1、化学元素对变形钢棒性能的影响摘要本文针对化学元素对钢筋性能影响的问题进行分析，建立了各元素和钢筋性能之间关系的数学模型以及各影响元素之间的关联度模型，并探究了在保证钢筋性能的情况下，增加 Cr 含量，降低昂贵微量元素含量的可行型方案。针对问题一，由于钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率受多种微量元素的共同影响，结合已知的实验数据，采用灰度系统理论中的优势分析的方法，应用 matlab 软件算出影响元素与性能指标的关联矩阵，通过关联度大小，判断影响性能的主次要因素。同理也求出了各影响之间的关联度。针对问题二，探究钢筋性能指标和各化学元素之间的影响规律，探究各化学元素和钢性能指标这两组多重相关
2、变量间的相互依赖关系，本文运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模型。针对问题三，在问题二建立的模型的基础上，以保证钢性能的允许范围，适当增加钢中 Cr 的含量为约束条件，以降低其他微量元素含量为目标函数建立多目标优化模型，通过 matlab 编程，最终优化出，。关键词：灰度理论 关联度 优势分析 偏最小二乘回归 多目标规划一、 问题重述主要用于钢筋混凝土构件的骨架的热轧肋条的性能如机械强度，弯曲和变形性能等受钢中化学元素成分的影响。多数变形钢棒采用微合金化方法，即通过适当调整钢中微量元素的含量来保证结构性能和控制生产成本。某公司使用富含 Cr 的矿石炼钢过程中，为
3、了控制成本和保证钢结构性能的情况下，是否可以通过增加 Cr含量，减少合金材料量?要求建立数学模型讨论下列问题：1、通过已经给定的实验数据，运用数据模型，分析影响变形钢筋性能如屈服强度，断裂后的拉伸强度和断裂伸长率的主要因素、次要因素。并通过关联度分析，探究影响元素之间的相关性。2、本问题考虑到多个化学元素对多个钢筋性能指标的交互影响，建立钢筋各性能指标与 C， Mn，Cr，V ，N 等化学元素之间的影响规律的模型，并进行数学描述。3、当公司使用富含 Cr 的矿石时，液态铁中的 Cr 含量将显着增加。因此当 Cr含量增加时，为了控制成本和保证性能，我们可以减少那些合金的材料量？并研究在变形钢筋性
4、能允许范围内，通过增加 Cr 含量，降低 Mn，V 等元素的含量，并提出 Mn，V 等元素含量的改进范围，设计组成优化方案。二、 问题分析针对问题一，由于钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率受多种微量元素的共同影响，单独考虑某一种元素对钢筋性能的影响，建模结果与实际情况将有很大偏差，因此我们需要建立多对多的关联模型来描述钢筋各性能指标与各影响元素的交互关系，结合已知的实验数据，采用灰度系统理论中的优势分析的方法，应用 matlab 软件算出影响元素与性能指标的关联矩阵，通过关联度大小，判断影响性能的主次要因素。同理可以建立各影响之间的关联针对问题二，探究钢筋性能指标和各化学元素之间的影响规
5、律，需建立回归方程模型。简单的一元线性回归不能解决两组多重相关变量间的关系，为探究各化学元素和钢性能指标这两组多重相关变量间的相互依赖关系，本文运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模型。针对问题三，在问题二建立的模型的基础上，为了充分利用富 Cr 矿石，通过适当增加钢中 Cr 的含量、以降低其他昂贵微量元素含量来降低生产成本。我们以保证钢性能的允许范围，适当增加钢中 Cr 的含量为约束条件，以降低其他微量元素含量为目标函数建立多目标优化模型，通过 matlab 编程，最终得出优化的方案。三、 模型假设1、假设已知数据样本是在除化学元素含量不同外，其他工况条件相同；
6、2、只考虑数据中的化学元素对钢筋的三种性能指标的影响；3、对钢筋的性能只考虑这三种指标；4、不考虑几种化学元素综合作用对性能的关联度；5、四、 符号说明Symbol MeaningmyPerformance index of steel bar(yield strength, tensile strength and percentage elongation after fracture)lxPercentage of chemical element contentRCorrelation matrixijrThe correlation of subfactors to mother f
7、actorsjxiyrtLinear combination of l,121Linear combination of myy，0FObservation Data Matrix of Reinforcing Steel of times nstandardization EObservation Data Matrix of chemical element of times standardization1Observation Data Residual Matrix of chemical element of times standardizationrwFeature vecto
8、rkyStandardized Variables for Performance of ReinforcementxStandardized Variables for Performance of chemical element2hQThe step contribution margin extract significant component h nt五、 模型建立与求解5.1 建立关联度模型5.1.1 建立钢筋性能指标与各化学元素之间的关联度模型分析影响性能的主、次要因素，我们需要建立多对多的关联模型来描述钢筋各性能指标与各影响元素的交互关系。当钢筋性能指标不止一个，被影响的因素
9、也不止一个时，则需进行灰度理论中的优势分析方法。1、定义钢筋的 m 个性能指标称为母因素，记为：myy,121，其中 ，y1 表示 yield strength,y2 表示 tensile strength ,y3 表示 percentage elongation 3after fracture 。2、定义有 个影响元素成为子因素，记为：l lxx,121其中 l=11， 依次表示。lxx,121显然，每一个母因素数列对 l 个子因素数列有 l 个关联度，3、定义 表示子因素数列 对母因素数列 的关联度，可构造关联（度）矩阵 ：ijrj iymljrR)(根据矩阵 R 的各个元素的大小，可分析
10、判断出哪些因素起主要影响，哪些因素起次要影响。起主要影响的因素称之为优势因素。再进一步，当某一列元素大于其它列元素时， 称此列所对应的子因素为优势子因素；若某一行元素均大于其它行元素时，称此行所对应的母元素为优势母元素。例如，矩阵 R 的第 3 列元素大于其它各列元素 :ijir3;,21j将已知的数据中样本 1 的数据载入 Matlab，通过 Matlab 程序（见附件 1）算出11 种化学元素对钢筋三种性能指标的关联矩阵： 1037.2.0789.42.095.21.- 65-631-78-3 5 -4129.0.-02.-.-051. 6837713R为了更明了的看出各因素与钢筋性能指标
11、的关联性，我们做出各因素与钢筋性能指标的关联性表格如表.1表 1.各因素与钢筋性能指标的关联性表Correlation C Mn S P Si V Cr Ni Cu Mo AltTensile strength0.1107 0.0175 -0.0272 -0.0131 0.0698 -0.1105 0.0586 -0.0659 -0.1006 0.0023 0.0571yield strength 0.0751 -0.0023 -0.0052 -0.0141 0.1296 0.0739 -0.0978 -0.0631 -0.0952 -0.0137 0.0622Percentage elong
12、ation after fracture0.0329 -0.0711 -0.0762 0.0849 -0.1002 -0.0921 0.0959 0.0042 0.0789 0.0332 0.1037根据各因素与钢筋性能指标的关联性数据，有 matlab 做出相关性示意图如图1：图 1.各因素与钢筋性能指标的关联性根据图表不难得出：（1）从矩阵 第 1 行可以得出 ，即影响钢筋3R 8159161rrr拉伸强度的主要因素是 Si 的含量，其次是 C 的含量， Cr、Cu、V 的含量次之。从矩阵 第 2 行可以得出 ，即影响钢筋屈服强度的主13 621925102r要因素是 Si 的含量，其次是
13、 Cr 的含量，Cu 、C、V 的含量次之。从矩阵 第 3 行1R可以得出 ，即影响钢筋断裂后的伸长率的主要因素 43673593 rrr是 Al 的含量，其次是 Si 的含量，Cr、V、P 的含量次之,可见不同的元素对钢筋各性能的影响作用不同，因此针对性能需求的钢，添加的元素的含量也不相同。（2）由图 1 可以发现 S、 P、V、Ni、Cu 的含量与钢筋的拉伸强度成负相关；Mn、S 、P、 Cr、Ni、Cu 、Mo、Mn 的含量与钢筋的屈服强度成负相关;Si、 Mn、S、 V 的含量与断裂后的伸长率成负相关。（3）由图 1 也不难得出，钢筋的拉伸强度和屈服强度具有很大的相关性。5.1.2 建
14、立各化学元素之间的关联度模型根据 5.1.1 建立的钢筋性能指标与各化学元素之间的关联度模型原理，将各化学元素含量定义为母因素，建立各化学元素之间的关联度模型。这里我们求对影响各性能指标的五种元素进行相关性分析，结合 5.1.1 中算出的影响各性能指标的主次要元素，应用 matlab 程序算出影响各性能指标的五种元素的相关性,并分析各元素之间的相关性。表 2 .各个元素对 Tensile strength 的影响Si C Cr Cu VSi 1 0.0747 -0.3583 -0.3283 0.2052C 0.0787 1 0.0630 0.0332 0.1215Cr -0.3583 0.06
15、30 1 0.5026 -0.0929Cu -0.3283 0.0332 0.5026 1 -0.1466V 0.2052 0.1215 -0.0929 -0.1466 1由表 2 可以得出，在影响拉伸强度的元素中 Cr 与 Si、Cu 与 Si、V 和 Cr、V和 Cu 成负相关，Cr 和 Cu 之间的相关性最大，Cu 和 C 的相关性最小。表 3.各个元素对 yield strength 的影响Si Cr Cu C VSi 1 -0.3583 -0.3283 0.0747 0.2052Cr -0.3583 1 0.5026 0.0630 -0.0929Cu -0.3283 0.5026 1
16、 0.0332 -0.1466C 0.0787 0.0630 0.0332 1 0.1215V 0.2052 -0.0929 -0.1466 0.1215 1由表 3 可以得出，在影响屈服强度的元素中 Cr 与 Si、Cu 与 Si、V 和 Cu、Cr和 V 成负相关，Cr 和 Cu 之间的相关性最大，Cu 和 C 的相关性最小。表 4.各个元素对 Percentage elongation after fractureh 的影响Alt Si Cr V PAlt 1 -0.0160 0.0335 -0.0123 0.0205Si -0.0160 1 -0.3583 0.2052 -0.1672
17、Cr 0.0335 -0.3583 1 -0.0929 0.2379V -0.0123 0.2052 -0.0929 1 0.0534P 0.0205 -0.1672 0.2379 0.0534 1由表可以得出，在影响钢筋断裂后的伸长率的元素中 Al 和 V、Al 和 Si、Si 和Cr、Si 和 P、V 和 Cr 成负相关，Cr 和 Si 之间的相关性最大，V 和 Al 的相关性最小。5.2 问题二建立影响规律模型运用偏最小二乘回归理论，建立了各化学元素与各性能指标之间的回归方程模型。5.2.1 模型准备考虑 m 个变量（性能指标） 与 个自变量（影响因素）myy,121， l建模问题。偏最
18、小二乘回归的基本做法是首先在自变量集中提出第一lxx,121成分 （ 是 的线性组合），且尽可能多地提取原自变量集中的变异t lx,12信息）；同时在因变量集也中提取第一成分 ，并要求 和 相关程度达到最大。11t然后建立因变量 与 的回归，如果回归方程以达到满意的精度，myy,121， 1t则算法终止。否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。若最终对自变量集提取 r 个成分 ，变最小二乘回归将通过建立 和rt,21 myy,121，的回归式，然后再表示为 与原自变量的回归方程式。rt,21 myy,121，为方便起见，不妨假定 m 个变量（性能指标） 与 个自变量my,12， l
19、（影响因素） 均为标准化变量。因变量组合自变量组的 n 次标准化观lxx,121测数据矩阵分别为：，nmnyF 110 nlnlxE 1105.2.2 偏最小二乘法建模过程（1）求矩阵 最达特征值所对应的的特征向量 ，求得成分 ,00ET 1wXwtT1计算成分得分向量 ，和残差矩阵 ，其中 。1wt TtE101210/ET（2）求矩阵 最达特征值所对应的的特征向量 ，求得成分 ,计01FT 2tT2算成分得分向量 ，和残差矩阵 ，其中 。21wEt TtE212212/tET（3）（r）至第 r 步，求矩阵 最达特征值所对应的的特征向量 ，101rTrFrw求得成分 ,计算成分得分向量 。
20、XtTrrwEtr如果根据交叉有效性，确定共抽取 r 个成分 可以得到一个满意的模型，rt,21则求 在 上的普通最小二乘回归方程为：0Frtt,21 rTrTFttF10把 ，代入 ，即得 m 个因变量的),2(1rkxwtlk rtY1偏二乘回归方程式： ),2(,1ljxayljjj 这里的 满足 ， 。hhEt0 hhjTjwI1)(首先计算样本 1 的钢筋拉伸强度与各元素之间的影响规律，由问题一的中的求解结果，影响钢筋拉伸强度的元素，依次是 Si、C 、Cr，由于其他元素对钢筋拉伸强度相对较小，我们在此不在计算。列出这五种元素的相关系数矩阵。利用 Matlab 程序（程序见附件 2）
21、计算，提取两个成分 即可，交叉有21,t效性 。 的取值，成分 的得分 。2Qhw与 hthtIndependent variable w1 w2 w1* w2*x1 0.3699 -0.9281 0.3699 -0.9530x2 0.7181 0.2048 0.7181 0.1443x3 -0.5899 -0.3291 -0.5891 -0.2795标准化变量 关于成分 的回归模型如下ky1t 3,21,21ktryk由于成分 可以写成原变量的标准化变量 的函数，即有htjx321wthhh由此可得由成分 所建立的偏最小二乘回归模型为：1t 3231221121 13 )()()( () x
22、rxrxwry kkkkkk有关 的计算结果见表),(321hhrr表 回归系数k 1 2 3r1 0.1544 0.1357 -0.0844r2 -0.0525 -0.0243 -0.0693所以，有 3211 108.657.0. xxy2 9633213 . xxy将标准化变量 分别还原成原始变量 ，即可得所求的回归方程。kx, ky,5.2.3 建模求解（1）由问题一中可以得到，对钢筋拉伸强度影响较大的元素为 Si 、C、Cr。考虑 Si 、C、Cr 对钢筋三种性能指标的影响，运用上述模型分别求解出 Si 、C、 Cr 对钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率的影响的回归方程： 32
23、11 96.153.7925.6.27 xxxy 04680435 321.4. xxy(2) 由问题一中可以得到，对钢筋屈服强度影响较大的元素为 Si、Cr、Cu。考虑 Si、Cr、Cu 对钢筋三种性能指标的影响，运用上述模型分别求解出 Si、Cr、Cu 对钢筋的拉伸强度，屈服强度和断裂后的伸长率的影响的回归方程： 3211 7.508.3749.53.6 xxxy 2 41608204 3213 xxy（3）由问题一中可以得到，对钢筋断裂后的伸长率影响较大的元素为 Al、Si 、Cr。考虑 Al、Si 、Cr 对钢筋三种性能指标的影响，运用上述模型分别求解出Al、Si 、Cr 对钢筋的拉伸
24、强度，屈服强度和断裂后的伸长率的影响的回归方程： 3211 46.038.5297.065.64 xxxy 2 1956487 3213 .3. xxy5.3 问题三：求改进范围的优化方案The third problem: to improve the scope of the optimization program在保证钢筋性能允许范围内，为了减少生产成本，增加 Cr 含量，改进其他元素的含量。采用多目标规划的思想，以其他元素含量降低为目标函数，以钢筋性能允许范围、Cr 的含量增加为约束条件，建立优化模型。In order to reduce the production cost, i
25、ncrease the content of Cr and improve the content of other elements in the range of ensuring the performance of steel bars. Based on the idea of multiobjective programming, the optimization model was established by taking the reduction of other elements as the objective function and the allowable ra
26、nge of steel performance and the increase of Cr content as the constraint condition.5.3.1 模型准备Model preparation不同的生产需求以及微量元素的供求状况，在保证钢筋结构性能允许范围内，为减少生产成本，考虑调整的微量元素也不相同。根据具体需要，选择需要调整的元素，运用问题二中的偏最小二乘法求出各元素对各钢筋性能指标的回归方程。Different production needs and supply and demand of trace elements in the structure
27、to ensure that the performance of steel within the framework, in order to reduce production costs, consider adjusting the trace elements are not the same. According to the specific needs, select the need to adjust the elements, the use of the second problem in the partial least square method to obta
28、in the various elements of the steel performance index regression equation. 31211xDCxBAy22 32313xxy5.3.2 模型建立Model establishment如果同时考虑多目标优化，让多个钢筋性能指标同时达到最优，那么化学元素的调整范围将会很小。因此我们采用多目标层次优化的方法。考虑到问题的复杂性，现将问题简化，我们以钢筋性能的允许范围为目标函数，以一种元素含量增加、另外的元素含量减少为约束条件，优化出满足需求的多种元素含量的方案。If multi-objective optimization i
29、s taken into consideration and multiple steel performance indexes are optimized at the same time, the adjustment range of chemical elements will be small. Therefore, we adopt the multi-objective optimization method. Taking into account the complexity of the problem, the problem is simplified, we all
30、ow the scope of the performance of steel as the objective function, with an element content increased, the other elements to reduce the content of the constraints to optimize the content to meet the needs of a variety of elements of the program .假如先以 为目标函数：1yIf the first to target function:131211 ma
31、xminyDxCBAy约束条件：Restrictions: 332211ax0int.s通过 matlab 的得出满足需求的 first 方案，这是第一层优化。在第一层优化结果的基础上，以 y2 为目标函数，约束条件不变，在 first 中筛选出满足要求的 then 方案,这是第二层优化。第三层优化在第二层优化结果的基础上，以 y3 为目标函数，约束条件不变，得出最终的 finally 优化方案。当然，优化层的目标函数的顺序可以根据实际需要改变。具体流程如图：Through matlab to meet the needs of the first program, which is the
32、first layer of optimization. On the basis of the first layer optimization results, y2 as the objective function, the constraint conditions remain unchanged, in the first screening to meet the requirements of the then program, which is the second layer of optimization. Third layer optimization On the
33、 basis of the second layer optimization results, with y3 as the objective function, the constraint conditions are not changed, and the final finally optimization scheme is obtained. Of course, the order of the objective function of the optimization layer can be changed according to the actual needs.
34、 The specific process is as follows:5.3.3 模型求解Model solving本题考虑 Cr、Mn、V 三个元素对刚筋性能的影响，利用问题二中的偏最小二成法拟合出 Cr、Mn、V 对钢筋拉伸强度、屈服强度、断后伸长量影响规律的回归方程。The influence of Cr, Mn and V on the properties of steel bar was studied. The influence of Cr, Mn and V on the tensile strength, yield strength and elongation aft
35、er breaking was studied by partial least squares fitting method. Of the regression equation.3211 98.57980.65740.865.3 xxxy 2 16424903213 xxxy第一层：目标函数First layer: objective function 809.57980.65740.865.650 3211 xxxy约束条件Restrictions3.10254t.xs利用 matlab 计算出满足要求的 first 方案。Using matlab to calculate the f
36、irst program to meet the requirements.第二层：目标函数The second layer: objective function 80164.218.5082.437.904 32 xxxy利用 matlab 计算出满足要求的 then 方案。Using matlab to calculate the meet the requirements of the then program第三层：目标函数The third layer: objective function 3265.174.60159.2.923 xxxy利用 matlab 据算出最终的 fin
37、ally 方案 ，绘制出符合要求的方案示意图Using matlab to calculate the final final method to draw a program to meet the requirements of the diagram由优化分析结果可以看出，在满足钢筋需求性能的范围内，相对于传统的钢筋微量元素构成，可以明显的看到 Mn、V 元素有着显著地下降，但对于 Cr 元素而言，也有一定的提升。对于富含 Cr 元素的铁矿石，Mn、V 元素的含量微少，借助表中的数据，对于微量元素可以添加很少即可满足材料性能的所需，对于 Cr 元素不需采用复杂的手段即可达到表中所设定的要
38、求，可以很好地体现为满足钢筋性能的需求，对于富含 Cr 元素的矿石，降低其他微量元素的含量。From the results of optimization analysis, it can be seen that Mn and V elements have a significant decrease compared with the traditional trace elements in the range of satisfying the requirement of steel reinforcement, but for Cr element, there is a de
39、finite Promotion. For Cr-rich iron ore, Mn, V element content is small, with the help of the data in the table, for trace elements can be added to meet the material performance requirements, for the Cr element without the use of complex means Can meet the requirements set in the table, can be well r
40、eflected in the performance to meet the needs of steel for Cr-rich ore, reducing the content of other trace elements.通过计算出满足要求的 finally 方案。finally 方案部分结果如下表（其他结果见附件）。By calculating the finally meet the requirements of the program. Finally part of the program results in the following table (other res
41、ults in the annex).Mn (percentage) V (percentage) Cr (percentage)0.005 0.025 0.20.025 0.023 0.1950.02 0.023 0.1950.015 0.023 0.1950.01 0.022 0.190.005 0.022 0.190.03 0.02 0.1850.025 0.02 0.1850.02 0.02 0.1850.02 0.019 0.18通过模型求解，保证拉伸强度在 650800 ，屈服强度在 490800 ，折MpaMpa后伸长量 29%33%的范围内，筛选改进方案与原数据中 Cr、Mn
42、、V 的含量作比较。The results show that the tensile strength is in the range of 650-800, the yield strength is 490-800 and the elongation is 29% -33%. The comparison between the modified scheme and the original data shows that the content of Cr, Mn and V .before after Increase or decrease proportionCr 0.021
43、7 0.181 0.04836%Mn 1.33 0.275 1.05579%V 0.0298 0.0176 0.0041 18.9%用绘图工具做出三种元素改进前后的对比图:Drawing tools to make three elements before and after the improvement of the comparison chart:在保证钢筋性能允许范围内，我们给出的方案将 Cr 的含量增加 36%，可以将Mn 的含量降低 79%，V 的含量降低 18.9%。In the range of ensuring the performance of the steel,
44、we give the program will increase the Cr content of 36%, can reduce the Mn content of 79%, V content decreased by 18.9%.六、 模型改进评价与改进Evaluation and Improvement of Model Improvement6.1 优点advantage1、 问题一中，针对我们运用了灰度系统理论中的关联度分析方法，通过matlab 建立了各元素与钢筋性能之间的相关度模型，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物关联的特征与程度。
45、可以推广到工程控制、经济管理、未来学研究、生态系 统及复杂多变的农业系统的分析、建模、预测、决策和控制上。In Problem 1, we use the correlation analysis method in the gray system theory, and establish the correlation model between the elements and the reinforcement performance by matlab, that is, according to the degree of similarity or dissimilarity b
46、etween the development trend of factors The degree of correlation between factors, which reveals the characteristics and degree of things related. Can be extended to engineering control, economic management, futurology, ecosystems and complex agricultural systems analysis, modeling, prediction, deci
47、sion-making and control.2 问题二中，我们运用了偏最小二乘法，得出了各元素与钢筋性能之间的回归方程，可以推广到解决两组多重相关变量的交互影响的问题上。In the second problem, we use the partial least squares method to get the regression equation between the elements and the steel performance, which can be generalized to solve the problem of interaction between tw
48、o groups of multiple correlation variables.6.1 缺点Shortcomings本文没有探究影响钢筋性能较小的元素对钢筋性能的影响规律，不能很好的探究极微量元素对钢筋性能的定量影响。This article does not explore the influence of the performance of the steel bar on the performance of the smaller elements of the law can not be a very good exploration of trace elements o
49、n the quantitative impact of steel performance.6.3 模型改进Model Improvement本文抛开各化学元素对钢筋性能的本质影响，只根据已知数据，从数学模型的角度分析探究了各化学元素对钢筋性能的影响。可以结合物理化学知识，更深入的探究其影响。In this paper, the influence of chemical elements on the properties of steel bars is discussed. The influence of chemical elements on the properties of steel bars is studied from the point of vie
