解析】由题意， ，所以 ， ，所以 。14. 设函数 （ ）如果 ，那么实数 _（ ）如果函数 有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是_【答案】 (1). 或 4 (2). 【解析】试题分析：由题意 ，解得 或 ；第二问如图：的图象是由两条以 为顶点的射线组成，当 在 A,B 之间（包括 不包括 ）时，函数和 有两个交点，即 有两个零点所以的取值范围为 考点：1.分段函数值；2.函数的零点.三、解答题（本
7、大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数 的部分图象如图所示（ ）求函数 的解析式（ ）求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （ ） ;（ ） ，【解析】试题分析：（1）由图可知 ， ，得 ，所以 ；（2）当 时， ，利用原始图象，可知 ， 试题解析：（ ）由图可知 ， ， ， ， ， ， （ ）当 时， 当 ，即 时， 当 时， 时， 16. 在锐角 中， 、 、分别为角 、 、 所对的边，且 （ ）确定角 的大小（ ）若 ，且 的面积为 ，求 的值【答案】 （ ） ；（ ）【解析】试题分析：（1）由正弦定理可知， ，所以 ；（2）由题意，
8、 ，得到 试题解析：（ ） ， ， ， （ ） ， ， 17. 已知等差数列 满足： ， 的前 项和为 （ ）求 及 （ ）若 ， ，求数列 的前 项和 【答案】 （ ） ， ;（ ）【解析】试题分析：（）设出首项 a1 和公差 d ，利用等差数列通项公式，就可求出 ，再利用等差数列前项求和公式就可求出 ;（）由（）知 ,再利用 , （ ）, 就可求出 ,再利用错位相减法就可求出 .试题解析：（）设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d , 解得 ,（） , = (1- + - + - )= (1- ) =所以数列 的前 项和 = .考点：1.等差数列的通项公式; 2. 等差数列的前 n 项
9、和公式 ; 3.裂项法求数列的前 n 项和公式18. 在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ， ， 平面 ， （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 的余弦值（ ）在线段 （含端点）上，是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （ ）见解析;（ ） ;（ ）存在，【解析】试题分析：（1）由题意，证明 ， ，证明 面 ；（2）建立空间直角坐标系，求平面 和平面 的法向量，解得余弦值为 ；（3）得 ，所以 ， ，所以存在 为 中点试题解析：（ ） ， ， ， ， ， ，且 ，、 面 ， 面 （ ）知 ， 面 ， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， ，
10、为 ， ，轴建系设 ，则 ， ， ， ， ， ， 设 的一个法向量为 ， ，取 ，则 由于 是面 的法向量，则 二面角 为锐二面角， 余弦值为 （ ）存在点 设 ， ， ， ， ， ， 面 ， 若 面 ， ， ， ， ，存在 为 中点19. 已知函数 （ ）当 时，求此函数对应的曲线在 处的切线方程（ ）求函数 的单调区间（ ）对 ，不等式 恒成立，求的取值范围【答案】 （ ） ;（ ）见解析; （ ）当 时， ，当 时【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，求得切线方程为 ；（2）求导得 ，通过， ， 分类讨论 ，得到单调区间；（3）分离参数法，得到 ，通过求导，得 ，试题解析：（ ）当 时， ， ， ，切线方程 （ ）令 ，则 或 ，当 时， 在 ， 上为增函数在 上为减函数，当 时， 在 上为增函数，当 时， 在 ， 上为单调递增，在 上单调递减（ ）当 时， ，当 时，由 得，对 恒成立设 ，则，令 得 或 ，
