1、2016-2017 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为（ ）A B1 C2 D32在极坐标系中，点（1， ）与点（1 ， ）的距离为（ ）A1 B C D3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图的结果为（ ）A6 B7 C8 D94已知向量 ， 满足 ，（ ） =2，则 =（ ）A B C2 D25已知直线 l 经过双曲线 的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l 的方程可以是（ ）Ay= By= Cy=2x Dy=2x+
2、6设 x，y 满足 ，则（x+1 ） 2+y2 的最小值为（ ）A1 B C5 D97在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（ ）A14 B16 C18 D208如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 AD，B 1C1 上的动点，设AE=x， B1F=y，若棱 DD1 与平面 BEF 有公共点，则 x+y 的取值范围是（ ）A0 ，1 B ， C1，2 D ，2二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）
3、9已知复数 z 满足（1+i） z=2，则 z= 10 6 的展开式中常数项是 （用数字作答）11若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 12已知圆 C：x 22x+y2=0，则圆心坐标为 ；若直线 l 过点（ 1，0）且与圆 C 相切，则直线 l 的方程为 13已知函数 y=2sin（x+）（ 0，| ）若 f（ 0）=1，则 = ；若x R，使 f（x +2） f（x ）=4 成立，则 的最小值是 14已知函数 f（x ）=e |x|+cosx，给出下列命题：f（ x）的最大值为 2；f（ x）在（10，10 ）内的零点之和为 0；f（ x）的任何一个极大
4、值都大于 1其中，所有正确命题的序号是 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15（13 分）在ABC 中， c=2a，B=120 ，且ABC 面积为 （1）求 b 的值；（2）求 tanA 的值16（13 分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“ ”表示每周 “水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期 95% 98% 92% 88%第二个周期 94% 94% 83% 80%第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十
5、二周“水站诚信度”的平均数 ；（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数据中“水站诚信度 ”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由17（14 分）如图 1，在梯形 ABCD 中，ABDC，ABC=90，AB=2DC=2BC=4，O 是边 AB 的中点，将三角形 AOD 饶边 OD 所在直线旋转到 A，OD 位置，使得A，OB=120 ，如图 2，设
6、m 为平面 A1DC 与平面 A1OB 的交线（1）判断直线 DC 与直线 m 的位置关系并证明；（2）若在直线 m 上的点 G 满足 OGA 1D，求出 A1G 的长；（3）求直线 A1O 与平面 A1BD 所成角的正弦值18（13 分）已知 A（0 ，2），B （3，1）是椭圆 G： 上的两点（1）求椭圆 G 的离心率；（2）已知直线 l 过点 B，且与椭圆 G 交于另一点 C（不同于点 A），若以 BC 为直线的圆经过点 A，求直线 l 的方程19（14 分）已知函数 f（x ）=lnx （1）若曲线 y=f（x）存在斜率为 1 的切线，求实数 a 的取值范围；（2）求 f（x）的单调区
7、间；（3）设函数 g（x）= ，求证：当 1a 0 时，g（x）在（1，+）上存在极小值20（13 分）对于无穷数列a n，b n，若 bi=maxa1，a 2，a imina1，a 2，a k（k=1，2，3，），则称b n是a n的“收缩数列”，其中 maxa1，a 2， ，a k，mina1，a 2， ，a k分别表示 a1，a 2，a k 中的最大数和最小数已知a n为无穷数列，其前 n 项和为 Sn，数列b n是a n的“收缩数列”（1）若 an=2n+1，求b n的前 n 项和；（2）证明：b n的“ 收缩数列” 仍是b n；（3）若 S1+S2+Sn= （n=1，2，3，），求所
8、有满足该条件的a n2016-2017 学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为（ ）A B1 C2 D3【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程求出 p 即可得到结果【解答】解：抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为： p=1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题2在极坐标系中，点（1， ）与点（1 ， ）的距离为（ ）A1 B C D【考点】极坐标刻画点的位置【分析】极坐标化为直角坐标，即可得出结论【解答】解：点（1， ）与点（1， ）的距
9、离，即点（ ， ）与点（ ， ）的距离为 ，故选 B【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，比较基础3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图的结果为（ ）A6 B7 C8 D9【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出 a，b 的值，可得当 a=b=8 时，不满足条件 ab，输出 a 的值为 8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件 ab，不满足条件 ab ，b=24 16=8，满足条件 ab，满足条件 ab ，a=16 8=8，不满足条件 ab，输出 a 的值为 8故选：C【点评
10、】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题4已知向量 ， 满足 ，（ ） =2，则 =（ ）A B C2 D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出 的值【解答】解：向量 ， 满足 +2 = ，即 + + = ， + = ，又（ ） =2， =2， =2故选：C【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题5已知直线 l 经过双曲线 的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线 l 的方程可以是（ ）Ay= By= Cy=2x Dy=2x+【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，以及
11、双曲线的焦点坐标，然后求解即可【解答】解：直线 l 经过双曲线 的焦点（ ，0），渐近线方程为：y= ，选项 C、D 错误；焦点坐标代入选项 A 正确，选项 B 错误故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6设 x，y 满足 ，则（x+1 ） 2+y2 的最小值为（ ）A1 B C5 D9【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1） 2+y2 的几何意义是区域内的点到定点 A（1，0）的距离的平方，由图象知 A 到直线 x+y2=0 的距离最小，此时距离 d= = ，则距离的平
12、方 d2=（ ） 2= ，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键7在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（ ）A14 B16 C18 D20【考点】排列、组合的实际应用【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论【解答】解：红色用 1 次，有 6 种方法，红色用 2 次，有 2+3+4=9 种方法，红色用 3 次，有3 种方法，共 18 种，故选 C【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础8如图，
13、已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别是棱 AD，B 1C1 上的动点，设AE=x， B1F=y，若棱 DD1 与平面 BEF 有公共点，则 x+y 的取值范围是（ ）A0 ，1 B ， C1，2 D ，2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意，若 x=y=1，则棱 DD1 与平面 BEF 交于点 D，若 x=1，y=0 ，则棱 DD1 与平面BEF 交于线段 DD1，即可得出结论【解答】解：由题意，若 x=y=1，则棱 DD1 与平面 BEF 交于点 D，符合题意；若 x=1，y=0 ，则棱 DD1 与平面 BEF 交于线段 DD1，符合题意故选 C【
14、点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9已知复数 z 满足（1+i） z=2，则 z= 1 i 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z=2，得 ，故答案为：1i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10（x 2+ ） 6 的展开式中常数项是 15 （用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】本题可通过通项公式 Tr+1=Cnranrbr 来确定常数项，从而根据常数相中 x 的指数幂为 0即可确定 C6r（x 2） 6r 中 r 的值，然后即可求出常数项是 15
