1、1反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积一般地，如图 1，过双曲线上任一点 A 作 x 轴、y 轴的垂线 AM、AN ， ，所得矩形AMON 的面积为：S=AMAN=|x|y|=|xy|. 又y= xk，xy=k. AMONS矩 形 =|k|. |21kSAOM.这就是说，过双曲线上任一点，做 X 轴、Y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数 k 的几何意义，明确了 k 的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：1、求函数的解析式例 1 如图 2 所示，在平面直角坐标系中，一次函数 1ykx的图象与反比例函数9yx的图象在第一象限相交于点 A过点 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为点
2、B、C如果四边形 OBC是正方形，求一次函数的关系式解析 四边形 是正方形及反比例函数 9yx的图象在第一象限相交于点 A，则正方形 B的面积为：Sxy9，所以正方形的边长为 3，即点 A 的坐标（3，3， ） 。将点 A（3，3， ）代入直线得 y= 32x+1。2.特殊点组成图形的面积例 2 如图 3，点 、 B是双曲线 yx上的点，分别经过 A、 B两点向 x轴、 y轴作垂线段，若 1S阴 影 ， 则 2S 解析 由 A,B 分别向两坐标轴作垂线围成图形的面积相等，S 1+S 阴影 S 2+S 阴影 xy3. 阴 影 ， 12224。图 1ANM XYOACO Bx图 2xyABO1S2
3、图 3图 42例 3 如图 4，A、B 是函数 2yx的图象上关于原点对称的任意两点，BC x轴，AC 轴，ABC 的面积记为 S，则（ ）A 2S B 4S C 4 D 解析 A、B 是函数 2yx的图象上关于原点对称的任意两点，ABC 的面积记为 S4S AOD =4 1xy=4.3、求字母的值例 4 如图 5，直线 y=mx 与双曲线 y= xk交于 A、B 两点，过点A 作 AMx 轴，垂足为 M，连结 BM,若 MS=2，则 k 的值是（ ）A2 B、m-2 C、m D 、4解析 直线 y=mx 与双曲线 y= xk交于 A、B 两点，已知 A,B 两点关于原点 O 对称，所以 AB
4、MS=2SAOM =2 21xy=xy=2k=2。例 5 如图 6，已知双曲线 )0k(xy经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 3，则 k_ 解析：由双曲线 )0k(xy 经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D，设点 D 的坐标（x,y） ，又 DEBA,点 B 的坐标为（2x,2y ） ，OBC 的面积 3, 21OA.AB= 2x2y=2xy=2k=3,k= 3.4、求线段的长度例 6 如图 7，已知一次函数 1yx的图象与反比例函数 kyx的图象在第一象限相交于点 A，与 x轴相交于点 CAB， 轴于点 ， AOB 的面
5、积为 1，则 AC的长为 图 5图 63（保留根号） 解析： AOB 的面积为 1， 21k=1,k=2。解方程组 y=x+1Y= x,得 A 的坐标（1，2） 。由一次函数 y的图象与 x轴相交于点 C，OC=1,BC=2,AB=2,由勾股定理得 A2 。5、探讨面积的变化例 7 如图 7，在直角坐标系中，点 是 x轴正半轴上的一个定点，点 B是双曲线3yx（ 0）上的一个动点，当点 B的横坐标逐渐增大时，OAB的面积将会（ ）A逐渐增大 B不变C逐渐减小 D先增大后减小解析 是 x轴正半轴上的一个定点，OA 的长度是定值，即 OA 的底边一定。点 B是双曲线 3yx（ 0）上的一个动点，当
6、点 B的横坐标逐渐增大时，纵坐标 y 的值逐渐减小，故 B 的面积将会逐渐减小，选 B。6.确定自变量的取值范围例 8 已知一次函数 ,11xy点 P 在反比例函数 )0(2kxy的图象上,PAx 轴,垂足为A,PB y 轴,垂足为 B,且四边形 AOBP(O 为坐标原点) 的面积为 2.求 k 值;求所有满足 21y的 x;试根据这两个函数的图象,写出满足 21y的 x 的取值范围( 只需直接写出结论).分析:根据四边形 AOBP 的面积为 2,可以求出反比例函数中的 k 值.再利用 21y转换为一元二次方程求出相应的 x 值.xyO AB图 8yO xAC B图 74解:(1)四边形 AO
7、BP(O 为坐标原点)的面积为 2,k=2. ,21x解得 x=-2 或 x=1.由图象得当-2x0 或 x1 时,满足 21y.点拨:反比例函数常与一次函数结合起来考查,而反比例函数独有的特性就是反比例函数图象上任意一点向坐标轴做垂线,形成矩形的面积为|k|.探究反比例函数中 k 的意义反比例函数 (k0)的比例系数 k 的意义，除同学们熟悉的 “当 k0 时，双曲线的xky两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 的增大而减小；当 k0 时，所围成的矩形的面积为 k，三角形的面积为 ；2k当 k0 时，所围成的矩形的面积为-k，三角形的面积为 .以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.应用举例：例 1 如图 3，在反比例函数 （x0）的图象上任取一点 ，过 点分别作y6P轴、 轴的垂线，垂足分别为 M、 N，那么四边形 的面积为 xy PON解：S 四边形 PMON= .k例 2 反比例函数 的图象如图 4 所示，点 M 是该函数图象上一点，MNx 轴，xky垂足为 N.如果 SMON =2，求这个反比例函数的解析式解：S MON = =2, =4, k=4 2k又双曲线在第二、第四象限内，k0，k=-4, 所求反比例函数的解析式为 xy4OByxAQ图 2PyM x0N图 3
