1、北京市朝阳区 2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 20171（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 UR，集合 12xA， 20Bx，则 ()UABA |2x B C |0 D |x2在复平面内，复数 1i对应的点位于A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限3下列函数中，既是偶函数，又在区间 0,1上单调递增的是 A cosyx B2y
2、xC ()2xyD |sin|yx4若 0a，且 1，则“函数 a在 R上是减函数”是“函数 3(2)a 在 R上是增函数 ”的A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5从 0,1234中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A 6 B 8 C 10 D 126某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A 23B 43 C D7在 RtAB中， 90，点 D 是边 BC上的动点，且 3AB， 4C, ADBC(12俯视图正视图 侧视图10,)，则当 取得最大值时, AD的值为A 72B 3 C 52D 1258某
3、校高三（1）班 32 名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为 26 人和 23 人，这两项成绩都不合格的有 3 人，则这两项成绩都合格的人数是A23 B 20 C 21 D 19第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上 9已知双曲线21(0)4xyb的一条渐近线方程为 320xy，则 b等于 10 已知等差数列 na的前 n 项和为 nS若 12a， 3aS，则 2= ， 10S 11执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为 12在 ABC中，已知 45,2ACB，则 13设
4、D 为不等式组0,+3xy表示的平面区域，对于区域 D 内除原点外的任一点 (,)Axy，则 2y的最大值是_； 2xy的取值范围是 14若集合 M满足： ,，都有 ,xyM，则称集合 M是封闭的显然，整数集 Z，有理数集 Q都是封闭的对于封闭的集合 （ R） ， f： 是从集合 到集合 的一个函数，如果 ,xy都有 ()()fxyfy，就称 f是保加法的；如果 M都有 ，就称 是保乘法的；如果 f既是保加法的，又是保乘法的，就称 f在 M上是保运算的在上述定义下，集合 3,mnQ 封闭的（填“是”或“否” ） ；若函数 ()fx 在 Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数
5、 ()=fx 开始 ,1Si是否6?输出 S结束2iSi三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （本小题满分 13 分）已知函数 2()23sincos1fxxx（）求 的最小正周期；（）求 ()fx在区间 ,64上的最大值和最小值16 （本小题满分 13 分）甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取 8 次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据；（）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据
6、分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由；（）若对甲同学在今后的 3 次测试成绩进行预测，记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 （将甲 8 次成绩中高于 80 分的频率视为概率） ，求 的分布列及数学期望 E17 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中， 四边形 ABCD为正方形，四边形 ABF为直角梯形，且/,AFBE平面 ABCD平面 ,EF 2.（）求证： /平面 EF；（）若二面角 AB为直二面角，（i）求直线 C与平面 D所成角的大小； （ii）棱 上是否存在点 P，使得 B平面 DEF? 若存在，求出 E的值；若不存在，请说明理由18 （本小题满分 13 分）已知
7、椭圆2:13xyC上的动点 P与其顶点 (3,0)A, (,)B不重合（）求证：直线 PA与 B的斜率乘积为定值；（）设点 M， N在椭圆 上， O为坐标原点，当 /MP, /ON时，求 MN的面积FAD CBE19 （本小题满分 14 分）设函数 2()ln1)fxax， 2()1exga， R（）当 a时，求函数 (f在点 ,f处的切线方程； （）若函数 ()gx有两个零点，试求 的取值范围；（）证明 f20 （本小题满分 13 分）设 (3)m,n是正整数，数列 :mA12ma,L，其中 (1)ia是集合 123,nL中互不相同的元素若数列 mA满足：只要存在 i,jj（ ） 使 ijn
8、，总存在 km（ ） 有ijka，则称数列 是 “好数列” （）当 610,n时，（）若数列 6:7890,xy,是一个“好数列” ，试写出 x,y的值，并判断数列：789,x,是否是一个“好数列”？（）若数列 6:1A,ab,cd是“好数列” ，且 abcd，求 a,bc共有多少种不同的取值？（）若数列 m是“好数列 ”，且 是偶数，证明： 1212mnL北京市朝阳区 2016-2017学年度第一学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 20171一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D D A C B C B二、填空题：（满分 30 分）题号 9 10
9、 11 12 13 14答案 34,10310594， 2,0是， (),fxQ（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15 （本小题满分 13 分）解：（）因为 2()23sincos1fxxxsi()6x所以 )(xf的最小正周期为 7 分（）因为 2, .643x所 以 -当 2xx即 时， )(f取得最大值 ；当 ,6x即 时 取得最小值 113 分16 （本小题满分 13 分）解：（）作出茎叶图如下：4 分（）派甲参赛比较合适理由如下： 1x702849028124835甲，350乙，2222221s7859818548甲 353.，22222
10、21s7580885乙 95941.因为 x甲 乙 ， 2s乙甲 ，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适 8 分注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同甲 乙98421530357样给分如派乙参赛比较合适理由如下：从统计的角度看，甲获得 85 分以上（含 85 分）的频率为 138f，乙获得 85 分以上（含 85 分）的频率为 248f因为 21f，所以派乙参赛比较合适（）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A，63A84P 9 分随机变量 的可能取值为 0，1 ，2，3，且 3(,)4B 3C4kkPk， ,所以变量 的分布列为
11、：0 1 2 3P 64976411 分19270364（或 3.nP） 13 分17 （本小题满分 14 分）证明：（）连结 BD，设 ACO，因为四边形 为正方形，所以 O为 中点设 G为 E的中点，连结 ,GF，则 /B，且 12BE由已知 AF，且 ，FAD CBEOG所以 /,AFOG所以四边形 为平行四边形所以 /，即 /CF因为 A平面 DE， G平面 DE，所以 /平面 5 分（）由已知， /,FBA，所以 因为二面角 DE为直二面角，所以平面 C平面 所以 AF平面 B，所以 ,A四边形 D为正方形，所以 D所以 ,ABF两两垂直以 为原点， ,A分别为 ,xyz轴建立空间直
12、 角坐标系（如图） 因为 2ABEF，所以 (0),(,0)(,)(20),(,2)(0,1)CDEF， ， ， ， ，所以 C（i）设平面 DE的一个法向量为 (,)xyzn， 由 0, n得 20, .yxz即 0. 取 1x，得 (,1)设直线 AC与平面 DE所成角为 ，则 21sinco,n，因为 09，所以 30即直线 AC与平面 E所成角的大小为 9 分xzXyzXzzXPFAD CBE（ii）假设棱 DE上存在点 P，使得 B平面 DEF 设 (01)P，则 设 ,)xyz，则 (2,)xyz，因为 (2,E，所以 (2,)所以 ,xyz，所以 P点坐标为 ,2)因为 (0,)
13、B，所以 (2,)P 又 2,10,1)DFE，所以 ()0,2.BDFPE解得 3因为 0,1，所以 上存在点 ，使得 B平面 F，且 23PE（另解）假设棱 DE上存在点 P，使得 平面 DE 设 ()P，则 设 ,)xyz，则 (2,)xyz，因为 (2,E，所以 (2,)所以 ,xyz，所以 P点坐标为 ,2)因为 (0,)B，所以 (2,)P设平面 DEF的一个法向量为 0(xyzm，则 ,0 m由 2,1)(,21)EF，得 02,. xzy 取 1，得 (,12)由 mBP，即 ,)(1,2)，可得2, . 解得 23因为 20,13，所以 DE上存在点 P，使得 B平面 DEF
14、，且 23P14 分18 （本小题满分 13 分）解：（）设 0(,)Pxy，则2013y所以直线 A与 B的斜率乘积为22000063()3yxxx4 分（）依题直线 ,OMN的斜率乘积为 23当直线 的斜率不存在时，直线 ,ON的斜率为 63，设直线 OM的方程是 63yx，由236,yx得 2， 1y取 (,1)2M，则 6(,1)2N所以 OMN的面积为 6当直线 的斜率存在时 ,设直线 的方程是 ykxm,由 2,360ykxm得 22(3)6360kxk因为 M， N在椭圆 C上，所以 2224()0k，解得 2km设 1(,)xy, 2,则 12263xk， 1236x 2222
15、211()4()43kMNk k226(3)m设点 O到直线 N的距离为 d，则 21k所以 M的面积为2216(3)OMNmkS 因为 /OMPA, /NB，直线 OM, N的斜率乘积为 23，所以 123yx所以221212112()()ykxmkxmx26mk由2633，得 2 由，得22224()6()6OMNmkmS综上所述， 62 13 分19 （本小题满分 14 分）解：（）函数 ()fx的定义域是 (1,)， (21)xaf当 1a时，246fa， )437所以函数 ()x在点 ,()f处的切线方程为 6(2)yx即 65y 4 分（）函数 ()gx的定义域为 R，由已知得 ()e)xga当 0a时，函数 (1)ex只有一个零点；当 ，因为 e20xa，当 (,)时， ()g；当 (0,)x时， ()0gx所以函数 x在 ,上单调递减，在 上单调递增又 (0)1g， ()a，因为 x，所以 0,1xe，所以 (1)xe，所以 2()1gxa取 042a，显然 0且 0g所以 ()1g， 0()gx由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点当 0a时，由 ()e2)xa，得 0x，或 ln(2)a
