1、陕 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛1/6一选择题（8 小题，每小题 4 分，共 32 分）2 50 14100sind2(1)A2sinlimllim6(A) 解 ： 由 知 ， 当 且 仅 当 时 ， 此 极 限 为 非 零 的 有 限 实 数 ， 故 选 .x nxxt n(2)B.CD)(),B()B).解 ： ， 中 在 处 不 连 续 ， 中 只 有 符 合， 故 选Fxf1212(3). ().B) 解 ： 由 解 的 形 式 及 方 程 的 右 端 项 ， 知 对 应 齐 次 微 分 方 程 的 特 征 方 程 有 二 重 根 ， ， 其 通 解 为 又
2、方程 有 特 解 ， 于 是 得 ， 故 选x xyeraCebc20(4)C. ()lim() 解 ： 由 的 连 续 性 得 ， 从 而 ， 选xefxf.2221(5)D1()(1) 解 ： 对 ， 其 一 般 项 满 足 ， 此 级 数 绝 对 收 敛 ， 故 选 .nnaa21(6)A,0cosin1l(cos)ln(i)043()解 ： 由 可 知 ， 故 ， 因 此 ， 选 .xxxI222(7)C. 31560()()48().xyxy解 ： 积 分 得 ， 即 ， 故 为 双 曲 柱 面 ， 选(8)D,解 ： 由 隐 函 数 求 偏 导 数 的 公 式 , Fyzxzxy陕
3、 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛2/61(D).得 ， 选 yzx二填空题（6 小题，每小题 4 分，共 24 分）22121112()(9)1.1()() sinlsinl()sinl()2()lmx xxxffx xf 解 ：解 ： .3 324222332210 . 6ln, (1)6(1).解 ： ，yyzzxxxyyyzxxx 10 10()6()d 2()012d6解 ： 设 ， 即 有 ， 两 边 从 到 积 分 得 ，fxafxa. .2(1)211 1 limli00()解 ： 由 题 设 知 级 数 的 收 敛 半 径 ， 因 此 ， 故 nnaRa
4、 2 222(13)sin dsinsind0di0解 ： 原 方 程 是 全 微 分 方 程 ， 可 化 为 ， 即 ， 因 此 所 求 的 通 解 为 ， 为 任 意 常 数 .注 ： 除 凑 微 分 法 外 ， 也 可 用 线 积 分 、 偏 积 分 等 方 法 求 解 。xyCxyxyC陕 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛3/6121222101480. d0.:(,)(,)d8d8()()() 解 ： 积 分 曲 线 分 别 关 于 轴 、 轴 、 直 线 及 为 轴 对 称 ， 因 此 又 关 于 与 为 轮 换 对 称 ， 故 取 积 分 路 径 的 第 一
5、 象 限 中 的 折 线 LLLLxyyxyxsABCxysxys163.三解答题 220022 2022(15)sincosincodd11issicnosincod1令证 及 解 ： xxttx txxeeI xeeeI 0024d1sic6i3416 分 x .1分 22(16) 10.01. 610解 :方 程 两 边 对 求 导 ， 整 理 得 (*) 令 得 两 个 驻 点 再 在 (*)式 两 边 对 求 导 ， 得 在 驻 点 处 ， 得 分 当 时 ， ； 当 时 ，xyxy yyxx 0(1),.1 故 是 极 大 值 点 ， 极 大 值 为 是 极 小 值 点 ， 极 小
6、 值 为 分yO(1,)C2,B,0Axy陕 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛4/62222(17): 1,.5490 4()3d3d2(3解 :椭 球 积 分 区 域 与 垂 直 于 轴 的 平 面 的 交 集 在 面 上 的 投 影 为 分 固 定 ， 用 “先 二 后 一 ”法 计 算 三 重 积 分 ， 得 zz tDzxOyyxDtzttztFzVxy2532 )168756()96(1)0()0() 分 ， 令 得 ，t ttzttFtttFttF 01.56(,)(,)(,).1 当 时 ， ； 当 时 ， 为 曲 线 凹 区 间 ， 为 凸 区 间 ， 是
7、 拐 点 分 41401421!18)limli0()()(,)4()(),)!,(!解 ： ， 故 级 数 的 收 敛 半 径 ， 收 敛 域 为 分设 逐 次 求 导 得 , nnnnuxxRsxxs 43144(4)10()1234()!)8!cosin分 解 方 程 ， 得 通 解 将 初 nnxx xssxsCeCx123412340,()(0)1, ,0.()()cos().)!始 条 件 分 别 代 入 上 式 ， 得 到关 于 与 的 方 程 组 ， 求 得 于 是 有 分nxsxex2300230(19) ,.()解 ： 设 弧 段 上 的 切 点 为 由 得 切 线 方 程
8、 yyyx陕 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛5/62323001131300(,)2.5 分 别 令 和 ， 得 到 切 线 在 轴 和 轴 上 的 截 距， 故 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 图 形 的 面 积 为 而 因 此 当 时 ，即 切 点 为 时 ， 取 得 最 大 值 分 这 时 所 求 图 形 的 面 积 最 小 ， 最 小 面 积 为xyyxySS8310845202d96105 分xx(20)(,)(,),(,)00., 3(,)证 ： 令 ， 由 题 设 知 在 闭 区 域 上 连 续 . 故 在 上 取 得 最 大 值 和 最 小 值若 ，
9、 则 为 常 值 函 数 ， 结 论 显 然 成 立 .分 若 ， 因 为 在 的 边 界 上 ， 则 与 之 一 必 不 为 零 ，最 大 值 与 最 小 值 之 一 必 在 的 内 部 点 hxyfgxyhxyDDMmMmxyP0000(,)(,)(,).7, ()()(取 到 ， 于 是 为 的 极 大 值 点 或 极 小 值 点 . 分又 的 两 个 偏 导 数 存 在 ， 因 此 在 处 ， ， 即 有 ， 也 即 xyPhxxyhhfPgradgrad0)10分(21)0()()d()d1.()()(解 ： 由 题 设 和 高 斯 公 式 有 其 中 为 所 围 的 有 界 区 域
10、 ,的 取 值 与 的 法 线 方 向 一 致由 的 任 意 性 ， 也 即 的 任 意 性 可 知 三 重 积 分 的 被 积 函 数 恒 为 零 ， 即 有 SxfyzfxzbfxyyVSSfxyfybxA,).523,01201209()() 分于 是 ， nanfab.分陕 西 省 第 八 次 大 学 生 高 等 数 学 竞 赛6/61211(2)(0,)()0,(0,1)3lim,()8)解 :由 知 ， 递 归 可 知 分 又 由 知 单 调 减 且 有 下 界 ， 故 收 敛 .设 则 有 ， 得 分 因 此 交 错 级 数 满 足 nnnnxxxAAx10莱 布 尼 兹 定 理
11、 条 件 ， 为 收 敛 分22(23)()d1()d03(,)(,)1()yyL Ly yfxexfexPxyfxeQxfxe AA解 ： 由 题 意 及 平 面 图 形 面 积 的 曲 线 积 分 表 示 ， 可 知 即 有 分 函 数 和在 半 平 面 220,01()1()()4LyyPdQfxefxexy CfxA内 具 有 连 续 的 偏 导 数 ， 对 于 其 内 的 任 意 正 向 分 段 光 滑 闭 曲 线 恒 有 ， 故 由 格 林 定 理 得 ， 即 ,整 理 得 解 得 22270, 01()44().10x Cf xxf分由 在 内 的 最 大 值 为 可 知 ， 故 因 此 ， 分 ()fx注 ： 也 可 对 原 线 积 分 用 格 林 公 式 ， 将 原 式 化 为 二 重 积 分 的 关 系 求
