1、全国名校联盟 2017-2018 学年高三适应性考试（五）数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 0,24A， 1,B，则 AB（ ）A 1, B C 1,24 D 0,1242.复数 3i等于（ ）A 2i B 12i C i D i3.如图所示算法程序框图运行时，输入 tan201， sn201b， cos201，则输出的结果为（ ）A 3 B 32 C 12 D 14.已知函数 ()fx是定义域为 R的奇函数，当 0x时， ()3xfa，则 (2)f的值为（ ）A 89 B 19 C 19
2、a D 95.已知等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在 x轴上， 与抛物线 216yx的准线交于 A， B两点，43B，则双曲线 的实轴长为（ ）A 2 B 2 C 4 D 86.将一根长为 的绳子对折后，随机选一点剪断为三根绳，则每根绳子的长度都大于 1的概率为（ ）A 14 B 13 C 12 D 237.在 ABC中，内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 3A， a， 2b，则 cosC的值为（ ）A 5 B 25 C 264 D 648.设 P是 C所在平面内的一点， 3BAP，则（ ）A 0 B 20P C 0 D 20PCA9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
3、的体积为（ ）A 23 B 423 C 23 D 23410.已知 2()nx的展开式的系数和比 (1)nx的展开式系数和大 9，则 2(1)nx的展开式中含有5的项为（ ）A 32x B 532x C 592x D 58064x11.函数 ()sin)(0f满足 ()(4)(fff恒成立，则 ()f的值不可能为（ ）A 1 B 32 C 12 D 112.已知三次函数 311()fxabxcd， 32()gxabxcd12(0)a，且 ()fx有三个零点.若三次函数 ()pfg和 qf均为 R上的单调函数，且这两个函数的导函数均有零点，则 ()gx零点的个数为（ ）A 1个 B 2个 C 3
4、个 D 2个或 3个二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设实数 x， y满足203xy，则 yzx的最大值是 14.已知 ,(0,)，且 1tan()2， 1tan5，则 tan2的值为 15.已知四棱锥 PABCD体积为 ， PA平面 BCD，底面 A是菱形，且 2AB，6B，则四棱锥中最长棱的大小为 16.抛物线 24yx的焦点为 F，过点 作直线交抛物线于 ， 两点，分别以 F， 为直径作两圆，若这两圆的三条公切线恰好围成一个等边三角形，则该三角形的边长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17题第
5、 21 题为必考题，每个题目考生都必须作答.第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.已知数列 na， b满足 211nnnaba，记 na的前 项和为 nS，已知 1a， 2.（1）若 0，求 S；（2）若 n，求 n的通项公式.18.如图，某几何体 ABCDEF中，四边形 AEF是边长为 1的正方形， ABCD是直角梯形， AC是直角， /， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 2.（1）求证：平面 ADEF平面 BC；（2）求平面 B与平面 所成的锐二面角的余弦值.19.某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近期前期广告投入量
6、x（单位：万元）和收益 y（单位：万元）的数据。对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图（共 21个数据点）及一些统计量的值.为了进一步了解广告投入量 x对收益 y的影响，公司三位员工对历史数据进行分析，查阅大量资料，分别提出了三个回归方程模型：xy212()iix21()iiixy212()iiy406270500u212()iiu1()iiiuyv212()iiv1()iiivy3.60.499.806.305.030.根据 lniix， iiv，参考数据： 214， 1.（1）根据散点图判断，哪一位员工提出的模型不适合用来描述 x与 y之间的关系？简要说明理由.（2）根据（1）的判断结
7、果及表中数据，在余下两个模型中分别建立收益 关于投入量 x的关系，并从数据相关性的角度考虑，在余下两位员工提出的回归模型中，哪一个是最优模型（即更适宜作为收益 y关于投入量 x的回归方程）？说明理由；附：对于一组数据 1(,)y， 2(,)x， (,)nxy，其回归直线 ybxa的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为： 12()niiiiixyb， aybx， 1221()()niiiniiiixyr，其中 r越接近于 ，说明变量 与 的线性相关程度越好.20.圆心在原点 O的两圆半径分别为 ,()ab，点 A是大圆上一动点，过 A点作 x轴的垂线，垂足为 B，A与小圆交于点 C，过 作
8、 AB的垂线，垂足为 P，设 点坐标为 (,)y.（1）求 P的轨迹方程；（2） 已知直线 l： xm（ 是常数，且 (,0)(,a， M， N是轨迹上的两点，且在直线l的两侧，满足两点到直线 l的距离相等.平面内是否存在定点 R，使得 R恒成立？若存在，求 yabx cd lnyef出定点坐标；若不可能，说明理由.21.设函数 ()ln(1)fxax.（1）求函数的单调区间；（2）若 ()0f恒成立，求 的值；（3）当 ,x时， (ln)xek恒成立，求 k的值.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与
9、参数方程在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的直角坐标方程为 22(1)xy.以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 (3cosin5.（1）求圆 C的极坐标方程和直线 l的直角坐标方程；（2）在圆上找一点 A，使它到直线 的距离最小，并求点 A的极坐标.23.选修 4-5：不等式选讲已知 ()12fxx.（1）解不等式 ()8f；（2）若不等式 21xm对任意实数 x恒成立，求实数 m的取值范围.大象天成大联考全国名校联盟2017-2018 学年高三适应性考试（五）参考答案、提示及评分细则理科数学一、选择题1-5: DCBAC 6-10: ADBCD 11
10、、12：BA二、填空题13. 32 14. 356 15. 21 16. 43三、解答题17.本小题考察数列的通项公式与求和，考察运算求解能力.解：（1）若 0nb，则 210nnaa，即 21nna，na是等差数列，又 1， ，知 ，从而 ()2S.（2）若 nb，则 21)()2nnnaa，令 1nca，即 1nc，且 1c，从而当 时：12132()()n1()nc 212n，当 也符合，从而 nc，即 na，从而当 时：12132()()naa1()n10121()n()(2nn.当 n也符合，从而 na.18.解：（1）因为 AFB， AD， BA， ,D平面 ABC，所以 平面 C
11、，又 平面 DE，所以平面 平面 .（2）因为平面 ADEF平面 BC，平面 ADEF平面 BCAD，C， 平面 ，所以 平面 .又 平面 ，故 .而四边形 为正方形，所以 又 ，以 D为原点， A， C， DE所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系 Dxyz.依题意易知： (0,)D， (1,0)B， (,1)F， (0,2)C， (,01)E，设平面 BF的一个法向量为 ,nxyz，则 0n，即 0xz，令 1，则 1，所以 (,1)n.设平面 C的一个法向量为 (,)mrst，则 0mBF，即 0str，令 1，则 t，所以 (1,)m.设平面 D与平面 所成的锐二面角
12、的平面角为 ，则 1cos,3n.19.解：（1）由散点图可以判断员工提出的模型不适合.因为散点图中 x与 y之间不是线性关系.（2）令 vx，先建立 y关于 v的线性回归方程.由于 2121()iiiiidv30.65，6.34.cy，所以 关于 u的线性回归方程为 2.6yv，因此模型为 24.6yx；同理，令 lnx，先建立 关于 u的线性回归方程.由于 A2121()iiiiiuyf9.8024，603.1eyfu，所以 关于 的线性回归方程为 02yu，因此模型为 3102lnyx；（i）模型中，相关系数 2122121()()iiiiiiivyr30.105.360.948，模型中
13、，相关系数 2132121()()iiiiiiiuyr9.8072140.14.987，可得 32r，说明变量 u与 y的线性相关程度更好，即模型为 302lnyx更为准确；即模型为最优模型.20.解：（1）依题意可得 2(,)Axa、 2(,)Cb，又 O、 A、 c三点共线，可得 yxy，整理得 22bxayb，即21(0)xab，P的轨迹是以 为半长轴， 为半短轴，焦点在 x轴的椭圆.（2）由题意可知 M、 N的中点 T在直线 l： m上，设 1(,)xy、 2(,)y、 (,)t， (,)Rsp，又 、 在椭圆上，有212abxy2121()xxa2121()0yyb，可得21()MN
14、xky.又 21xm， 21yt， 2MNbkat， RTpks， ， N是等腰三角形， 1MNRTk.即21bmtpas恒成立，整理得 220abmp，关于 t恒成立，20,bspam2(1)0ap，存在2(1),bR满足题意.21.解：（1） ln1fxa，令 ()0fx，得 (1)ae，当 (1)0,axe， ()0；当 (1),ae， 0fx，故函数 f的单调递减区间 (),，单调递增区间是 (1),ae.（2）由（1）知当 (1)axe时 fx取得最小值；从而 ()0f等价于 ()0f；又 (1) 1aexax ()0x；即 a，等价于 ()；又因为 e（求导易证 取等） ，故 (1
15、)ae，故只有 ()，即 1a；（3）令 ()xge， 0xe，从而当 ,2x时， ()(,)2xeg，lnxek，令 xt，即 ln(1)tkt；原问题转化为：当 (,)2时， ()l0f恒成立；若 (1),)ke，由（1）知必有 (1)kfe，由（2）知： 1k，若 (1)0,2kee，即 3ln2,)k，则由（1）知 ()fx在区间 (,)2e上单调递增，又 (1)0f，所以 ()(ff，不合题意；综上， 1k.22.解：（1） 22()1xy即 20xy，因为 2， sin， cos，所以曲线 C的极坐标方程可得 2in即 2sin，直线 l的普通方程为 35yx.（2）因为曲线 ： 22(1)是以 0,1G为圆心， 为半径的圆，设点 0,Axy，且点 A到直线 l： 35yx的距离最短，所以曲线 C在点 D处的切线与直线 ： 平行.即直线 G与 l的斜率的乘积等于 1，即 031yx.因为 220(1)xy，解得 03或 0x.所以点 A的坐标为 1,2或 3,2.由于点 到直线 5yx的距离最小，所以点 的坐标为 3,2，极径为 2()，极角 tan3， .所以点 A的极坐标为 3,.
