1、第三章 线性方程组1 用消元法解下列线性方程组：23415234151) 1xxxx12453124512) 796xx2344123)7xx 31243450)167xx142314125)xx124312436)15xxx解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有 350012102354314718102100032201010因为，()()45rankArB所以方程组有无穷多解，其同解方程组为，1453240x解得 123450xkxk其中 为任意常数。k2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有 1032120321454579676612032120321455989810327001
2、因为，()4()3rankArank所以原方程无解。3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有12341234001577，102108332148因为，()()4rankAr所以方程组有惟一解，且其解为。1234860x4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 3571892232164167，8978902020134即原方程组德同解方程组为，12347890xx由此可解得，12231423790xkxk其中 是任意常数。12,k5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 121133704224511217070423因为，()4()3rankArank所以原方程组无解。6）对方程组的增广矩阵作行
3、初等变换，有12313502214520502，20005257216150010即原方程组的同解方程组为，2341357650x解之得，12347516xkxk其中 是任意常数。k2.把向量 表成 的线性组合.。1234,1234)(,),(,1),12342)(0,)(,3),01解 1）设有线性关系 1234kk代入所给向量，可得线性方程组，123412341kk解之，得，15,4k2,31,k4因此。12342）同理可得。133.证明：如果向量组 线性无关，而 线12,r 12,r性相关，则向量可由 线性表出.r证 由题设，可以找到不全为零的数 使121,rk，12 0rrk显然 .事
4、实上，若 ，而 不全为零，使10rk10r12,rk2rk成立，这与 线性无关的假设矛盾，即证 .故12,r 10rk，1riik即向量 可由 线性表出。12,r4. ，证明：如果 ，那么()(,2)iiin 0ij线性无关。12,n证 设有线性关系 ，120nkk代入分量，可得方程组，12112120nnnkk 由于 ，故齐次线性方程组只有零解，从而 线性无关。0ij12,n5.设 是互不相同的数， .证明：12,rtt rn是线性无关的。1(,)(,2)niiit 证 设有线性关系 ，则10rkk，2111120rnnrtttkttk 1）当 时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数
5、行r列式为一个范德蒙行列式，即，122112()0njiinnttttt 所以方程组有惟一的零解，这就是说 线性无关。2,r2）当 时，令r 2111221(,)(,)rrrrtttt 则由上面 1)的证明可知 是线性无关的。而 是12, 12,r延长的向量，所以 也线性无关。12,r 12,r6.设 线性无关，证明 也线性无关。123231,证 设由线性关系 ，则122331()()()0kkk。3()再由题设知 线性无关，所以12,，1320k解得 ，所以 线性无关。1230k1231,7.已知 的秩为 ，证明： 中任意 个线性,s r2,s r无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证
6、设 是 中任意 个线性无关向量组，12,iir 12,s r如果能够证明任意一个向量 都可由 线性()j 12,iir表出就可以了。事实上，向量组 是线性相关的，否则原向量组的12,iirj秩大于 ，矛盾.这说明 可由 线性表出，再由 的任意rj12,iir j性，即证。8.设 的秩为 ， 是 中的 个12,s r12,rii 12,s r向量，使得 中每个向量都可被它们线性表出，证明：s是 的一个极大线性无关组。12,rii 12,s证 由题设知 与 等价，所以12,rii 12,s的秩与 的秩相等，且等于 .又因为12,rii 12,s线性无关，故而 是 的一个极大12rii 12,rii
7、 12,s线性无关组。9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证 将所给向量组用（）表示，它的一个线性无关向量组用（）表示。若向量组（）中每一个向量都可由向量组（）线性表出，那么向量组（）就是向量组（）的极大线性无关组.否则，向量组（）至少有一个向量 不能由向量组（）线性表出，此时将 添加到向量组（）中去，得到向量组（） ，且向量组（）是线性无关的。进而，再检查向量组（）中向量是否皆可由向量组（）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（）线性表出的向量添加到向量组（）中去，得到向量组（） 。继续这样下去，因为向量组（）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（）的
8、一个极大线性无关组。10.设向量组为， ， ，1(,24)2(0,31)3(,0714)， 。4,561） 证明： 线性无关。122） 把 扩充成一极大线性无关组。,证 1）由于 的对应分量不成比例，因而 线性无关。12, 12,2）因为 ，且由312，240kk可解得，124所以 线性无关。124,再令，12450kk代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为 0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即 线性相关，所以 可由1245, 5线性表出。124,这意味着 就是原向量组的一个极大线性无关组。124,注 此题也可将 排成 的矩阵，再通过列初等变换5,4化为行阶梯形或行最简形，然
9、后得到相应结论。11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：，1 23 4)(6,4),(1,03)97,1 23 452)(,2),(,)07,6解 1）设12341023967A对矩阵 作行初等变换，可得，04192600341234456981A所以 的秩为 3，且 即为所求极大线性无关组。1234,234,3） 同理可得 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为 3。124,12.证明：如果向量组（）可以由向量组（）线性表出，那么（）的秩不超过（）的秩。证 由题设，向量组（）的极大线性无关组也可由向量组（）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（）的秩不超过向量组（）的秩。13.设 是一
10、组维向量，已知单位向量 可被它12,n 12,n们线性表出，证明： 线性无关。12,n证 设 的秩为 ，而 的秩为 。12,n r12,n由题设及上题结果知，从而 ，故 线性无关。rn12,n14.设 是一组 维向量，证明： 线性无关 12,n的充分必要条件是任一 维向量都可被它们线性表出。证 必要性.设 线性无关，但是 个 维向量12,n 必线性相关，于是对任意 维向量 ，它必可由12,n 线性表出。充分性 任意 维向量可由 线性表出，特别单位向量12,n可由 线性表出，于是由上题结果，即证12,n 12,n线性无关。,15.证明：方程组 121212nnnaxaxb 对任何 都有解的充分必
11、要条件是系数行列式 。12,b 0ija证 充分性.由克拉默来姆法则即证。下证必要性.记，12(,)(1,2)iini nb 则原方程组可表示为，12nxx由题设知，任意向量 都可由线性 表出，因此由上题结果1,可知 线性无关。12,n进而，下述线性关系，120nkk仅有惟一零解，故必须有 ，即证。ijAa16.已知 与 有相同的秩，证明：12,r 121,rs 与 等价。121,rs 证 由于 与 有相同的秩，因2r 121,rs 此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样 的极12,r大线性无关组也必为 的极大线性无关组，从而121,rs 它们有相同的极大线性无关组。另一方面，因为它
12、们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价。17.设 123213, ,r r ，r r证明： 与 具有相同的秩。12,r 12,r证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知 可由12,r线性表出。12,r现在把这些等式统统加起来，可得，1212()r rr 于是，12 1()i i rr 1,i即证 也可由 线性表出，从而向量组12,r 2,r与 等价。r 12r18.计算下列矩阵的秩：1） 2）001104236103） 4）142682091773455104253675） 。1001解 1）秩为 4；2）秩为 3；3）秩为 2；4）秩为 3；5）秩为 5。19.讨论 取什么值时，下列方
13、程有解，并求解。,ab1） 2）2321x1233()3()xx3）1234axb解 1）因为方程组的系数行列式，21()D所以当 时，原方程组与方程 同解，故原方程组有无112x穷多解，且其解为，1223kx其中 为任意常数。12,k当 时，原方程组无解。2当 且 时，原方程组有惟一解。且1。1223()xx2）因为方程组的系数行列式，21(1)33D所以当 时，原方程组的系数矩阵 与增广矩阵 的秩分别为 2 与0A3，所以无解。当 时， 的秩为 2， 的秩为 3，故原方程组也无解。1A当 ，且 时，方程组有唯一解0。321232159()419()xx3) 因为方程组的系数行列式，1(1)
14、2aDba所以当 时，即 且 时，方程组有惟一解，且为00，123()4(1)bxabxa当 时0D1o若 ，这时系数矩阵 的秩为 2，而它的增广矩阵 的秩为bAA3，故原方程组无解。2o若 ，这时增广矩阵a1414301220bb所以当 时， 的秩为 3， 的秩为，原方程组无解。1,aA而当 时，原方程组有无穷多个解，且其解为2b，123xk其中 为任意常数。k20.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解：1） 2）23452345065xx124534512067xx3） 4）123451234507xx123451234505xx解 1）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有
15、113026026026 054因为 ，所以原方程组的基础解中含有 3 个线性无关的解()5rankA向量，且原方程组的同解方程组为，1234506xx于是只要令即得 ，345,0,x1(,2,)同理，令即得 ，135,2(,0,)即得 ，540x3561则 为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为123,，123kk其中 为任意常数。123,k2）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有 0310312464652710310312294因为 ，所以原方程组的基础解系中含有 2 个线性无关的()35rankA解向量，且原方程组的同解方程组为，124530xx若令，得 ，14,0x1(
16、,0)，得 ，2751,3则 为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为12,，12k其中 为任意常数。12,k3）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有 1121053759632211103053690544又因为12031094所以 ，方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，()45rankA且原方程组的同解方程组为。123452340695xx于是令 ，可得21x，1(,)234则 即为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为 ， k其中 为任意常数。k4） 对方程组的系数矩阵作行初等变换，有 12121305345350121210084584500又应为 12
17、04所以 ，方程组的基础解系含有 2 个线性无关大解向量，()35rankA且原方程组的同解方程组为 12345008xx，得 ，35,x1(,2,0)，得 ，02514则 为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为12,，12k其中 为任意常数。12,k21.用导出组的基础解系表出第 1 题 1） 、4） 、6）题中线性方程组的全部解，其中1234512345) 1xxxx123412345704)167xx123412346)15xx解 1）对原方程组的增广矩阵作初等行变换，可得，()()45rankArb所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有 1 个线性无关的解向量
18、，又因为原方程组的同解方程组为，14520x若令 ，代入原方程组的导出组，可解得41x，于是导出组的基础解系为1235,0,x，(1,02)且原方程组的一个特解为，0(,)故园方程组的全部解为，123045102xkkx其中 为任意常数。k4）对原齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换，可得，()4rankA所以方程组有无穷多解，且其基础解系中含有 2 个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为，12347890xx若令，得 ，34,0x12,7x再令，得 ，34,1230,于是导出组的基础解系为， ，139(,0)72130(,)7故原方程组的全部解为，12321459207xkkx其中
19、为任意常数。12,k6）对原方程组的增广矩阵作初等变换，可得，()34rankAb所以方程组有无穷多个解，且其导出组的基础解系中含有 1 个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为，2341357650x若令 ，代入原方程组的导出组，可解得 ，31x12476,5xx于是导出组的基础解系为，76(1,)5且原方程组的一个特解为，02(,)故原方程组的全部解为，123045 127516xkkx其中 为任意常数。k22. 取什么值时，线性方程组,ab1234512345165xxab有解？在有解的情形，求一般解。解 对方程组的增广矩阵行作初等变换： 1113230263065415aaAb
20、b。1026302ab于是，只有 且 时，增广矩阵的秩与系数的秩都为 2，此时原a方程组有解；当 且 时，原方程组都无解。当 ， 时，原方程组与方程组，1234516xx同解，且其一般解为，134523456xkxk其中 为任意常数。345,k23.设 1213451xaxa证明：此方程组有解的充分必要条件为，510i在有解的情形，求出它的一般解。证 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有 11 22 33 44 55 1010110100iaaAaa此时 的秩为 4， 的秩为 4 的充分必要条件是，51i因此，原方程组有解的充分必要条件是 。510ia其次，当 时，原方程组与方程组与510ia，
21、121345xa同解，所以它的一般解为，12342345xakxk其中 为任意常数。k24.证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系。证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且 与它等12,r 12,ra价，则 可由 线性表出，从而(,)ia 12,r也是原齐次线性方程组的解。ir又由题设知 线性无关，且 可由12,ra 12,r线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解 也都可以由12,ra 线性表出，即证 也是方程组的一个基础解系。r 12,r25.设齐次方程组，12112120nnnxx 的系数矩阵的秩为 ，证明：方程组的任意 个线
22、性无关的解都是它rr的一个基础解系。证 由于方程组的系数矩阵的秩为 ，所以它的基础解系所含线性无r关解向量的个数为 。nr设 是方程组的一个基础解系， 是方程组12, 12,nr的任意 个线性无关的解向量，则向量组r，1212,nrnr 的秩仍为 ，且 是它的一个极大线性无关组，同理nrr也是它的一个极大线性无关组，所以 与12,r 12,nr等价，再由上题即证。nr26.证明：如果 是一线性方程组的解，那么12,t，2tuu（其中 ）也是一个解。12tu证 设线性方程组为 12(1,2)iiinixxbm 由题设， 是该方程组的 个解，现()(),)jjjj t t将 ()()()12121
23、,tttkkkt nuuxux 代入方程组，得 ()() ()112211t t tkkki i innaxaxax()()()12tkkkiiinku，11(,2)ttkikiubbm所以 仍是方程组的一个解，即证。2t27.多项式与32x4231x在 取什么值时有公共根？解 因为 与 的结式为()fg23200(,)321100fgR，32()48157)故当 时，有3，32(,)()0fgR从而 与 有公共根。此外，由 还可求得 的 3 个根，)fx(,fgR它们皆可使 与 有公共根。()x28.解下列联立方程：2256101)4yxyx223)410922332(4)0)575yxxy
24、解 1）由结式 22616005(,)14yxxRfg4322()xx，1)(0可解得下 1，1，2，-1 四个根。x当 时，代入原方程组，可得，25630y解此方程组，可得 。1当 时，代入原方程组，得x，25610y解之得 。1y当 时，代入原方程组，可得2x，251403y解之得 。2y故原方程组有四组公共解为1xy21xy31xy42xy2）同理可得，1051035(,)4()3()()yRfgxxx所以解得， ， ， ，1x23()54()5代入原方程组，可得四组公共解为1y230xy。3(05)xy41(5)y3）由，22(,)4(1)0yfgxR可解得原方程组的组公共解为10y23y32x41x51yi621yi
