1、第 1 页 共 8 页 1函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设 A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则 f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合 A、 B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做集合 A 到集合 B的映射，记作 f：AB。注意点：（1）对映射定义的理解。 （2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A、 B、 xgxfl2)(,l)(2 )1lg()l(),
2、1lg)( xxfC、 D、f（x）=x，vu1,1 2(f2、 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函30|0|yNM数关系的有 （ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个x x x x1 2 111 22211112222y y yy3O OOO二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1；6.（05 江苏卷）函数 的定义域为20.5log(43)yx2 求函数定义域的两个难点问题（1） ()x已
3、 知 f的 定 义 域 是 -,求 f(+)的 定 义 域 。（2） 21x已 知 的 定 义 域 是 3求 的 定 义 域第 2 页 共 8 页 2例 2 设 ，则 的定义域为_2()lgxf2()ffx变式练习： ，求 的定义域。24)三、函数的值域1 求函数值域的方法从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且 R 的分式；x分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图） ；单调性法：利用函数的
4、单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1 213yx2 2()4fx3 （换元法） 1y5. 12x6. (分离常数法) 1xy 31(24)xy7. (单调性) 3(,)28. ， (结合分子/分母有理化的数学方法)1yx1yx9(图象法) 23(1)10(对号函数) 84yx11. (几何意义) 2四函数的奇偶性1定义: 设 y=f(x)，xA，如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为偶函数。x()fxf如果对于任意 A，都有 ，则称 y=f(x)为奇函数。()2.性质：y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于
5、 轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称,y若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则 f(0)=0第 3 页 共 8 页 3 奇 奇 =奇 偶 偶 =偶 奇 奇 =偶 偶 偶 =偶 奇 偶 =奇 两 函 数 的 定 义 域 D1 ， D2， D1 D2 要 关 于 原 点 对 称 3 奇 偶 性 的 判 断 看 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对 称 看 f(x)与 f(-x)的 关 系1 已知函数 是定义在 上的偶函数. 当 时， ，则当)(xf ),()0,(x4)(xf时， .,0(x2 已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（）求 的值；,ab（
6、）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；t22()()0ftftkk3 已知 在（1，1）上有定义，且满足)(xf ),1()(1, xyfxfyx有证明： 在（1，1）上为奇函数；f4 若奇函数 满足 ， ，则 _)(Rx1)2(f )2()2(fxf)5(f五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 在 M 上是减函数；若xgfy xgfyf(x)与 g(x)的单调性相同，则 在 M 上是增函数。xgfy1 判断函数 的单调性。)()(3Rxf2 例 函数 对任意的 ，都有 ，并且当 时，fnm, 1)()(nfm
7、fnf 0x，)(xf求证： 在 上是增函数；)(xfR若 ，解不等式 432)5(2af3 函数 的单调增区间是_)6(log1.0y4(高考真题)已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ (314,logaxfx(,)a）（A） （B） （C） （D）(0,1)(0,)31,)71,)7第 4 页 共 8 页 4六函数的周期性：1 （定义）若 是周期函数，T 是它的一个周期。)0()(Txff )(xf说明：nT 也是 的周期f（推广）若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期)()(bxa)(xfab对照记忆说明：()()fxf说明：ax2若 ； ； ；则 周期是 2)()(fxf)(1
8、xfaf)(1)xfaf)(fa1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定义在 R 上的偶函数 ，满足 ，在区间-2,0上单调递减，设()f(2)()ffx，则 的大小顺序为_(.5),(2),(5afbfcf,abc3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且 则,32)1(,1)( fxfxf若f (2005)= .4 已知 是(- )上的奇函数， ，当 0 1 时，f(x)=x ，则 f(7.5)(f， )()2(ffx=_例 11 设 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 ，
9、当 时)(xf )()2(ff2,0x2)(f求证： 是周期函数；xf当 时，求 的解析式；4,2)(f计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；第 5 页 共 8 页 5（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)；（4）f -1f(x)=x;（5）若点 (a,b)在 y=f(x)的图象上，
10、则 (b,a)在 y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象与其反函数 y=f-1(x)的图象的交点一定在直线 y=x 上;1 设函数 的反函数为 ，且 的图像过点 ，则 的图()yfx1()yfx(21)yfx1(,)21()yfx像必过（A） （B） （C ） （D）(,)2(,)2(,0)(0,)八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴 ，顶点坐标abx2)4,2(2abc2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的 的取值。)0(2acbxa 0yx一元二
11、次不等式 的解集(a0)二次函数 情况 一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a0) =b 2-4ac ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)0 21xx或 21x=0 0x图象与解0 , a1) 互为反函数名称 指数函数 对数函数一般形式 Y=ax (a0 且 a1) y=logax (a0 , a1)定义域 (-,+ ) (0,+ )值域 (0,+ ) (-,+ )过定点 （，1） （1，）图象 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a0 , a1)图象关于 y=x 对称第 7 页 共 8 页 7单调性 a 1,在(-,+ ) 上为增函数a1,在(0,+ )上为增函
12、数a1 ? y0? y0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。1、 （1） 的定义域为_；)35lg(xy（2） 的值域为_；31x（3） 的递增区间为 ，值域为)l(2y _2、 （1） ，则04og21x_x3、要使
13、函数 在 上 恒成立。求 的取值范围。ax1,0ya4.若 a2x+ ax 0（ a0 且 a1） ，求 y=2a2x3 ax+4 的值域.十函数的图象变换（1） 1、平移变换： （左+ 右- ，上+ 下- ）即 kxfyxfy hkkhh )()(,0;,0,;, 上 移下 移 左 移右 移 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）第 8 页 共 8 页 8)()( )()( )()( 1 xfyxfy xfyfxy ff xyxxyxyx 轴 下 方 图 上 翻轴 上 方 图 ， 将保 留 边 部 分 的 对 称 图轴 右 边 不 变 ， 左 边 为 右原 点轴轴1f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的反函数的图象过点（ ）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)2作出下列函数的简图：（1）y=|log |； （2）y=|2 x-1|；x2（3）y=2 |x|； 十函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：单调递增21()0fxf单调递减21()ffx2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：奇函数()0f偶函数x3函数的凸凹性：凹函数（图象“下凹” ，如：指数函数）1212()(fxff凸函数（图象“上凸” ，如：对数函数）x
