1、抛物线)0(2pxy)0(2pxy)0(2pyx)0(2pyx定义平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。Fl =点 M到直线 的距离l范围 0,xyR0,xyR,0xy,0xRy对称性 关于 轴对称 关于 轴对称( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p焦点焦点在对称轴上顶点 (0,)O离心率 =1e2px2px2py2py准线方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离 p焦半径 1(,)Axy12pFx12AFx12pAFy12pAFy焦 点弦 长AB12()xp12
2、()xp12()yp12()ypxyOlF xyOlFlFxyOxyOlF以 为直径的圆必与准线 相切ABl若 的倾斜角为 ，则AB2sinp若 的倾斜角为 ，则AB2cospAB124x21yp焦点弦的几条性质 1(,)xy2BAFBF切线方程 00()ypx00()ypx00()xpy00()xpy一 直线与抛物线的位置关系直线 ，抛物线 ，消 y得：（1）当 k=0时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；l（2）当 k0 时，0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；l0，直线 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物
3、线必相切吗?（不一定）二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线 ： 抛物线 ，lbkxy)0(p1 联立方程法：pxy20)(22bxp设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出1yA2B21,xo x2,yFy 1,A，bxkbxky2)(12121 21)(在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦 AB的弦长2121221 4)(xxkxkAB ak2或 2121221 )(yyy 2b. 中点 , ， )(0xMx02 点差法：设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得),(1yA),(2yB121pxypx将两式相减，可得 )(2)(21121 x
4、py2121xya. 在涉及斜率问题时， 21ypkABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ，),(0yxM，02121 ypypxy即 ，0kAB同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点)0(2pyxl BA、是弦 的中点，则有),(0yxMpxxkAB021（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 。2、已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（ 0，
5、2）的距离与 P 到该抛物线准线x的距离之和的最小值为 。3、直线 与抛物线 交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分3yx24y,AB,别为 ，则梯形 的面积为 。,QAB4、设 是坐标原点， 是抛物线 的焦点， 是抛物线上的一点， 与 轴OF2(0)ypxAFAx正向的夹角为 ，则 为 。605、抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部24yxlF3x分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是 。AKl AK6、已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且2:8CxAC，则 的面积为 。F7、已知双曲线 ，则以双曲线中心为焦点，以双曲线
6、左焦点为顶点的抛物线方程为 2145xy。8、在平面直角坐标系 中，有一定点 ,若线段 的垂直平分线过抛物线xoy(21)AO焦点，则该抛物线的方程是 。2(0)ypx9、在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点P(2，4)，则该x抛物线的方程是 10、抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 。2yx4380y11、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 。12、若曲线 | |1 与直线 没有公共点，则 、 分别应满足的条件是 xykxbkb。13、已知抛物线 y-x2+3 上
7、存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.42214、已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 在抛物线2(0)ypxF12()()Pxyy，3()Pxy上，且 ， 则有（ ）213x 123FP22213FP 1215、已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原()Axy2()B120)x(0)ypxO点,向量 , 满足 .设圆 的方程为OOABC。21212()()xyxy(1) 证明线段 是圆 的直径;ABC(2)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为 时，求 p 的值。25解： (1)证明 1: ，22,()()OABO
8、AOB，整理得: 22AB ， ，012120xy设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 ，0MAB即 ，整理得: ，1212()()xy21212()()0xyxy故线段 是圆 的直径。ABC证明 2: ，22,()()OABOO，整理得: ，220AB(1)12120xy设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即 ，2112(,)yxx去分母得: ，1212()()0x点 满足上方程,展开并将(1)代入得:12,yyx，212()()x故线段 是圆 的直径。ABC证明 3: ，22,()()OABOAOB，22 整理得: ， (1)0OAB12120xy以线段 AB
9、 为直径的圆的方程为，22221111()()()()4xyxy展开并将(1)代入得: ，2220x故线段 是圆 的直径ABC(2)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy， ，又因 ，2211,(0)pxp214yxp12120xy， ， ， ，1212y211y12120,2124p，2212 1211()()444x yyppp2()所以圆心的轨迹方程为 ，22yx设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则，2221|()| |555pxyypd2()|5yp当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得 ， .解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy，
10、，又因 ，2211,(0)pxp214yxp12120xy，1212y， ， ，2114yp12120,xy2124yp，2212 1211()()4xp2()y所以圆心的轨迹方程为 ，22yx设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则 ，因为 x-2y+2=0 与 无52m22ypx公共点,所以当 x-2y-2=0 与 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为22ypx 5220()3xyp 将(2)代入(3)得 ， ，20py224()0pp2.解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则12
11、12|()|5xyd， ，又因 ，2211,(0)ypxp214yxp12120xy，1212y， ， ，124p12120,xy 2124yp21122 21121|()()| ()8|545y yd p，21()45yp当 时,d 有最小值 ,由题设得 ， .125p25p2p16、已知椭圆 C1: ,抛物线 C2: ,且 C1、C 2的公共弦 AB 过椭圆243xy2()(0)ymxC1的右焦点.(1)当 AB 轴时 ,求 、 的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB 上；mp(2)是否存在 、 的值，使抛物线 C2的焦点恰在直线 AB 上？若存在，求出符合条件的 、m的值；若不存
12、在，请说明理由.p解：（1）当 ABx 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m0，直线 AB 的方程为 x=1，从而点A 的坐标为（1， ）或（1， ）. 因为点 A 在抛物线上，所以 ，即 . 此时 C2的2323 p24989焦点坐标为（ ，0） ，该焦点不在直线 AB 上.69（2）解法一 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为.)1(xky由 消去 y 得 . 342 01248)43(22kxk设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2）,则 x1,x2是方程的两根，x 1x 2 .438k因为 AB 既是过 C1的右
13、焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦，所以 ，且)()()( 12xAB.112pxxp从而 .24()所以 ，即 .1263px28463k解得 .,k即因为 C2的焦点 在直线 上，所以 .),32(mF )1(xkykm31即 .6m或当 时，直线 AB 的方程为 ；3 )1(6xyAyBO x当 时，直线 AB 的方程为 .36m)1(6xy解法二 当 C2的焦点在 AB 时，由（）知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 .)1(xky由 消去 y 得 . )(382xkymxmkx38)(2因为 C2的焦点 在直线 上，),(F )1(所以 ，即 .代入有 .13kmk31xk
14、x382即 . 094)2(42xx设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2）,则 x1,x2是方程的两根，x 1x 2 .3)(4k由 消去 y 得 . 134)(2yxk 0128)3(22x由于 x1,x2也是方程的两根，所以 x1x 2 .243k从而 . 解得 .3)(4k248k6,2即因为 C2的焦点 在直线 上，所以 .),(mF )1(xkykm31即 .36m或当 时，直线 AB 的方程为 ；)1(6xy当 时，直线 AB 的方程为 .36解法三 设 A、B 的坐标分别为（x 1,y1）, （x 2,y2）,因为 AB 既过 C1的右焦点 ，又是过 C2的
15、焦点 ，)0,(F),3(mF所以 .21)(2()( 21 xxpxpx 即 . 964321x由（）知 ，于是直线 AB 的斜率 ， 21 mxyk31202且直线 AB 的方程是 ,)1(3xmy所以 . 32)(3121 mxy又因为 ，所以 . 42yx 0)(4)( 12121 xyyx将、代入得 ，即 .32m36m或当 时，直线 AB 的方程为 ；36m)1(6xy当 时，直线 AB 的方程为 .17、如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82（1）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（2）若 a 为锐角，作线段 AB 的
16、垂直平分线 m 交 x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。（1）解：设抛物线的标准方程为 ，则 ，从而 因此焦点 的坐标为py28.4p)0,2(pF（2，0）.又准线方程的一般式为 。从而所求准线 l 的方程为 。x2x答（21）图（2）解法一：如图（21）图作 ACl，BDl ，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记 A、B 的横坐标分别为 xxxz，则|FA|AC| 解得4cos|2cos|2aFApaFApx，aFcos14|类似地有 ，解得 。aFBcos|4|aFBcos14|记直线 m 与 AB 的交点为 E，
17、则，aaAAEAF 2sinco41cos421|)|(2| 所以 。故 。aP2sin4co| 8i2)(sinco|aFP解法二：设 ， ，直线 AB 的斜率为 ，则直线方程为 。),(Ayx),(Byxkta)2(xky将此式代入 ,得 ，故 。8204242kxk 2)(kxBA记直线 m 与 AB 的交点为 ，则),(Ey， ，故直线 m 的方程为 .2)(kxBAEkxk4)2( 2414kxky令 y=0,得 P 的横坐标 故 。42P akxFP22sin)1(| 从而 为定值。8sin2)co1(sinco| aaF18、已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原
18、点，设圆 是OAByxOC的内接圆（点 为圆心）ABC（1）求圆 的方程；（2）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆M22(47cos)(7cos)1xyMP的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值CPEF， E， CF，（1）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知AB，21y， 2y，22221111()yy解得 ，所以 ， 或 ， 21(63)A， 3B， 63A， (62)B，设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为 C0)r， 24C41xy解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知B， 1()xy， 2()，又因为 ， ，可得 即221xy2221xx由 ， ，可知
19、 ，故 两点关于 轴对称，所以212()0x1x202AB，圆心 在 轴上设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有Cx(0)r， A32r，解得 ，所以圆 的方程为 23rr4C(4)16xy（2）解：设 ，则 2ECFa 2|cos2s3cos16EFAA在 中， ，由圆的几何性质得RtP 4cos|xPC， ，|17M 8|176M所以 ，由此可得 则 的最大值为 ，最小值为2cos3 9EFA CEFA169819、若 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条 “相关弦”.已知当 x2 时，
20、点 P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02.（1）证明：点 P（x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（2）试问：点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （1）设 AB 为点 P（x 0,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、B 的坐标分别是（x 1,y1） 、 （x 2,y2）（x 1 x2）,则 y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y 1+y2） （y 1-y2）=4（x 1-x2）.因为 x1 x2,所以 y1+y2 0.设 直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（x
21、m, ym）,则 k= .12124my从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 ().2x又点 P（x 0,0）在直线 上，所以 0my而 于是 故点 P（x 0,0）的所有“ 相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.,my02.mx(2)由(1)知，弦 AB 所在直线的方程是 ，代入 中，()mykx24y整理得 （ ）2 2()(.mkxykx则 是方程（）的两个实根，且12、212().mykxx设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则22222111()()()lxyk2221112222422 2200()4()(4()()(1)61(3).mmmmmkxxkxyyxyxyx因为
22、03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 =2(x0-3)时,l2my有最大值 2(x0-1).若 23 时，点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（x 0-1） ；当20)的焦点为 F，准线为 l，经过 F的直线与抛物线交于 A、 B两点，交准线于 C点，点 A在 x轴上方， AK l，垂足为 K，若| BC|2| BF|，且|AF|4，则 AKF的面积是 ( )A4 B3 C4 D83 3例 4、过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A、 B，交其准线 l于点C，若| BC|2| BF|，且| AF|3
23、 则此抛物线的方程为 ( ) A y2 x B y29 x C y2 x D y23 x32 92三、抛物线的综合问题例 5、(2011江西高考)已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛2物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x10)上， M点到抛物线 C的焦点 F的距离为 2，直线 l： y x b与抛物线 C交于 A， B两点12(1)求抛物线 C的方程；(2)若以 AB为直径的圆与 x轴相切，求该圆的方程例题答案解析一、抛物线的定义及其应用例 1、(1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线是 x1.由抛物线的定义知：点 P到直线 x1 的距离等
24、于点 P到焦点 F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点 P，使点 P到点 A(1,1)的距离与点 P到 F(1,0)的距离之和最小显然，连结 AF交曲线于 P点，则所求的最小值为| AF|，即为 .5(2)如图，自点 B作 BQ垂直准线于 Q，交抛物线于点 P1，则| P1Q| P1F|.则有|PB| PF| P1B| P1Q| BQ|4.即| PB| PF|的最小值为 4.例 2、解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 p4，根据已 知只要| FM|4即可根据抛物线定| FM| y02 由 y024，解得 y02，故 y0的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例 3、设点 A(
25、x1， y1)，其中 y10.由点 B作抛物线的准线的垂线，垂足为 B1.则有 |BF| BB1|；又| CB|2| FB|，因此有|CB|2| BB1|，cos CBB1 ， CBB1 .即直线 AB与 x轴的夹角为 .又|BB1|BC| 12 3 3|AF| AK| x1 4，因此 y14sin 2 ，因此 AKF的面积等于 |AK|y1p2 3 3 1242 4 .12 3 3例 4分别过点 A、 B作 AA1、 BB1垂直于 l，且垂足分别为 A1、 B1，由已知条件|BC|2| BF|得| BC|2| BB1|， BCB130，又| AA1| AF|3，| AC|2| AA1|6，|
26、 CF| AC| AF|633， F为线段 AC的中点故点F到准线的距离为 p |AA1| ，故抛物线的方程为 y23 x.12 32三、抛物线的综合问题例 5、(1)直线 AB的方程是 y2 (x )，与 y22 px联立，从而有2p24x25 px p20，所以： x1 x2 ，由抛物线定义得：| AB| x1 x2 p9，5p4所以 p4，从而抛物线方程是 y28 x.(2)由 p4,4 x25 px p20 可简化为 x25 x40，从而 x11， x24， y12， y24 ，从而 A(1，2 )， B(4,4 )；2 2 2 2设 ( x3， y3)(1 ，2 ) (4,4 )(4
27、 1,4 2 )OC2 2 2 2又 y 8 x3，即2 (2 1) 28(4 1)23 2即(2 1) 24 1.解得 0，或 2.例 6、 (1)设动点 P的坐标为( x， y)，由题意有 | x|1.化简得 x 1 2 y2y22 x2| x|. 当 x0 时， y24 x；当 x0)的准线为 x ，由抛物线定义和已知条件可知p2|MF|1( )1 2，解得 p2, 故所求抛物线 C的方程为 y24 x.p2 p2(2)联立Error! 消去 x并化简整理得 y28 y8 b0.依题意应有 6432 b0，解得 b2.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y1 y28， y1y
28、28 b，设圆心 Q(x0， y0)，则应用 x0 ， y0 4.x1 x22 y1 y22因为以 AB为直径的圆与 x轴相切，所以圆的半径为 r| y0|4.又| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 1 4 y1 y2 25 y1 y2 2 4y1y2 5 64 32b所以| AB|2 r 8，解得 b .5 64 32b85所以 x1 x22 b2 y12 b2 y24 b16 ，485则圆心 Q的坐标为( ，4)故所求圆的方程为( x )2( y4) 216.245 245练习题1已知抛物线 x2 ay的焦点恰好为双曲线 y2 x22 的上焦点，则 a等于 ( )A1 B4 C8 D
29、162抛物线 y4 x2上的一点 M到焦点的距离为 1，则点 M的纵坐标是 ( )A B C. D.1716 1516 716 15163(2011辽宁高考)已知 F是拋物线 y2 x的焦点， A， B是该拋物线上的两点，|AF| BF|3，则线段 AB的中点到 y轴的距离为 ( )A. B1 C. D.34 54 744已知抛物线 y22 px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A相离 B相交 C相切 D不确定5(2012宜宾检测)已知 F为抛物线 y28 x的焦点，过 F且斜率为 1的直线交抛物线于 A、 B两点，则| FA| FB|的值等于 ( ) A4 B8C 8
30、D162 26在 y2 x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是 ( )A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 7设抛物线 y28 x的焦点为 F，准线为 l， P为抛物线上一点， PA l， A为垂足如果直线 AF的斜率为 ，那么| PF| ( )3A4 B8 C8 D163 38(2011陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是 ( )A y28 x B y28 x C y24 x D y24 x9(2012永州模拟)以抛物线 x216 y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶
31、点在原点，对称轴为 y轴，抛物线上一点 Q(3， m)到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为_11已知抛物线 y24 x与直线 2x y40 相交于 A、 B两点，抛物线的焦点为 F，那么| | | | _.FAB12过抛物线 y24 x的焦点作直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，若x1 x26，那么 | AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16 x29 y2144 的左顶点；(2)过点 P(2，4)14已知点 A(1,0)， B(1，1)，抛物线 C： y24 x， O为坐标原点，过点 A的动直线 l交抛物线 C于 M， P两点
32、，直线 MB交抛物线 C于另一点 Q.若向量 与 的MOP夹角为 ，求 POM的面积4练习题：1解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0， )，双曲线的上焦点为(0,2)，依题a4意则有 2 解得 a8.a42解析：抛物线方程可化为 x2 ，其准线方程为 y .设 M(x0， y0)，则由抛物y4 116线的定义，可知 y01 y0 .116 15163解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB中点到 y轴的距离为：(|AF| BF|) .12 14 32 14 544解析：设抛物线焦点弦为 AB，中点为 M，准线 l， A1、 B1分别为 A、 B在直线 l上的射影，则| AA1|
33、AF|，| BB1| BF|，于是 M到 l的距离 d (|AA1| BB1|)12 (|AF| BF|) |AB|半径，故相切12 125解析：依题意 F(2,0)，所以直线方程为 y x2 由Error!，消去 y得x212 x40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则| FA| FB|( x12)( x22)| x1 x2| 8 .(x1 x2)2 4x1x2 144 16 26解析：如图所示，直线 l为抛物线 y2 x2的准线， F为其焦 点，PN l， AN1 l，由抛物线的定义知，|PF| PN|，| AP| PF| AP| PN| AN1|，当且仅当A、 P、 N三点
34、共线时取等号 P点的横坐标与 A点的横坐标相同即为 1，则可排除A、C、D.答案：B7解析：设抛物线 y28 x的焦点为 F，准线为 l， P为抛物线上一点， PA l， A为垂足如果直线 AF的斜率为 ，那么| PF| ( )3A4 B83C8 D1638解析：由准线方程 x2，可知抛物线为焦点在 x轴正 ，半轴上的标准方程，同时得 p4，所以标准方程为 y22 px8 x9解析：抛物线的焦点为 F(0,4)，准线为 y4，则圆心为(0,4)，半径 r8. 所以，圆的方程为 x2( y4) 264.10解析：设抛物线方程为 x2 ay(a0)，则准线为 y . Q(3， m)在抛物线a4上，
35、9 am.而点 Q到焦点的距离等于点 Q到准线的距离，| m( )|5.将 ma4代入，得| |5，解得， a2，或 a18，所求抛物线的方程为9a 9a a4x22 y，或 x218 y.11解析：由Error! ，消去 y，得 x25 x40(*)，方程(*)的两根为 A、 B两点的横坐标，故 x1 x25，因为抛物线 y24 x的焦点为 F(1,0)，所以| | | | F( x11)( x21)712解析：因线段 AB过焦点 F，则| AB| AF| BF|.又由抛物线的定义知|AF| x11，| BF| x21，故| AB| x1 x228.13解析：双曲线方程化为 1，左顶点为(3
36、,0)，由题意设抛物线方程为x29 y216y22 px(p0)，则 3， p6，抛物线方程为 y212 x.p2(2)由于 P(2，4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为 y2 mx或 x2 ny，代入 P点坐标求得 m8， n1，所求抛物线方程为 y28 x或 x2 y.14解：设点 M( ， y1)， P( ， y2)，y214 y24 P， M， A三点共线， kAM kPM，即 ，即 ， y1y24.y1y214 1y1 y2y214 y24 y1y21 4 1y1 y2 y1y25.向量 与 的夹角为 ，OMPy214 y24 OMP4| | |cos 5.S POM | | | | sin .4 12 4 52
