1、下面一些游戏,就请你想一想,采取什么策略能获得胜利 1.抢数游戏(1)抢 30 两人轮流报数,每人每次只能报 1 个或 2 个.如第一个人可报 1 或 1,2,第二个人就可以报 2 或 2,3,或者 3 或 3,4.这样继续下去,谁报到 30,谁就获胜.想一想,你用怎样的策略才能取胜 可以这样想:要报到 30,必须抢到 27,这样对方不论报 28,或 28,29,30 稳在你手中.而要报到 27,必须抢到 24;以此类推,你必须抢到 21,18,.想一想,你必须抢到什么数 是争取先报数还是后报数 (2)让 30 根据(1)的规则,谁报到 30 的为输.想一想,你应采取什么策略 (3)报 13
2、个数,抢 30 两人轮流报数,每人每次可报 13 个数,谁报到 30 的为胜.为了取得胜利,你又应采用什么策略 (4)抢 70 两人轮流报数,每次可报 12 个数,报到 70 的人获胜.想一想,应采用什么策略才能取胜 (5)抢 100 两人流轮报数,每次可报 15 个数,谁先报到 100 获胜.为获胜必须采取什么策略 (6)让 100 游戏规则与抢 100 相同,但报到 100 的人是失败者 .想一想,获胜的策略是怎样的 2.火柴游戏(1)两堆火柴 两堆火柴,一堆 8 根,一堆 15 根.两人参加游戏,轮流从其中的任意一堆拿走 1 根或几根火柴(甚至把这堆火柴一次拿完 ),但每次不准一根不拿
3、,也不准从这堆拿几根,从那堆拿几根.谁拿到最后一根或几根火柴,谁就获胜.想一想,如何拿法才能获胜 (2)三堆火柴 三堆火柴,一堆 1 根,一堆 2 根,一堆 3 根,其他规则同(1). 怎样才能拿到最后一根(或几根) (3)任意堆火柴 如果有任意堆火柴,每堆任意根,其他规则同(1).怎样才能拿到最后一根( 或几根) (4)拿最后一根为输 上面的游戏都是拿到最后一根(或几根 )为胜.现在规定,谁拿到最后一根为输,该怎样拿 3.取,摆棋子(1)6 颗棋子 用 6 颗棋子分两堆放,一堆 1 颗,另一堆 5 颗.如下图 . 两人游戏,轮流取棋子,并规定:每人一次只能取 1 颗或者相连的 2 颗; 相分
4、离的 2 颗棋子,如图中和,和,不能同时取出.谁取得最后 1 颗或相连的 2 颗棋子为胜.想一想,取胜的策略是什么 (2)22 颗棋子 准备 22 颗棋子,左边放 10 颗,右边放 12 颗,如下图 :两人轮流取棋子,并规定:可以从左边一堆或右边一堆中取出 1 颗,几颗直到整个一堆; 如要从两堆中同时取的话,必须取出同样多的颗数.谁能取得最后一颗或数颗棋子为胜利者.如果由你先拿,该怎样拿 (3)争放最后一颗 甲,乙两人轮流在一个长方形的棋盘(或纸 )上放棋子,每次只许放 1 颗,每颗必须平铺在棋盘上而不准相互重叠.这样继续下去,谁放下最后一颗棋子后对方无法再放,谁就获胜.想一想,如何才能获胜
5、(4)环形取棋 把一些圆形棋子放成环形,且互相紧密接触,如下图.两人轮流从中取棋,每次只能取一颗或相邻的两颗,并且所取的这一颗或相邻两颗棋子的两边,必须都有与它们相接触的棋子,这样继续下去,到不能取走时为止.这时,最后一次取得棋子的人就算是赢了.想一想,如何才能获胜 (5)成一直线 画一个 33 格的正方形棋盘 .参加游戏的双方各拿三颗棋子 (用不同的颜色区分),并轮流把棋子一颗一颗地放到棋盘上.待全部棋子都放完后,双方可以依次把自己的棋子移到相邻的空格中去,但不能斜着走.谁先把自己的棋子摆成一直线(一行,一列或一对角线),谁就得胜.试一试,怎样才能取胜 4.计数斗智(1)和为 15 准备分别
6、写有数 19 的卡片图 9 张,摊在桌上,两人轮流取 1 张卡片.先取得双方卡片上各数之和为 15 的获胜.获胜的策略是什么 (2)和为 27 准备分别写有数 1,2,3,4 的卡片各 7 张,摊在桌上.两人参加游戏,轮流各取 1 张卡片.当两人所取的卡片上数的和是 27 时,最后取得卡片的一方获胜.为了获胜,该怎么取卡片.(3)两人写数 两人轮流写一个不超过 12 的自然数,但是已写过数的约数和倍数都不能再写.哪一方写出最后一个数,对方已无法再写数即为胜.你怎样写可以保证获胜 (4)从 21 开始 从数 21 开始,两人轮流减去一个一位数.但这个一位数必须在右图中选,而且是对方刚减过的数的邻
7、数才可以.如对方减 4,你接下去只能减 1 或 5 或 7,不能减其他的数.这样轮流地减,谁先出现不能减时(即答数出现负数) 谁就是失败者 .下面是一个例子.操作 答 数甲 21-1 20乙 20-4 16甲 16-5 11乙 11-8 3甲 要出现负数,甲失败了.如果请你先减,应减去哪个数 (5)奇数和偶数 这游戏是在 33 的方格( 下图)上玩的.游戏规则如下: 准备分别写有 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的小卡片 9 张.两个游戏者,一个只能用奇数,一个只能用偶数.他们交替地把卡片放在方格内. 哪个先使一横排或一竖行或一对角线上的三个数之和是 15 为胜. 从“奇数“游戏者开始.5
8、.棋类斗智(1)牛角棋 画牛角棋盘如下图.准备白子一颗,黑子两颗,两人游戏分别执黑,白棋子.开始时黑,白棋子放置如图.双方交替沿棋盘中的线走一步,不能不走,也不能走到有子的地方.如黑方将白方逼入牛角(即 O 点),则黑方为胜;如白方逃到 A 点则白方胜.白方先走.如你执黑子,怎样才能获胜 (2)侦探和间谍 画棋盘如下,两人参加游戏.游戏规则如下: 一方拿三个标有“侦探“ 的棋子 ,另一方拿一个标有“间谍“的棋子. 开始时,“ 侦探“ 放在,和的位置上,“ 间谍“的棋子可以放在除以外的任何没有被棋子占领的圆圈内. 从“侦探“开始游戏,每次只能按直线移动一格,可以到任一个被直线联结的空圆上,但不允
9、许返回移动.“ 间谍“可以向左,向右,向前或向后移动 ,每次也只能移动一格 . 假如“侦探“能把“ 间谍“追赶到(11)的圆圈内,而三个“ 侦探“ 又分别占领,三个圆圈的位置,这时“间谍 “陷入了陷阱,“侦探“胜利.如“间谍“ 逃过了“侦探“ 的包围网(因侦探不能返回移动),“侦探“就失败了.(3)象棋残局 下图是一盘象棋残局.请仔细观察,如果你执红棋 ,采用什么策略可以必胜 (4)翻转棋 准备两面分别为黑,白的棋子共 64 颗.两人游戏 ,每人各认定一种颜色的棋子 32 颗,棋盘为 88 共 64 格个小格.开始时在正中央 4 个小方格中各放两黑两白 4 颗棋子,如下左图.两人轮流下棋,每次
10、放一颗棋子.如果一方的棋子与另一方棋子处在同一直线(横,直,斜线都可以)上,而且把对方的棋子(一颗或几颗)夹在中间时,就可以把对方的棋子翻转过来,变成己方的棋子.如上右图中,当第二颗黑棋放好后,即可把白棋翻过来成为黑棋.需要注意的是,翻对方棋时必须体现“对称“ 的原则.如一边两颗黑棋 ,中间一颗白子,另一边再放一颗黑子(下左图),由于两边黑棋数目不等,即不对称,就不能翻转这颗白棋子 .另外,如凑巧出现如下右图的棋式,在“ 处放一颗黑棋 ,即可将 8 颗白棋全部翻转 .最后棋盘上哪一方的棋子多,那方就赢.(5)悖论骰子 美国斯坦福大学的概率统计学家埃夫伦设计出一种悖论骰子.骰子共 4 颗,外形与
11、一般的骰子完全相同,只是 6 个面上的点数不是 16.下面用展开图画出 A,B,C,D4 颗骰子 6 个面上的数.玩时每人挑选一颗骰子,各掷一次,以掷得数较大的为胜利. 有关“悖论“的介绍,请参阅 “十四,数学名题“中的“24尴尬的理发师“.现在要考虑的是,为了使获胜的可能性大一些,你选择哪一颗骰子 那么怎样来比较各颗骰子间输赢可能性的大小呢 例如两人玩这个游戏,你挑选 A,对方挑选 B,我们列出右表来比较一下.表中 A 赢的画“ “,输的画“.从表中可看出,在 36 种可能情况下,A 胜的有 24 种,B 胜的只有 12 种.因此 A 胜的可能性大于 B.现在请你把 A 对 C,A 对 D,
12、B 对 C,B 对 D,C 对 D 按上面那样列成表,看一看,在所有的对局中,A,B,C,D 输赢的可能性各是怎样的 如果你参加这一游戏,首先选择哪颗骰子.可以告诉你的是,这 4 颗骰子是 A 比 B 强,B 比 C 强,C 比 D 强,而 D 又比 A 强.它们就是这样循环往复着,由此而得名:“悖论骰子“.6.生活,生产中的对策(1)打乒乓的策略 小明爱好打乒乓,球艺也不差.他刚转到了一所新的学校.这所学校中小军,小青是两个乒乓尖子,而且球艺小军高于小青.为了要推荐一人去参加区里的乒乓赛,学校组织他们三人举行一次选拔赛.比赛进行三场,由小明分别对小军和小青;并规定如小明能连胜两场,就作为校代
13、表参加区的比赛;至于对手的安排,可从军青军,或青军青两个方案中由小明挑选.为了取得这次选拔赛的胜利,小明应挑选哪一个方案比赛比较有获胜的把握 (2)排队打水 居民楼的自来水管坏了,有 10 位居民带着各自的容器到临时接装的水龙头前来打水.根据容器的大小,他们注满容器的时间,分别要 1 分,2 分,3 分,10 分.请问工作人员应怎样安排他们的先后次序,使所花打水,等候的总时间最少 10 个人总共要花多少时间 (3)车站设置 在一条公路的某段路上,每隔约 500 米有一个居民新村,共有五个新村.每个新村所住的居民数如下图所示.现在要在这段路上某一新村处设一个公交车站,要求使所有居民到车站的路程总
14、和越小越好.问车站应设在哪里.(4)巧排水管 在热电厂的一侧有 10 家工厂,各厂间的距离如下图所示( 单位: 千米). 为了节约能源,由热电厂直接供应热水.热水管有粗,细两种与各工厂相连接.粗水管足够供应所有各厂用热水,细管只能供一个厂用水.安装热水管的材料与安装费,每千米粗管要 12000 元,细管要3000 元.为了尽量节约费用,又能充分供应各厂热水的需要,应怎样接装管子总费用最少 费用是多少 答 案1.(1)每轮结束抢报 3 的倍数;让对方先报数.(2)让 30 就是抢报 29,迫使对方报 30.所以每轮结束应抢报 29,26,23,20,即抢报“ 除以 3 余数为 2“的数;同时争取
15、先报数.(3)根据新的规则,总可使每轮报的数相加是 4,而 30 除以 4 余数为 2,所以应抢报2,6,10,14,18,22,26;同时争取先报数 .(4)为报 70,必须抢 67,64,61,.70 除以 3 余 1,所以每次须抢报 “被 3 除余 1“的数;同时要争取先报数 1.(5)每轮报的数相加总可以使 5+1=6,而 100 除以 6 余数是 4,所以每次要抢报“除以 6 余数是4“的数,即 4,10,16,22,82,88,94;同时要争取先报数.(6)让 100 就是要抢报 99.99 除以 6 除 3,所以要争取报除以 6 余数为 3 的数:3,9,15,21,81,87,
16、93,99;同时要争取先报数 .通过以上游戏,可以归纳抢数游戏的获胜策略是: 先求出规则中每次报数的最少个数与最多个数的和. 寻找这个和与所要抢的数之间的倍数关系.(是整数倍,还是整数倍多几.) 决定每次报数时应“占领“什么数,是“占领“中的倍数 ,或是“ 占领“倍数多几的数. 根据所要“占领 “的数,以确定是争取先报数 ,还是后报数 .2.(1)争取先拿.在 15 根一堆里拿去 7 根,使留下的两堆火柴每堆都是 8 根,记作(8,8). 以后对方在某一堆里拿去几根,你就在另一堆里拿去同样的根数.这样进行下去,就一定能拿到最后一根(或几根).(2) 让对方先拿.己方第一次应这样拿,使得留下的火
17、柴只有两堆,且每堆的根数相同.例如,对方拿去 1 根的一堆,你就在 3 根的一堆中拿去 1 根,留下(2,2)给对方;然后按照(1)的方法拿.(3)这一类火柴游戏,有一个必定取胜的一般方法.把每一堆火柴的数目写成二进数.如果这些二进数同一位上数字的和(用十进数表示不要进位)都是偶数,称为偶式形势 .当是偶式形势时,后拿的可获胜,因此要让对方先拿.例如,三堆火柴(2,5,7),就是:这是偶式形势,让对方先拿.反之,所有二进制数同一数位上数的和只要有一个不是偶数,称为奇式形势.当是奇式形势时,就争取己方先拿.以后每次总是把偶式形势留给对方.例如,对于奇式形势(3,5,7,9),己方拿法如下:这样每
18、次都把偶式形势留给对方,一直进行下去,己方一定能拿到最后一根(或几根) 火柴而获胜.如果对方不愿意先拿(或者由于火柴较多 ,一时看不清偶式形势), 那么应在双方轮流拿火柴的过程中,尽早把偶式形势留给对方.(4)把偶式形势留给对方这一点不变,只是在最后的拿法上稍微有些变化 .例如把(2,2) 留给对方,如果对方从一堆中拿去 1 请参阅“ 十四,数学名题“ 中的“11,八卦与二进制“.根,那么你就把另一堆全部拿光;如果对方拿走一堆,那么你就从另一堆中拿去一根.这样就把最后一根火柴留给了对方.3.(1)争取先取.先在中取走一颗.若先取走号,剩下的如果对方取 ,你就取,;如果对方取,你也取,;如果对方
19、取 ,你就取.这样,取后胜利一定是属于你的.总之,最后要剩下不相邻的两颗给对方,你就胜利了.(2)首先从右边一堆中取出 6 颗,成为右边一堆 6 颗,左边一堆 10 颗,即(10,6) 以后在拿取过程中,留给对方的应是(7,4),(5,3),(2,1)的形式.当最后(2,1)留给对方时,你就是胜利者了.(3)争取先放.把第一颗棋子放在棋盘的中心 O 处(下图). 以后采取关于中心对称放棋的策略.即如对方在 A 处放棋子,你就在 A 点关于中心 O 对称的 B 点放棋子,一直这样放,最后必然是你放最后一颗棋子后对方无法再放而取胜.(4)争取后取.在对方取出一颗或相邻的两颗棋子后,这个环就有了缺口
20、 .这时,如果余下是单数颗棋子,你就取出正中的一颗;如果余下是偶数颗棋子,你就取出正中的两颗,使留下的棋子成为对称的两列.以后,对方在一列中取出一颗或相邻的两颗棋子时,你就在另一列对称的位置上取出相同的颗数.这样继续下去,就一定能获胜.(5)争取先走.先占领下图中的中间一格 e.如果对方占领 a,那么你可占领 h,迫使对方占领 b;你再占领 c,迫使对方占领 q.这时,你只要再把 h 上的棋子移到 i,e 上的棋子移到 f,就可获胜.如果你占领了 e 后,对方占领 b,那你可先后占领 c,i,迫使对方占领 q,a.这时,你只要再把 e 上的棋子移到 f,就可获胜.这一游戏并不存在一个可以必胜的
21、策略,你应按取胜把握最大的策略进行竞赛.4.(1)争取先拿.首先取中间数 5,以后不论对方取几,你总可以取 1 张卡片,使这一数与对方所取卡片上的数相加和为 10,也就是总数为 15.(2)原理与抢数游戏相同.27 除以 5(1+4=5)余数是 2,所以每次所取的卡片 ,要使两人卡片上的数的和是“除以 5 余数为 2“的数 ,即 7,12,17,22,27.争取先拿 ,第 1 张拿 2.如对方取 3,你就再取2,2+3+2=7;如对方接着取 1,你就取 4,使和为 12.最后 27 必为你所得.(3)争取先写.第一个写 3,于是剩下的数只有 2,4,5,7,8,10,11.如果对方写 2,剩下
22、三个数 5,7,11,你就胜了.如对方写 4,也剩下 5,7,11,你也胜了.如对方写 5,你写 2,剩下 7,11 两数;如对方写 7,你写 2,余下 5,11;如对方写 8,你写 5,剩下 7,11;如对方写 10,你写 4,剩下 7,11;如对方写 11,你写 2,剩下 5,7,你都能取胜.(4)首先减去 5,如果对方减去 8,你就减去 7;这样,对方再减,答数就会出现负数.如果对方减去4,你就减去 7;对方再减,答数又要出现负数 .如果对方减去 2,你就减去 1;对方再减去 4,你再减去 7,你可以胜利了.如果对方减去 6,你减去 9;你又可以胜利了.(5)本游戏可参考 33 纵横图中
23、数的排法,“ 奇数“的一方先把 5 放在中间一格较为有利.5.(1)黑棋有必胜的策略.如白棋移到 D,那么黑 1 到 C,逼白棋向左移 ;如白棋到 E,那么黑 2 到C,这时如白棋回到 D,那么黑 1 移到 B.这样一步步把白棋逼向 O.(2)“侦探“应齐头并进,一步步把“间谍“逼到(11), 游戏时应根据双方移动情况,灵活掌握.(3)这副棋只有边兵和炮可以走动.中路两炮空 4 格,边上两炮空 6 格,两边兵中空 2 格,实际上只能走 1 格.用类似拿火柴的二进制数来分析;形势如:这是个奇式形势,先走必胜.例如红棋边炮前进 1 格,成式,即偶式形势.如黑棋卒进 1 格成式,那么红棋边炮再进 1
24、 格,成式;接下来如黑棋边炮进 2 格,成式,那么红棋将中炮进 2 格,成式;以后红棋应依照黑棋的步数走 ,最后黑方将无法移动棋子而告失败.(4)应根据双方放棋情况,灵活掌握.(5)列表得结果是 C 胜 A,20:16;D 胜 A,24:12;B 胜 c,24:12;B 平 D,18:18;C 胜 D,24:12.于是,A是 1 胜 2 输,得 24+16+12=52;B1 胜 1 平 1 输,得 24+18+12=54;C2 胜 1 输,得 24+20+12=56;D1胜 1 平 1 输,得 24+18+12=54.由此,选 C 骰子取胜的可能性较大.6.(1)由条件可知,小军的实力是较强的
25、,小明如选择青军 青方案,那么,小明只与小军赛一场,这场一输,选拔就毫无希望了.如选择军青军方案,小明与小军赛两场,只要赢一场,那么连胜两场的可能性就很大.(2)注满容器所要时间少的人应排在前面,即应按需要 1 分 ,2 分,10 分时间的次序来排队,这样所花的总时间最少.10 个人总共花时间:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+10)=110+29+92+10=220(分).(3)我们不妨假设把车站分别设在 A,B,C,D,E 五处,计算一下 :所有居民到车站所走的总路程是多少 从中挑选出路程最少的一处.如车站设在 A 处:1.5500+15002+0.55003+1.55004=
26、5500(米).如车站设在 B 处:2500+1500+0.55002+1.55003=4250(米).如车站设在 C 处:25002+1.5500+0.5500+1.55002=4500(米).从这里可以判断出,如车站设在 D,E 处,总路程将逐渐增大.由上可知,车站设在 B 处,全体居民到车站所走路程的总和最少.像这类选择最佳地点的问题(包括麦场,仓库设置等等), 有这么一条规律 :在每一处间隔距离相等的情况下,一般是两边向中间靠,当某一处连同边上的几处的人数(或货物吨数等等) 相加超过一半时,就把场地设在这一处上.(4)如果每一个工厂都用细管分别与热电厂相连,那么,从热电厂到第一个工厂要用 10 根细管,到第二个工厂要用 9 根细管,.下图中括号中的数,表示到每个工厂要安装细管的根数.显然,这是不合算的.由于粗管的安装成本是细管的 4 倍,因此,在同一段距离上安装了 4 根或 4 根以上的细管,可以改装为一根粗管,这样就节省了费用.于是可把从热电厂到前七个工厂的全部细管换成一根粗管,再从这个粗管中接出三根细管,分别接到最后三个工厂.总费用是:(1+0.5+0.5+0.3+0.2+0.8+1)12000+(0.73+0.52+0.91)3000=63600(元). 这是最省的方案.
