1、1走进数学,无穷快乐-浅谈数学之美要谈这个问题,首先从什么叫数学谈起,什么是数学?小学生认为是算术,重在术,例如竹杆进城与” 量井深 ”；初中生认为数学是几何与代数 ,代数是用符号表达的语言,主要是研究运算与关系；几何主要研究形状,大小和空间。由此马克思从哲学角度给数学以这样的定义：”数学是研究数量关系与空间形式的科学”, 这仅是从一个角度对数学给予定义,而我们根据数学的特点,多角度多维度看数学：数学是术，是用来解决生产与生活的计算方法（中国九章算术） ；是理念，是关于世界本质的学问（古希腊） ；是一个公理体系（特别是几何） ；是结构的科学（小孩从拓扑到度量几何） （课改注重体到面，符合儿童认
2、知） ；是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学；是关于模式程序的科学；是科学，是一门创造的艺术，也是一门技术（玻利亚） ；是一种语言（语意学，语音学）（与数学贴近，亲切，自然语言、符号语言、图表语言的交融转化） ；是一种文化（抽象材料，子文化） ，公民应具的素养） 。百家之言，各有角度认识。若从数学是一种文化来看数学具有独特魅力，如动静、常变，微分与积分等对立统一、辨证协调，这种子文化渗透于社会方面，道琼斯指数，GDP、CPI ，恩格尔系数，球面距离，收荒和计算器，红艳用计算机（现代人用现代数学技术） 。数学渗透着我们的整个生活,走进数学也就是走进生活,让我们一起走进数学,去了解数学,感受数
3、学之美,体验快乐.一、数学的理性，魅力无穷 例 1 、我国的人口超过 13 亿。请回答：存在两个人出生的时间相差不超过 2.5 秒钟吗？那好办！搞个人口大普查吧。遗憾的是，人们的出生时间一般记录到几点几分，没有秒的记录；更不好办的是，50 岁以上的人，特别是农村人口，出生时间只能精确到日，因此普查的办法是行不通的。可是会数学地思考问题的人，却采取另外的处理方式。看 1100 岁的人就够了。100 年（都按闰年算）=360024 366 100=3162240000 秒。如果每 2.5 秒为 1 个间隔，3162240000 秒有个 12.65 亿个抽屉，可以肯定，至少有两个人在同1264890
4、5.3160一个抽屉里，即这两个人出生的时间相差不超过 2.5 秒钟。所以会数学思考的人不用人口普查，只需要动脑筋算一算，就很快得出了肯定的结论。例 2 、两个边长为 0.9 的正三角形的纸片，能盖住一个边长为 1 的正三角形纸片吗？请你简述理由！盖一盖试一试吗！盖来盖去就是差一点！再试，无穷多种位置的可能性千年万代也试不完呀？怎么办？用数学的思维方式，如果两个边长为 0.9 的正三角形的纸片，能盖住一个边长为 1 的正三角形纸片，当然必须盖住边长为 1 的正三角形的三个顶点 A、B、C。于是根据抽屉原则，至少有一个边长为 0.9 的正三角形的纸片盖住其中的两个点，不妨盖住的是 A、B 两个点
5、，则AB0.9 ，这与 AB=1 矛盾！所以，两个边长为 0.9 的正三角形的纸片，无论怎样放置，都盖不住一个边长为 1 的正三角形纸片。简洁有力的数学推理，跨越了永无止境的试来试去！如果你想到了这个证2法，你会油然而生一种成就感，这是多么美好的精神享受哇！例 3 、已知 A+a=B+b=C+c=1(A,B,C,a,b,c 都是正数)求证 Ab+Bc+Ca1.例 4 、有没有这样的集会，大家见面后互握手，其中奇数次握手的总人数恰好是 2003？若要组织人员去统计，那真是大海里捞针！难！会数学思考问题的人，往往从一般情况入手分析：假设有 n 个人参加集会，每两个人见面握一次手，对每人都计握手 1
6、 人次。记握 0 次手的人有 个，握 1 次手的人有 个，握 2 次0 1n手的人有 n 个，,握 k 次手的人有 n 个，则有 0 +1 +2 2 kn +k n +=2 握手总次数= 偶数。于是2 即 ，,.531偶 数 偶 数.)42(.)( 53531 n所以 .因此会数学思维的人出口惊人地告诉我们：偶 数.握奇数次手的总人数决不能等于 2003。例 5 、实现计算过程的数学模型图灵机。电子计算机的研制成功是 20 世纪科学的重大成就之一。而计算过程实现机械化的可行性的证明是由数学家实现的。数学家图灵于 19361937 年发表论文论可计算数及其对判定问题的应用 ，首次对计算的本质进行
7、了深刻的分析。图灵发现在用二进制表示数的情况下，一切计算过程都具有“线性”的性质，即整个计算就表现为一条印着方格的纸带上的一个只含 0 和 1 两个数码的数串，每个方格中只有一个数码（0 或 1） 。于是发现计算者所可能做的事，也就是计算的实质只是如下几种活动：（1） 写上符号 0；（2） 写上符号 1；（3） 向左移一格；（4） 向右移一格；（5） 观察现在扫描的符号并相应地选择下一个步骤。（6） 停止。计算者执行的程序，也就是这类指令所排列成的表，这就是实现计算过程的数学模型。这个模型就是后来文献中所说的图灵机。它是在不考虑硬件的条N PMC cBbAa3件下，对可计算问题的逻辑描述。图灵
8、机理论表明，一切可计算问题都可以机械进行。因此，通用计算机是可以制造出来的。这为现代电子计算机的开发从理论上打下了基础。试想，不用证明可行性，哪个投资者敢向无底洞去投资？既然通用计算机在理论上是可以制造出来的，剩下的事都交给技术工程师去实际完成就可以了。事实上，计算机的 5 代革命，都是数学领的头。由以上例子可以看到，数学是一种理性的思维方法，一种推理的方法。是用来解决各种行业中提出的各种问题的一种思维方法。正如华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，化工之巧，日用之繁，无处不用数学。 ”二、浪漫的数学,灵动着生活1、数学在诗歌中A 一去二、三里。B 两支，一行，千秋 万里。C“
9、大孤烟直，长河落日圆”（重面与园切线） 。D 陈子昂“登幽洲台歌” ， “前不见古人，后不见来者 ”（原点标轴，上下两千面） 。E“清泉石上流，明月松间照 ”对仗与对称，蝴蝶 建筑 一滴墨水对折等。2、数学在理化中(并联、串联电阻，功， )4H3、数学在其它方面历史、记年、考古等；市场经济的蛛网结构。住房按揭贷款，等额本金、等额本息，还贷的利弊；教育中初中生 ，学生对美的认知冲突；22)(ba求根公式之美妙（卡西莫多，内在） ；打麻将概率需要；管理者学问“公说公有理，婆说婆有理” 。4、数学在数学人的身上，三位数学家的年龄1维纳的“完美的年龄”诺伯特维纳是美国著名的数学家，是信息论的先驱，也是
10、控制论的奠基者。诺伯特维纳 11 岁时进入大学，15 转入著名的哈佛大学，后来获得了博士学位，在博士学位的授证仪式上，维纳一脸稚气，活脱脱一个稚嫩少年的模样，令执行主席非常惊奇，他看不出维纳的实际年龄，于是忍不住当面询问维纳。不料维纳的回答非常有趣而含蓄。他说：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数。这两个结果的十个数字，刚好是 09 这十个数字，不重复也没遗漏。这将意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将在数学领域内能干出一番惊天动地的事业。 ”话音刚落，满座皆惊。与会者被他的妙题深深地吸引住了。一时，维纳的年龄成为授证仪式中的中心话题。当与会人士解出这道题的答案后，都对维纳钦佩
11、不已，执行主席对他也另眼相待。大家都折服于维纳的聪明才智和壮志雄心。于是，人们把维纳的年龄称为“完美的年龄” 。维纳把十个数字非常巧妙完整地纳入自己当年年龄的题目中，堪称一绝。那么，维纳那年到底多少岁呢？让我们来算一算，从外貌上看，维纳的岁数应该在 20 岁左右。4由于 ,160202,8020243 符合第一个条件，但其中出现了重复和遗漏的数字，不符合第二个条件。我们再来考察一下 20 左右数的立方及四次方。18 , 18 , 19 , 19 9, 21 ,5831497659334921321 , 22 , 22 .194083264由上面的分析可知，同时符合维纳所说的条件的，只有 18
12、,18583,所以维纳 18 岁时就获得博士学位。07642丢番图的墓志铭丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的著名数学家，他在不定方程方面取得的成果让世人皆知，关于他的生卒不太详细，但从他的墓碑上的碑文我们可以知道他活了多少岁。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题：“过路人，这座石墓里安葬着丢番图，他生命的 是幸福的童年，生命的 是青少年时期。又过6112了生命的 他才结婚。婚后 5 年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便71死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中活了 4 年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”丢番图的年纪究竟有多大呢？我们可以用方程来求。解: 设他活了 x 岁，依
13、题意可列出方程 xxx42157126解得 x=84故我们知道，丢番图活了 84 岁，在当时那个年代，要算高龄了。当然，我们还可以用求公倍数的方法推出丢番图的年龄。从碑文中的数据知，丢番图的年龄应是 6、12、7、2 的公倍数。即 84、168、256等；考虑人活的年龄的可能性知，只有 84 才符合实际，所以，丢番图活了 84 岁。3狄摩根的年龄狄摩根是 19 世纪英国数学家，活了 65 岁，他曾在逻辑研究方面作过贡献，传说，某一年，有人问他：“您多大年龄啦？”在西方，除非亲朋好友，随便问别人年龄是不礼貌。而狄摩根非但没有介意，而且还幽默地说：“我在公元年时是 x 岁。 ”2问话的人看狄摩根回
14、答得挺认真的，不象是在开玩笑，便认真思考起来，最后通过列方程并利用不同等式，才搞清楚狄摩根的年龄。其实，要求狄摩根的年龄，有非常简单、容易的解法，就连小学生也能很快给出答案的。我们不难发现：狄摩根生活的年度在 17002000 年之间（想想，为什么？） ，而其中只有三个完全平方数，这就是：1764= 、1849= 和 1936= .224324也就是说，狄摩根的年龄只有三种可能：1764 年时 42 岁、1849 年 43 岁、51936 年 44 岁。下面只要对这三种情况加以验证，问题便可解决，我们先验证第一种情况：1764 年时 42 岁，那么当他刚活到 19 世纪时就已 70 多岁了，显
15、然不符合要求；再来验证第二种情况：1849 年时 43 岁，那么他应是 1806 年出生，1871 年去世，符合实际；最后验证第三种情况：1936 年时 44 岁，那么他应是 1892 年出生，到 19 世纪末才 8 岁，不可能是这一世纪的数学家。因此，答案是狄摩根在 1849 年 43 岁。数学源于现实，蕴于现实，促进现实，生活处处有数学，生活离不开数学，人人都需要学数学，人人都应该学好数学，且都要学有价值的数学。那么如何才能去热爱数学，学好数学呢？我把以下内容献给我的同事，以及同事的孩子们，那就是要用好奇心去开启兴趣的闸门，让那数学的奇思妙想愤涌而出，去激励数学美好之境！著名国际数学大师陈
16、省身为“2002 青少年数学论坛”题字“数学好玩” ，其意思是说数学并不枯燥，他不是游戏，而是一种有趣的东西。这个有趣的东西很美，是理性的美、抽象的美。数学既然是这样的美，这样的有用，你对他感兴趣吗？（兴趣）最终证明了费玛大定理的数学家安德鲁霍尔斯，10 岁时已经着迷于数学了。他回忆说：“在学校里我喜欢做题目，我把他们带回家，编写成自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书馆发现的。 ”这里有大量的智力测验的书籍，正是这些书籍常常引起安德鲁的注意。这些书中含有各种难解的科学难题和数学之谜，而每个问题的解答可能会扼要地展示在最后几页的某个地方。但是这一次安德鲁被一本书吸引住了，这
17、本书只有一个问题而没有解答。这本书就是埃里克坦普尔贝尔写的大问题 ，记述的是费玛的最最后命题：方程 ,当 n 大于 2 的自然数时，没有正整数解。nzyx它使一个个数学家望而生畏，长达 300 年还没有能解决它。霍尔斯今天这样描述当时的感受：“它看不起上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它。这里正摆着一个我一个 10 岁的孩子能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。 ”(热爱、激励、坚持)我国数学家华罗庚教授说得更为具体：“我开始时学习数学是没有什么宏愿的，仅仅是为了兴趣，为了便于自学。 ”唯一推动我的力量，就是兴趣与方便，因为数学是充满了兴趣的科学,也是最便
18、于自学的科学。 “可见，兴趣对于早期进入数学领域多么重要。在刚开始学习的时候是很难完全弄清楚学了数学有什么用的。华罗庚也只是后来才“认识到研究数学不能停留在为了兴趣上，认识到数学是和国家、社会有着密切关系的，它可以成为建设祖国的工具。”认识到“数学是对社会有极大贡献的学问” ， “科学与生产越发达，对数学的需要也就越迫切；在自然科学愈提高到理论阶段的时候，也就愈是需要数学的时候。 ”兴趣来源于好奇心。要学好数学，就要动手动脑，多问为什么。找事物之间的联系，提问题，找解答，说理由，久而久之，你就会发现数学就在你的身边，你也就会觉得自己的能力有所提高。作数学题，要作具有挑战性的题目，在中小学阶段，
19、有趣的算术四则问题，平面几何的证明题或作图题，竞赛中的趣味题，对提高数学兴趣和解题能力都有好处。6有的同学可能想：我会动手实践，数学难学，会点算术就可以了。对数学学习不必要求过高。我想通过七桥问题的感触来说明这个问题。在 17 世纪的东普鲁士小城镇哥尼斯堡有一条小河流经市中心，河中有小岛 A 和 D，河上有七桥连接着这两个小岛及河岸 B 与 C，居民经常沿河过桥散步，于是有人提出这样的问题：一个有能否每座桥恰好通过一次（无重复无遗漏） ，回到出发点。市民反复试验均未成功。于是有人写信给当时在彼德堡科学院的数学教授欧拉，请他帮助解决， 。欧拉并没有亲自去桥上走试，而运用他的智慧，敏锐的洞察力使他
20、看到：该问题与所走过的路程长度无关，而岛屿、陆地只是靠桥梁来连接着的地点，从而他将问题数学化、抽象化处理：将两个岛和河两岸抽象成四个点 A、B、C 、D ，将七座桥抽象为七条线，于是人们企图一次无重复地走过七座桥的问题，即等价于一个图形的“一笔画问题” 。这种“抽象分析法”也称为“数学模型法”显然，抽象分析的结果得到数学模型，而抽象分析的过程，就是“建模” 。欧拉用奇偶分析的方法得出了七桥问题的答案，也就是有存在市民希望的那样的行走路线。欧拉对一笔画的结构特征作了深入的分析，还得到了连通图能够一笔画的充要条件。1736 年欧拉发表文章阐述了自己的研究成果，并且该问题的解决对图论及拓扑学的诞生具
21、有奠定性的作用。通过这个例子，对我们有什么启示呢？为数众多的双目健全的市民为什么抵不过一个双目失明的欧拉呢？原因就在于欧拉解决问题过程是通过分析、抽象出问题的数学模型，通过数学问题解决得到实际问题的答案，同时也综合地得到数学规律知识（一笔画图形的充要条件） 。归根结底在于，欧拉较强的理性思维能力，能够“数学地”看待问题。在这里我们看到了数学抽象的威力，数学用抽象思维把握事物的力量。那么，怎样才能学好数学呢？（1） 要知难而进，刻苦用功数学美妙、好玩，不等于学数学可以不用功，恰恰相反，学习数学，需要良好的心理素质，又可以培养良好的心理素质。数学高度的抽象性和严谨的逻辑性，使数学学习较其他学科的学
22、习会遇到更大的困难，数学学习过程需要坚强的毅力和坚定的意志，需要聚精会神，需要学习者具有良好的“情商” （EQ） 。华罗庚教授说：“聪明在于学习，天才由于积累” ， “学习科学时，必须紧紧掌握知难而进的原则” 。1965 年罗增儒教授请国际数学大师陈省身教授谈学数学的体会，大师胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上。反之，正如培根所说：“如果一个人像小鸟那样容易分散注意力，那么学习数学是一种补救的办法。因为在从事数学工作的时候，即使是一刹那间思想不集中，那么，前面所做的数学证明就前功尽弃，从而必须重新开始。 ”这些名人的话语，都从不同的角度提示了数学学习的特点。可见数学对学习者心理的陶冶
23、作用早为人们所发现。如果将数学比做一个大花园，那么，在花园外面看花只能皮毛地描绘数学；如果进花园观花，可以嗅到花的芬芳，但并没有真正了解花。只有参加花的栽种与培育，撒下辛劳的汗水，学到培育花的知识、掌握花的应用，你才能真正了解花，所谓“愉快轻松的数学学习” ，充其量只能是进花园观花，是不可能学到数学的真谛的。(2) 在“做数学 ”中“学数学”问题是数学的心脏，学数学就要解题，理解数学概念要有一个过程，掌握数学理论更要有一个过程，而且，只有在概念的运用中才能逐步达到深入的理7解，通过作数学习题来理解概念，通过作数学习题来巩固知识，通过作数学习题来运用理论，通过作数学习题来检验学习效果。通过“做数
24、学”来“学数学” ，体现了学习数学是一种思维活动，是数学思维活动的体验与学习。通过“做数学”体验到成功的喜悦，使你产生对数学的“兴趣” ，而“兴趣是最好的老师” ；进而引导你体会到数学的思想、方法，产生对数学的“爱好” ，这时你的数学学习将进入比较自觉的状态；再进一步地学习，你会领悟到数学的精神，产生对数学的“着迷” 。在学数学的过程中，要注意学习方法，掌握典型，学练结合。必须吃透典型的例题，通过例题掌握、理解数学概念。牛顿曾经讲过，例子比定理更重要。这是因为例子很具体，它是理解抽象数学概念的向导；例题较直观，它是学习数学理论的原型；例题易操作，它是运用数学理论的演示；例题是模型，它是掌握数学
25、理论的标本。我国著名数学家齐民友教授一再重申他对学生们反复讲的一句话：数学是算懂的，而不是看懂的。当然更不是听懂的。这只是对想“懂”一点数学的人说的，如果就只想“知道”一个大概，就是另一回事了，其实这说的就是在“做数学”的道理。（3）要循序渐进，不断反思数学高度抽象性和理论严谨性的特点，要求学习者必须一步一个脚印地扎扎实实地学习，一个阶梯一个阶梯地攀登。基础数学理论的内部联系，使得数学理论主干脉络必须是连通的，在数学理论学习中必须循序渐进，学习一个阶段，自己就要进行小结，梳理理论思路。对数学概念定理的每一句话都应该仔细推敲，自我质疑，不断反思。反思是“数学化”中的一种重要活动，它是数学活动的核
26、心和动力。不进行自我质疑、不断反思的数学学习不可能是理解学习，学会以反思为核心才能真正抓住数学思维的内在实质。才能理解数学、学好数学。（4）领悟“数学化” 、 “形式化”数学学习就是要学会数学的思维方式。这是数学学习的中心与目的。数学的思维有其突出的特点，这是由数学的特点所决定的。所谓“数学化” ，就是指经验材料的数学组织化，以及数学材料的逻辑组织化，这样才能形成数学的应用。遇到现实的问题，数学工作者总要将问题简化、抽象为理想状态下模型，用数学的语言来描述，化成为数学问题进行研究。研究时使用的是数学的形式语言，严格的逻辑推理。解决问题的思路是将未知的问题化归为已知的会解的问题。在数学的思维中，
27、既有合情推理，又有逻辑推理；数学既是归纳的科学，又是演绎的科学。既要学会“先猜后证”的助探方法，也要学会逻辑证明的演绎规则。总之，学习数学，就是要学会数学地思考问题，学会数学的思维方式，学会数学地解决问题。（5）练好“双基” ，体验创新学生在学校的数学学习，是学习前人发现的、经过实践检验比较成熟的数学知识。学生通过数学活动对这些数学知识是个“再发现”的过程，也是个思维“再创造”的过程。为了达到较高的学习效率，学好基础知识、练好基本技能是数学的基本功。基本功要天天练，基本功要练扎实，这也就是华罗庚教授提倡的要“拳不离手，曲不离口”创新需要扎实的基本功，基本功熟能生巧、诱发创新。这个过程一般有三个阶段：第一阶段：照葫芦画瓢地模仿。也就是照着例题做习题。第二阶段：利用成法解新题。这又可以分为直接利用成法解新题、适当改造成法解新题两种情况，后一种已经有所创新。8第三阶段：试着提出新的方法、新的思路来解决问题，这在学生的数学学习过程中，已经是比较高的境界了。学生学习数学要练好“双基” ，体验创新，只是为以后工作做知识和能力的准备。学习活动只是培养创新意识，一般尚达不到实现创新的要求。数学学习的以上五个特点，是结合数学特点对学生数学学习经验的概括，其中也有数学家的学习心得。学好数学的学生都应较好地具备这五个特点。
