1、2018 届内蒙古阿拉善左旗高级中学高三 10 月月考理数试卷（解析版）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 集合 的真子集个数为 （ ）A. 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】C【解析】 ，集合有 3 个元素，所以集合的真子集个数为 ，故填：C.2. 命题 :“ ”的否定 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： 的否定是任意，所以 是 考点：存在量词的否定3. 已知 为第二象限角， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 为第二象限角， ， ， ，故选 A.4. 若向量 、 满足 ， ，则向量 与 的夹角等于 （ ）A. B. C. D.
2、 【答案】D【解析】略5. 已知数列 中， ， ，则 等于（ ）A. 1 B. -1 C. D. -2【答案】C【解析】 ， ， ， ， ，由以上可知该数列为周期数列，其周期为 3，又因为 ，所以 ，故选 C.6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，则 的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 是定义在 的偶函数， ，解得 ，由得 ， ， ，故选 A.点睛：本题考查了偶函数定义的应用，考察三角函数问题，利用奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称，这是容易忽视的地方；由偶函数的定义域关于原点对称求出 的值，由偶函数的定义 ，求出 的值，将 ， 代入函数 ，求出 ，从而求出最
3、小正周期 .7. 若“ ”是“不等式 成立”的必要而不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由于 是 的必要不充分条件， ，即 的解集是 的子集，令 ，则 为增函数，那么 ，则 ，此时满足 条件的一定是 的子集，故选 A考点：1函数的性质；2充分必要条件8. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为 （ ）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D点睛：本题主要考查向量坐标运算，属于基础题。由 得出 是解答本题的关键。9. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， 都是单调递增函数
4、， ， 均只有一个零点， ， ，的零点 ， ， ， 的零点 ； ， 的零点 ， ，故选 D.10. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ）A. B. 4 C. D. 6【答案】A【解析】试题分析：由题曲线 与直线 交点为 ，故所求图形面积为.考点：定积分几何意义11. 在锐角三角形 中， ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， 或 可能是最大角，要使 是一个锐角三角形，则， ， ，解得 ，则 ， 的取值范围是 ，故选 B.12. 已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 是自然对数的底数） ，若不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 k=0 时，即解 f(x)0 即可，构造函数 ，所以可令+c，所以 由 得 c=1 所以 ，即 f(x)0 得解集为 其中恰有两个整数 -2，-1，所以 k=0 成立，排除 AD，当 k= ，则 f(x)0 即 ,h（x）= 得函数在（-4，-1）递减， 递增，且 ，此时 的解集至少包括-4，-2，-3，-1 所以违背题意，故不能取 ，排除 B，故选 C点睛：对于比较复杂的函数问题首先要根据题意构造新函数，转化为分析等价新函数的问题，另外对于选择题还可根据选项的区别可以逐一排除选项二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 定义一种运
6、算如下： ，则复数 的共轭复数是_.【答案】【解析】复数 ，其共轭复数为 ，故答案为 14. 设扇形的周长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数是_ 。【答案】2【解析】试题分析：设扇形的半径为，弧长为，则 ，解得 ，所以其圆心角为（弧度） 考点：任意角和弧度制15. 等差数列 中， ，且 ， 为数列 的前 项和，则使 的 的最小值为_【答案】20【解析】由题意可得：因为 ，且 ，所以由等差数列的性质可得： ，所以使 的 的最小值为 20，故答案为 20.16. 对于大于 1 的自然数 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： ， ， ，仿此，若 的“分裂数”中有一个是 2015，则 _【答案
7、】45【解析】由题意，从 到 ，正好用去从 开始的连续奇数共 个， 是从 3 开始的第 个奇数，当 时，从 到 ，用去从 3 开始的连续奇数共 个， 当时，从 到 ，用去从 3 开始的连续奇数共 个，故 ，故答案为 45.点睛：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键；由题意知， 的三次方就是 个连续奇数相加，且从 2 开始，这些三次方的分解正好是从奇数 3 开始连续出现，由此规律即可找出 的“分裂数”中有一个是 时，的值.三、 解答题 17. 数列 的前 项和为 ，且 ( ).(1)求数列 的通项公式；(2
8、)若数列 满足： ，求数列 的通项公式；【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）当 时， ；当 时， ，即可得出.（2）由 ，易得 ，相减即可得出试题解析：(1)当 时， ；当 时， ，知 满足该式，数列 的通项公式为 .（2） ， ，-得 ，而 ，故 （ ） 18. 已知向量 ， ，向量(1)若 ，求 的值；(2)若 恒成立，求实数 的取值范围。【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由 ，可得 ，据 解得 ；（2），则 ，又 ，所以 的最大值为 ，要使 恒成立，则当 大于 即可，由此 试题解析：（1） ， ，得 ，又 ， ；（2 ） ， ，又 ， ， ， 的最大值为 1
9、6， 的最大值为 4，又 恒成立， 考点：1、平面向量坐标运算； 2、三角函数求最值19. 在 中，角 的对边分别为 ，已知向量 ， 且满足（1）求角 的大小；（2）若 试判断 的形状【答案】 （1） （2）直角三角形试题解系：（1）代入 有即（2 ）法一： 又 联立有， 即解得 或又 ，若 ，则 ， 为直角三角形同理，若 ，则 也为直角三角形法二： 根据正弦定理有，又整理得或 ， 或或 为直角三角形考点：空间向量，三角函数的综合应用20. 已知函数 . (1)求函数 的最大值，并写出 取最大值时 的取值集合； （2）已知 中，角 的对边分别为 ，若 ， 求实数 的最小值.【答案】 （1）最大
10、值为 2，此时 的取值集合为 ；（2）1【解析】试题分析：（1）首先根据余弦二倍角公式及两角差的正弦公式將角统一成 ，再利用公式将 变为 即可求解；（2）先由求出角 ，再由余弦定理得到 ，最后利用基本不等式及“三角形两边之和大于第三边”求实数 的取值范围.试题解析：（1）函数 的最大值为 2.当且仅当 ，即 ，即时取到.函数取最大值时 的取值集合为 .（2 ）由题意 ，化简得 . ， ， ， .在 中， .由 ，知 ，即 .当 时取等号.又由 得 ， 的取值范围是 .考点：1、余弦二倍角公式及两角和与差的正弦公式； 2、利用基本不等式求最值 .21. 设关于 的一元二次方程 （ ）有两根 和
11、，且满足 （1）试用 表示 ；（2）求证：数列 是等比数列；（3）当 时，求数列 的通项公式，并求数列 的前 项和 【答案】 （1） ；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由韦达定理可得 ， ，代入已知 和 关系式可得 与 的关系式 （2）由（1）中所得的 与 的关系式，根据等比数列的定义证 为常数 （3 ）根据等比数列的通项公式可先求得 ，从而可得 根据分组求和及错位相减法可求得数列 的前 项和试题解析：解：（1）根据韦达定理，得 ， ，由得 ，故（2 ）证明： ，若 ，则 ，从而 ，这时一元二次方程 无实数根，故 ，所以 ，数列 是公比为的等比数列（3 ）设 ，则数列 是公比 的等
12、比数列，又 ，所以 ，所以 ， 则由错位相减法可得 考点：1 等比数列的定义；2 分组求和法，错位相减法求和22. 已知函数 （ ） （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若不等式 对任意 恒成立 （i）求实数 的取值范围；（ii）试比较 与 的大小，并给出证明（ 为自然对数的底数， ） 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数 在区间上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解.试题解析：（1）因为 时， ， ，所以切点为 ， ，所以时
13、，曲线 在点 处的切线方程为 （2） （）由 ，所以 ，当 时， ， ， 在上单调递增， ， 不合题意；当 即 时， 在上恒成立， 在 上单调递减，有 ， 满足题意；若 即时，由 ，可得 ，由 ，可得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 不合题意，综上所述，实数 的取值范围是 （） 时， “比较 与 的大小”等价于“比较 与 的大小” ，设 ， （） ，则 ， 在 上单调递增，因为 ，当 时，即 ，所以 ，当 时， ，即 ，综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时，.点睛：本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想；导数的几何意义即函数在某点处的导数即在该点处切线的斜率，在该题中利用讨论导数的零点与所给区间端点值的关系得其在该区间内的单调性，继而得其最值.
