1、- 1 -5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在ABC 中，ABAC，B30 0，AB 的垂直平分线 EF 交 AB于点 E，交 BC 于点 F，求证：CF2BF。分析一：要证明 CF2BF ，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根据其性质可连结 AF，则 BFAF。问题转化为证 CF2AF，又BC 30 0，这就等价于要证CAF90 0，则根据含 300 角的直角三角形的性质可得 CF2AF2BF。分析二：要证明 CF2BF ，联想B 30 0，EF 是 AB 的中垂线，可过
2、点 A 作AGEF 交 FC 于 G 后，得到含 300 角的 RtABG ，且 EF 是 RtABG 的中位线，因此BG2BF2AG，再设法证明 AGGC，即有 BFFGGC。例 题 图 1 FE CBA例 题 图 2 GFECBA分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作 ADBC 于 D，则 BDCD，考虑到B 30 0，不妨设 EF1，再用勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。例 题 图 3 DFE CBA问 题 图 321ED CBA探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成
3、比例。如图，ABC 中，AD 是角平分线。求证： 。ACBD分析：要证 ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所ACBD在三角形相似，现在 B、D、C 在同一条直线上，ABD 与ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，AB所以考虑过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 E，从而得到 BD、CD、AB 的第四比例项AE，这样，证明 就可以转化为证 AEAC。A- 2 -证明：过 C 作 CEAD 交 BA 的延长线于 ECEAD E3 AEAC12CEAD ABDCACBD（1）上述证明
4、过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（ ）数形结合思想 转化思想 分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知 AD 是ABC 中BAC 的角平分线，AB 5 cm ，AC4 cm，BC7 cm ，求 BD 的长。答案： cm9评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：- 3 -一、填空题：1、如图，A52 0，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么OCB 。2、如图，已知 ABAC，A44 0，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC 。
5、3、如图，在ABC 中，C90 0，B 15 0，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点，E 为垂足，若 BD8，则 AC 。4、如图，在ABC 中，ABAC，DE 是 AB 的垂直平分线，BCE 的周长为24，BC10，则 AB 。5、如图，EG、FG 分别是MEF 和NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是MBC 和NCB 的角平分线，交点是 P，F 、C 在 AN 上， B、E 在 AM 上，若G68 0，那么P 。二、选择题：1、如图，ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且 A60 0，则BFC 等于（ ）A、80 0 B、100 0 C、120 0 D、140
6、 02、如图，ABC 中，12，34，若D36 0，则C 的度数为（ ）A、82 0 B、72 0 C、62 0 D、52 03、如图ABC 的外角平分线 CEAB，中线 AF 分ABC 的周长为 23 两部分，若ABC 的周长为 30cm，则它的三边长分别是（ ）A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm第 1题 图 O CBA第 2题 图 NM DCBA第 4题 图 EAB CD中垂线、中线、角平分线练习填 空 第 5题 图 GPMEBNCFA 选 择 第 1题 图 F EDCBA选 择 第 2题 图 4321DCBA选择第三题AB CDEF第 3 题图DEBCA
7、- 4 -C、8 cm、8 cm 、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对4、如图，Rt ABC 中，C90 0，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线，CF 是 ACB 的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）A、0 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定三、解答题：1、如图，Rt ABC 的A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点D，求证：MAMD。2、在ABC 中，ABAC ，D、E 在 BC 上，且 DEEC，过 D 作 DF
8、BA 交 AE 于点F，DFAC，求证：AE 平分BAC。3、如图，在ABC 中，B22.5 0，C 60 0，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD，AEBC 于点 E，求 EC 的长。264、如图，在 RtABC 中，ACB90 0，ACBC，D 为BC 的中点，CEAD ，垂足为 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。选 择 第 4题 图 E F DCBA第 2题 图 EFD CBA第 1题 图 MDCBA第 3题 图 EFD CBA第 4题 图 EFDCBA- 5 -参考答案一、填空题：1、38 0； 2、24 0； 3、4； 4、14； 5、68
9、0二、选择题：C B C D B三、解答题：1、证明：过 A 作 ANBC 于 N，则B+C= B+BAN=90 C= BANM 是 BC 的中点AM=CMCAM=C= BANAD 是A 的平分线BAD=CADDAN=MADAN/DMADM=DAN=MADMA=MD2、证明：延长 FE 到 G，使 EGEF，连结 CG，DEF= CEG，DE=CEDEFCEGDF=CG，DFG=GDFACAC=CGCAG=G=DFGDFBABAG=DFG=CAGAE 平分BAC- 6 -3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线， ADBD ，BDAB22.5 026ADE 45 0，AE AD 62又C60 0 EC 323AE4、证明：CAD+ADC=BCF+ ADC=90CAD=BCFACD=CBF=90，AC=BCACDCBFCD=BFCD=BDBD=BFDBA=ABF=45AB 垂直平分 DF
