1、2018 届云南省保山市普通高中毕业生市级统测文科数学试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，故选 B.2. 若复数满足 ，则复数的虚部为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意 ，故虚部为 .3. 下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于 ，即不是奇函数，又不是偶函数 ，不合题意；对于 是偶函数，不合题意； 对于 是奇函数，在定义域内递减，不合题意；
2、对于 是奇函数且递增，合题意，故选 D.4. 若 的展开式中各项系数的和为 32，则该展开式的常数项为( )A. 10 B. 6 C. 5 D. 4【答案】A【解析】令 ，得 ，故常数项为 .5. 已知向量与 的夹角为 且 ， ，则 ( )A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】因为向量与 的夹角为 且 ， ，所以 ，故选 C.6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 的值为( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】D【解析】 ，判断是， ，判断是， ，判断是， ，判断否，输出 .7. 已知点 在角 的终边上，则 的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解
3、析】 点 在角 的终边上， ，故选 D.8. 若 满足约束条件 ， ，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】画出 表示的可行域如图，由 ，得 ，由 ，得 ， 表示可行域内的内的点 与 连线的斜率， ，由图可得 的范围是 ，故选 A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 在 中，角 的
4、对边分别为 ，若 成等差数列，且 ， 的面积为 ，则 ( )A. 4 B. C. D. 【答案】B【解析】 成等差数列， ， 面积为 ， 由余弦定理可得 ， 由得， ，故选 B.10. 已知 为抛物线 的焦点，抛物线的准线与 轴交于点 ， 为 上一点，过点 作 垂直于抛物线的准线，垂足为 ，若 ，则四边形 的面积为( )A. 14 B. 18 C. D. 【答案】A【解析】因为 ，根据抛物线的定义可得 ，作 轴于 ，则 ，由勾股定理可得，矩形 的面积为 ， 四边形 的面积，故选 A.11. 已知函数 的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A. 函数 的最小正周期为B. 函数 的图象可由
5、的图象向左平移 个单位得到C. 函数 的图象关于直线 对称D. 函数 在区间 上单调递增【答案】C【解析】由图象知， ，得 ， 正确；可得 ， 时， 有最大值， ，令 ，得 ， ， 向左平移 个单位，得到， 正确；由图知， 时， 在 上递增， 正确； 时，函数 的图象不关于直线 对称， 错误，故选 C.12. 若实数满足方程 ，实数 满足方程 ，则函数 的极大值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为实数满足方程 ，实数 满足方程 ，所以是 与 交点 的横坐标； 是 与 交点 的横坐标， 与 互为反函数图象关于 对称，由于 与垂直，所以 关关于 对称，设两直线交点为 ，则 的中点
6、是 ，解得两直线交点为 ， ， （总有 ），由，得 ， 在 上递增，在 上递减， 极大值为 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查反函数的性质、方程的根与图象交点的关系、利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题. 求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减） ，那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增） ，那么 在 处取极小值.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为_.【答案】【
7、解析】 双曲线 的渐近线方程为 ， ，双曲线的离心率为，故答案为 .14. 若长方体的长、宽、高分别为 1、2、3，则该长方体的外接球的表面积为_.【答案】【解析】 长方体外接球的直径是长方体的对角线长， ，外接球的表面积为，故答案为 .15. 已知 是等差数列 的前 项和，且 ，则满足 的最大的正整数 的值为_.【答案】12【解析】 ， 前 项和最大，得 ，由 ，得 ， ， 的最大整数为 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质及前 项和的最值，属于难题. 等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ,则 ；(3)若 是等差数列，公差为 ，则是公差 的
8、等差数列；(4)数列 也是等差数列，本题的解答运用了性质（ 2）. 16. 下列说法正确的是_.(填序号)命题“ ， ”的否定是“ ， ”；“ ”是“ ”的必要不充分条件；若 ，且 ，则 至少有一个大于 2；已知命题 ：函数 在 上为增函数，命题 ：函数 在 上为减函数，则命题“ ”为假命题.【答案】【解析】对于，因为全称命题的否定是特称命题，故错误；对于， ，等价于 或， 或 不能推出 ，故错误；对于，若 都不大于 ，则 与 相矛盾，至少有一个大于 2，故正确；对于， 在 上递减，在 上递增， 为假命题， 为假命题，故正确，故答案为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出
9、文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ，且 .(1)求数列 的通项公式 ；(2)设等比数列 的前 项和为 ，若 且 ， ，求 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1) 当 时， ，由 ，得 时， ，两式相减，验证 是否符合即可得数列 的通项公式；(2)根据 ， 列出关于首项 ，公比 的方程组，结合 解得 、 的值，利用等比数列求和公式即可得等比数列 的前 项和为 .试题解析：(1) ，当 时， ；当 时， ， ，又 也符合上式， .(2)设等比数列 的首项为 ，公比为 ，由 得 ，解得 或 . ， ， . .【方法点睛】本题主要考查等比数列通项公式与求和公
10、式以及数列的通项公式与前 项和公式之间的关系，属于中档题.已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时，由 ，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.18. 为弘扬“中华优秀传统文化” ，某中学在校内对全体学生进行了一次相关测试，规定分数大于等于 80分为优秀，为了解学生的测试情况，现从近 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行分析，按成绩分组，得到如下的频率分布表：分数频数 5 35 30 20 10（1）在图中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这次测试的平均分；(3)若这 100 名学生中有甲
11、、乙两名学生，且他们的分数低于 60 分，现从成绩低于 60 的 5 名学生中随机选 2 人了解他们平时读书的情况，求甲或乙被选到的概率.【答案】(1)见解析(2)74.5(3) 【解析】试题分析：(1) 根据表格数据，利用古典概型概率公式可得分布在 ， ， ， 内的频率，从而可以作出频率分布直方图；(2)利用每个小矩形中点横坐标与纵坐标相乘，然后求和即可估计这次测试的平均分；（3）利用列举法列举出成绩在 内的 人任选 人的结果共有个，甲或乙被选到的结果共有 个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：(1)由题意可知分布在 ， ， ， ， 内的频率为 ， ， ， ，作频率分布直方图如图所示.
12、(2) .(3)记成绩在 内的 5 人为甲，乙， ，任选 2 人，结果共有 10 个：甲乙，甲 ，甲 ，甲 ，乙，乙 ，乙 ， ， ， ，甲或乙被选到共有 7 个：甲乙，甲 ，甲 ，甲 ，乙 ，乙 ，乙 ，所以甲或乙被选到的概率为 .19. 如图，在四棱椎 中，底面 为菱形， 为 的中点.(1)求证： 平面 ；(2)若 底面 ， ， ， ，求三棱椎 的体积.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 连接 交 于点 ，连接 ，由底面 为菱形，可知点 为 的中点，根据三角形中位线定理可得 ，由线面平行的判定定理可得 平面 ；(2)根据相似三角形的性质以及勾股定理可求出 ，点 到底面 的
13、距离为 ，求出底面积，利用棱锥的体积公式可求得三棱椎 的体积.试题解析：(1)证明：如图，连接 交 于点 ，连接 ，由底面 为菱形，可知点 为 的中点，又 为 中点， 为 的中位线， .又 平面 ， 平面 ， 平面 .(2)解： 底面 ，底面 为菱形， ， ，又易得 ， ， ，得 ，点 到底面 的距离为 ， .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积公式，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面
14、平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， . ，椭圆离心率 .(1)求椭圆 的方程；(2)直线过椭圆的右焦点 ，交椭圆于 两点，若 的面积为 ，求直线的方程.【答案】(1) (2) 或【解析】试题分析：(1)由 可得 ，由 可求得 ，利用 可得 ，从而可得椭圆 的方程； (2) 设直线的方程为 ，代入 化简得 ，根据韦达定理、弦长公式结合三角形面积公式可得 ，解得 ，从而可求出直线的方程.试题解析：(1) ，椭圆方程为 .(2) ，设直线的方程为 ，代入 化简得 ，设 ， ，则 ， ， ，解得 .故
15、直线的方程为 或 .21. 已知函数 .(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；(2)讨论 的单调性；(3)若函数 在 上无零点，求的取值范围.【答案】(1) (2) 当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减（3）【解析】试题分析：(1) 求得 ,求出 的值可得切点坐标，求出 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方程；(2)分 时， 时两种情况讨论，求出 ，分别令求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的范围，可得函数 的减区间；（3） 时，时， 时，分别求出 ，令 即可得到的取值范围.试题解析：(1) 时， ， ，故切点为 .又 ， ，故切线方程为 ，即 .(2) ，当 时， ，此时 在 上单调递减；当 时，令 得 ， (舍)，当 时， ；当 时， ，即 在 上单调递增，在 上单调递减.
