1、 1 / 352012 年 6 月 14日星期四线性代数公式大全第一章 行列式1逆序数1.1 定义个互不相等的正整数任意一种排列为： ，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序n12ni不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用 表示， 等于它所有数字中后面小于前12ni12ni面数字的个数之和。1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 。21证明如下：设排列为 ，作 次相邻对换后，变成 ，再作 次相邻对换11lmnabc 11lmnabc 1后，变成 ，共经过 次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加 1 l 21，要么减少 1 ，
2、相当于 ，也就是排列必改变改变奇偶性， 次相邻对换后212，故原命题成立。 22m2 阶行列式的 5 大性质n性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。 性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列） 倍后再加到另一行（列） ，其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注 对性质 4 的重要拓展：设 阶同型矩阵， ，而行列式只是就某一列分解，所以， 应当n; ijij ijijAaBbAabAB2 / 352012
3、年 6 月 14日星期四是 个行列式之和，即 。2nAB评 注 韦达定理的一般形式为： 12 1200111; ; nnn nnnn ni ij iijaaaaxaxaxxx 一、行列式定义1定义 21122nnnaa nnjjja 2211)(其中逆序数 后面的 小的数的个数 后面比 小的数的个数 后面比 小的数的121jj 1j2j2j 1nj1nj个数.2三角形行列式12120nnaa 210nna 12na12110nnnaa 12110nna 121nnna 121nna二、行列式性质和展开定理1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算.2展开定理 12ikikinkiaAaA jjjj
4、三、重要公式设 A 是 n 阶方阵，则3 / 352012 年 6 月 14日星期四1 TA2 13 *n4 kA5 ，其中 B 也是 n 阶方阵B6设 B 为 m 阶方阵，则 0CA01mnBB7范德蒙行列式 122112nijjinnnxxx 四有关结论1对于 ,nAB(1) (2) 0AB2. 为 阶可逆矩阵An（ 与 等价）E行 变 列 变 E只有惟一零解0X有惟一解（克莱姆法则）b的行（列）向量组线性无关A的 n 个特征值 ,1,2i n4 / 352012 年 6 月 14日星期四可写成若干个初等矩阵的乘积A)(Br是正定矩阵T是 中某两组基之间的过渡矩阵AnR3. 为 阶不可逆矩
5、阵有非零解 0 是 的特征值 0XnAr)(A4.若 为 阶矩阵， 为 的 n 个特征值，则An2,1(iniA15.若 ，则B行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法） 。2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式） 。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的 n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值） ，因此，务求熟练掌握。典型题:一. 数字行列式的计算.1. 利用行列式的定义.2. 利用行列式的基本性质.3. 一般的数字行列
6、式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开） ，利用特征值、特征向量求。递推公式.二. 行列式的代数余子式的相关计算.三. 类型成抽象行列式的计算.AB1.与向量成分块矩阵结合2 与特征值、特征向量结合.4 与代数余子式结合.四.范德蒙行列式与克莱姆法则第二章 矩阵一 内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数） ，而矩阵是一个符号；3）一般地当 A 是一个方阵时候， 才有意义，但是 ；此外当 A 是长方形矩阵时 没有意义。A2 矩阵的运算及其运算律5 / 352012 年 6 月 14日星期四（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线
7、性运算：a)矩阵的和：A+B 注意 A 和 B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵） ；b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ；nmijnijkak)(c)一般地，若 有意义，称为矩阵 的一个tt AkA 2121,是 同 型 矩 阵 ， 则 tA,21线性运算；3 矩阵的转置将矩阵 A 的行列互换，得到新的矩阵 ，称为矩阵 A 的转置。AT或4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义： smijsnmCB注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而 njjiiinjijijiij baababc 21421215 关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地 原因是 a)AB 与 BA 不一定同时
8、有意义；b)即使 AB 与 BA 都有意义，AB 与 BA 的阶数也未必其BA一致；例如； 同都 有 意 义 ， 但 其 阶 数 不与， 则 BAbajtij 3223,c)即使 AB 与 BA 其阶数相同，但 AB 与 BA 也未必相同；如果 AB=BA，则称 A 与 B 是可以交换的。例如 BA 都 有 意 义 ， 但 是与， 则1,12）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若 0,00, XAXCBAC推 不 出， 例 如 若， 推 不 出3）若 TB有 意 义 ， 则3 几种特殊类型的矩阵（1）0 矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；6 /
9、352012 年 6 月 14日星期四（5）对称矩阵：若 ；Tjiijnij AaA， 即,（6）反对称矩阵：若 ；jiijij -， 即关于反对称矩阵常用的结论：1）A 的主对角线上的元素全是 0；2）若 A 是奇数阶行列式，则 ;0A(7)正交矩阵：若 ，则称 A 是正交矩阵。1EATT或满 足 ：关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若 A 是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵 T 使得：； nTA1211（8）阶梯形矩阵若 A 满足：0 行全在非 0 行的下方，非 0 行的第一个非 0 的数它的下面的数全是 0（若有的话） ；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵 A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵
10、；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若 A+B,其对矩阵 A,B 的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若 AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5 初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进
11、行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2）初等变换初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵 A 做一次初等行变换成为 B，则 B=PA（其中 P 是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：7 / 352012 年 6 月 14日星期四BAr 130213221)(即则 PB 1320对于矩阵 A 作一次初等列变换成为 B，则 B=AP（其中 P 是与上述列变换相对应的初等矩阵） 。举例说明 Bc 121321)( 010B(4)矩阵 A 与 B 等价如果 A 能够通过初等变换变为 B 则称 A 与 B 等价，用式子表示就是：是初等
12、矩阵jst QPP,i211其 中每一个矩阵 A 都与矩阵 等价，其中 r 是矩阵 A 的秩，即存在0rE 0, 211i rstj EPQP使 得 ：初 等 矩 阵6 关于 n 阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设 A 是一个 n 阶矩阵，若有 n 阶方阵 B 使得AB=E 或 BA=E 则称矩阵 A 是可逆的；( 2 )n 阶方阵 A 可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵 B 使得 AB=E 或 BA=E(即定义） ；2）用 A 的行列式 ;0来 描 述 ：3）用矩阵的秩来描述： 的 阶 数 ；是 矩 阵这 里 AnAr)(4）用向量的观点来描述：矩阵 A 的行向量组（或列向量组）
13、线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组 AX=0 仅有 0 解；6）用矩阵 A 的特征值来描述：A 的特征值全不 0；8 / 352012 年 6 月 14日星期四（3）逆矩阵的性质1）若 A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若 A,B 是同阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 ;11AB3） ; nnTTkA1111 ,)(, ，4） 000,0 111 BBBA（4）逆矩阵的求法1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法： 1| ABEEA， 则一 系 列 初 等 行 变 换2）对于抽象的矩
14、阵 A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵 B 使得：AB=E ，或 BA=E，此时的 B 就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵 A 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵 A 均有此伴随矩阵 *EA使 得当 00,10* 时 ：当时 ，对于一般地方阵 A，其伴随矩阵 的秩为：*2)(011)(*nArr若若 若当 。,0*1* AAn时当时 ，（6）关于矩阵的秩1）矩阵秩的定义：在矩阵 A 中，有一个不等于 0 的 r 阶子式 ，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，
15、那么rDr 称为矩阵 A 的秩， 称为矩阵 A 的最高阶非 0 子式。规定 0 矩阵的秩是 0。rD9 / 352012 年 6 月 14日星期四2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵 A 实行初等变换其秩不变 )(BrA， 则一 系 列 初 等 变 换3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵 A 的秩其一般方法是 是 阶 梯 型 矩 阵 ） ，（一 系 列 初 等 变 换 T 行 的 行 数的 非）（则 0)(r4）有关矩阵秩的重要结论 是 实 矩 阵 ）（ 若 ArArTTnm,i)(10， 则若 )(|)(,ax,)(i,)( BrArBArBrBrrBr 若 P、Q 分别是可逆矩阵，且下
16、列运算有意义，则 )()()(PAQrAr )(0),(0 BrABrrB若 A 为 矩阵，B 为 矩阵，且 AB=0，则：nmsnrA)(此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用 来进行。EA1题型二： 矩阵可逆的计算与证明（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2）如果给定了抽象的条件，要求 ，此时注意将条件转化为 AB=E，或 BA=E,此时的 B 就是要求的 。1 1A在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以
17、及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。题型三： 关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。10 / 352012 年 6 月 14日星期四题型四： 有关初等矩阵及其初等变换的问题题型五： 解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程： 的矩阵 A,C 一般地都是可逆矩阵。这 里或或 BAXCBAX对于矩阵方程 ，则这里的矩阵 ；DE| 初 等 行 变 换， 其 一 般 的 解 法 为 ： BA1或者先求出 。A11， 再 计 算对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。题型六： 关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换
18、进行，对矩阵 A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵 T,由此可求出矩阵 A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变） ；2 利用矩阵的秩，等于矩阵 A 的行向量组的秩，等于矩阵 A 的列向量组的秩等性质。3 注意矩阵秩的有关不等式。题型七： 求一个方阵的高次幂当 A 是一个方阵的时候， 才有意义，否则没有意义。k第三章 n 维向量空间3.1 n 维向量的定义1. 定义定义： 个数 na,21 构成的有序数组, 记作 ),(21na, 称为 维行向量ia 称为向量 的第 i个分量R 称 为实向量（下面主要讨论实向量）Ci 称 为复向量零向量： )0,(负向量： ),)21na列向量： n个数 na,21
19、 构成的有序数组 , 记作na21, 或者T),(, 称为 维列向量零向量：0负向量：na21)(若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组11 / 352012 年 6 月 14日星期四3.2 n 维向量的线性运算1定义线性运算： ),(21na, ),(21nb 相等：若 ibai , 称 加法：)(21nb数乘： ),2nkak减法：( ),21nba2线性运算律： ),(21na, )2nb, ,(21c(1) (5) (2) )( (6) )lkl(3) (7) k(4) )( (8) 3.3 向量组的线性相关性1线性组合与线性表示对 n维向量 及 m,1 , 若
20、有数组 mk,1 使得k , 称 为 ,1 的线性组合, 或 可由 ,1 线性表示例如，有，所以称 是 4321,的线性组合，或 可由 4321,线性表示。判别 是否可由向量组 m,321 线性表示的定理：定理 1 向量 可由向量组 线性表示的充分必要条件是：以 m,32 为系数列向量，以 为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。2向量组的线性相关性对 n维向量组 ,1 , 若有数组 mk,1 不全为 0, 使得0k称向量组 m,1 线性相关, 否则称为线性无关线性无关：对 维向量组 , 仅当数组 mk,1 全为 0 时, 才有1k称向量组 m, 线性无关, 否则称为线性相
21、关定理 2 向量组 ,21 32140线性相关 05,0513=即12 / 352012 年 6 月 14日星期四其中至少有一个向量可由其余 321,个向量线性表示推论：向量组 m,21 40线性无关 任何一个向量都不可由其余 321,个向量线性表示定理 3 n 维向量组 ,21 线性相关 0Ax有非零解，其中 ),(21mA。推论：n 维向量组 m 线性无关 只有零解，其中 。定理 4 若向量组 ,21 线性无关, ,21m 线性相关,则 可由 线性表示, 且表示式唯一一些结论：(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2) 含零向量的任何向量组线性相关；(3) 基本向量组 ne,
22、21 线性无关；(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；(5) mn 时， m 个 n 维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ； (6) n 个 n 维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零；(7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n 向量.3.4 向量组的极大线性无关组1. 等价向量组设向量组 rT,:21 , sT,:21若 )(i可由 s 线性表示, 称 1T可由 2线性表示；若 1与 2可以互相线性表示, 称 1与 2等价(1) 自反性： 与 1等价(2) 对称性： T与 2等价 2与 1T等价(3) 传递性： 1与 等价, 与 3等价 1与 3等价等价向量组的基本性质：
23、定理 设 s,21 与 s,2 是两个向量组，如果(1) 向量组 可以由向量组 s,21 线性表示；(2) ts则向量组 s,21 必线性相关。推论 1 向量组 可以由向量组 s,21 线性表示，并且s,2线性无关，那么 t。推论 2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量组的极大线性无关组设向量组为 A, 如果在 中有 r个向量 r,21 满足：(1) 0: ,21 线性无关；(2) 任意 r个向量线性相关（如果有 个向量的话）称 r, 为向量组为 A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就
24、是其本身；(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组13 / 352012 年 6 月 14日星期四142,5,1323中，首先 21,线性无关，又 321,线性相关，所以 21,组成的部分组是极大无关组。还可以验证 32,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的基本性质：性质 1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。性质 2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。3向量组的秩与矩阵秩的关系3.1 向量组的秩定义 3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
25、，记做 ),(21sr 。例如，向量组142,5,1323的秩为 2.关于向量组的秩的结论:(1) 零向量组的秩为 0；(2) 向量组 s,21 线性无关 sr),(21 ，向量组 线性相关 .s ，(3) 如果向量组 s,21 可以由向量组 t,21 线性表示，则);,(),(21ssrr (4) 等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。3.2 矩阵的秩3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列
26、向量组成。定义 4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理 1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列) 秩。引理 2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行) 秩。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义 5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为 r(A),或 rankA，或秩 A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。3.2.2 矩阵秩的求法首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。结论：
27、行阶梯形矩阵的秩非零行的行数求矩阵秩的方法:把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。求向量组的秩、极大无关组的步骤：14 / 352012 年 6 月 14日星期四(1) 向量组 s,21 作列向量构成矩阵 A；(2) BA初 等 行 变 换 (行最简形矩阵)(3) 求出 B 的列向量组的极大无关组(4) A 中与 B 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为 A 的极大无关组。3.2.3 矩阵秩的性质(1) 等价的矩阵，秩相同；(2) 任意矩阵 ，有 )(TAr；(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若 P可逆，对于任意的矩阵 ，有 )()
28、PrAP(4) 对于 ,pnmBA.)(;)(,i);(nrOr有时 ，当3.3 矩阵的秩与行列式的关系定理 n阶方阵 A，r)(的 个行(列) 向量组线性无关,0 即 为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)的 n个行(列) 向量组线性相关.3.5 向量空间1向量空间的概念定义 1： 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指,有 ;Rk有 .一般地，由向量组 ma,21 所生成的向量空间为,212 Rax mm2向量空间的基与维数定义 2：设 V 是向量空间，如果 r 个向量 Vr,
29、21 ，且满足(1) ,21 线性无关；(2) V 中任何一向量都可由 r,21 线性表示，那么，就称向量组 r,21 是向量空间 V 的一个基，r 成为向量空间 V 的维数，记作 dimVr ， 并称 V 是 r 维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组，V 的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标定义 3：设向量空间 的基为 r,1 , 对于 , 表示式 rx1唯一（定理 2）, 称T1)(rx为 在基 r,1 下的坐标（列向量）注： 为 n维向量, 在 V的基 r,
30、1 下的坐标为 维列向量因为线性无关的“ n维向量组”最多含有 n个向量, 所以由15 / 352012 年 6 月 14日星期四n维向量构成的向量空间的基中最多含有 n个向量, 故 nr3.5 欧式空间1 内积的概念定义 1：n 维实向量nnba2121,，称 nbaba21),(Tnb 2121,为 和 的内积。若 ,为行向量，则T),(。向量空间的性质：(1) )(2) ),(,(3) k(4) 0),(等号成立当且仅当 0定义 2 实数221),(naa为向量的长度(或模，或范数)。若 1，称 为单位向量。把向量单位化：若 ,0则 ，考虑1),(1),( 22，即 的模为 1，为单位向
31、量，称为把 单位化。向量长度的性质：(1) 非负性：当 时， 0；当 时， 0；(2) 齐次性： k；(3) 柯西-施瓦兹不等式： ),(；(4) 三角不等式： 定义 3：设实向量 , , 称 ),(arcos,)0为 与 之间的夹角定义 4：若 0),(, 称 与 正交, 记作 (1) , 时, 2；(2) 或 时, 有意义, 而 ,无意义注：（1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。2标准正交基的向量组定义 5正交向量组：非零实向量 s,21 两两正交。16 / 352012 年 6 月 14日星期四正交单位向量组(标准正交向量组 )：非零实向量 s,21 两两
32、正交，且每个向量长度全为 1，即(01),jiji。定理：正交向量组是线性无关的。例如，书 p100 例 3.5.1例 1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 3使 321,构成三维空间的一个正交基.3 正交矩阵定义 6：A 是一个 n 阶实矩阵，若 EAT，则称 为正交矩阵。定理：设 A、 B 都是 n 阶正交矩阵，则(1) 或 (2) T1(3) )(即 也是正交矩阵(4) 也是正交矩阵。定理：n 阶实矩阵 A 是正交矩阵 A 的列（行）向量组为单位正交向量组。注：n 个 n 维向量，若长度为 1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。第四章 线性方程组一、基本
33、概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式： (I)mnmnbxaxa 2122 121 A= = ， 。mnmnaa 212112Amnmba 2121 mjjjmnabx212121,叫作(I)的系数矩阵， 叫作(I)的增广矩阵。(I) 还可改写为矩阵方程的形式： x和向量形式： 。bxn2112,17 / 352012 年 6 月 14日星期四齐次线性方程组的一般形式： (II)0 2122121nmmnxaxa (II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为： OA向量形式为： 。On21二、线性方程组解的性质1)如果 ， 是齐次线性方程组 的两个解，则 也是它的解。x2)如果 是齐次线性方程
34、组 的解，则 k也是它的解。A3)如果有 1， 2， s是 的解，则 k11+k22+kss也是它的解 ki为任意常数( i=1，2， s)。O4)如果 ， 是非齐次线性方程组 的两个解，则 -是导出组 的解。bOAx5)如果 是 的解， 是 的解，则 +是 的解。 xxb6)如果 是 的解， 为常数，且 ，s,21 Ask,21 121sk则 也是 的解。skkb三、线性方程组解的判定定理1、非齐次线性方程组 x1）若秩 秩 ，则 无解。)(Ab2) 若秩 秩 则 有 无 穷 多 解 。则 有 唯 一 解 ，,n具体做法：设 的增广矩阵记为 ，则 经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(需要交
35、换列时可重新排bxA列未知量的顺序)： A11221110000rnrrnrcdd 于是可知：（1）当 dr+1=0，且 r=n 时，原方程组有唯一解。（2）当 dr+1=0，且 rn 时，原方程组有无穷多解。（3）当 dr+10，原方程组无解。18 / 352012 年 6 月 14日星期四当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。2、齐次线性方程组 OAx一定有解（至少有零解） ，且秩 时，有唯一解；秩 时，有非零解，且有 个线性无关的解)(nrA)(nrn向量。具体做法：由于齐次线性方程组 的增广矩阵 的最后一列全为零，所以对 施行初等行变换， 可化为
36、：x AA11221100000rnrrnc 于是可知：(1) 当且 r=n 时，齐次线性方程组仅有零解。(2) 当 rn 时，齐次线性方程组除零解外，还有无穷多组非零解。特别地，当 mn 时，齐次线性方程组必有非零解。当 m=n 时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式 D=0。四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系有解 秩 秩bAx)(A则 有 无 穷 多 解 。则 有 唯 一 解 ，,nr有唯一解 只有零解 。OxA)(秩有无穷多解 有非零解 。bx秩五、线性方程组解的结构及基础解系的求法1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设 1， 2， s是齐次线性
37、方程组 的一组解，若OAx1 1， 2， s线性无关；2 方程组 任何一个解都可由 1， 2， s线性表出，则称 1， 2， s是 一个基础解系。OAx OAx如果齐次线性方程组有非零解(r(A)= rn)，则 一定有基础解系，并且基础解系含有 个线性无关的解向rn量。若 的基础解系含有 个线性无关的解向量，则 的任意 个线性无关的解向量都是rnOAxr的一个基础解系。x如果 1， 2， n-r 是齐次线性方程组的一个基础解系，则 的全部解为： =k11+k22+kn-r n-r，其中ki(i=1，2， n-r)为任意常数。19 / 352012 年 6 月 14日星期四若齐次线性方程组 有非
38、零解，则 r(A)=rn，对方程组 的增广矩阵 施行初等行变换，总可以化为OAxOxA如下形式： 0001000112211 rnrrncc即方程组 与下面的方程组同解OAxnrrrr rr nxcxcx 2122 12111 其中 xr+1， xr+2， ， xn 为自由未知量对这 nr 个自由未知量分别取 ， ， ， （共 nr 个）0110可得方程组(1)的 nr 个线性无关的解1= ， 2= ， ， nr = ，即为其基础解系。 0 - -1rrc 1- -21rrc 1 0-21nc2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设非齐次线性方程组 的任意一个解均可表示为方程组 的一个特解
39、与其导出组 的某个解之和。bAxbAxOAx当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为：= k11+k22+kn-r n-r，x0其中 为 的一个特解， 1， 2， n-r 是齐次线性方程组 的一个基础解系， ki(i=1，2， n-r)为任0bAx OAx意常数。III 题型归纳及思路提示20 / 352012 年 6 月 14日星期四题型 1 基本概念题（解的结构、性质和结构）题型 2 求线性方程组的通解题型 3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点）题型 4 讨论两个方程组的公共解题型 5 有关线性方程组及其基础解系的证明题题型 6 向量组与线性方程组的综合题IV 本章小结重
40、点难点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论；2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。第五章 特征值与二次型1 向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义： ，可得cosxycos()=,y,x且在直角坐标系中 123123123()()=x,y,y.将上述三维向量的内积概念自
41、然地推广到 n 维向量上，就有如下定义。定义 1 设有 n 维向量， ，12nx12ny称 为 与 的内积.12nxyxy,内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为 .,xy若、为 n 维实向量， 为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.(i) x,yy,x ，21 / 352012 年 6 月 14日星期四(ii) x,y x,y ，(iii)x+y,z x,z y,z .同三维向量空间一样，可用内积定义 n 维向量的长度和夹角.定义 2 称 为向量 x 的长度(或范数)，当x1 时称 x 为单位向量.221nxx从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（）非负性： 当 x0 时，x，当 x
42、时x.（）齐次性： x x .（）三角不等式： xyxy.（）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式: x ， y x y .由柯西-许瓦茨不等式可得（xy）.,于是我们定义，当 ， 0 时，称 arcos,yx为 x 与 y 的夹角. 当x ， y时，称 x 与 y 正交.显然，n 维零向量与任意 n 维向量正交.称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.定理 1 若 n 维非零向量 为正交向量组，则它们为线性无关向量组.12r,证 设有 使 ，分别用 与上式两端作内积(k，r )，即得12r, 1i.0k0k,.,因 ，故 ，从而 ，于是 线性无关.0k20kk,12,r 12r
43、,在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么 n 维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?定理 2 若 是正交向量组，且 n，则必存在 n 维非零向量 x，使 ，x 也为正交向量组.12r, 12r,证 x 应满足 ，即00r,x记 120r.12r,A则 ，故齐次线性方程组 Ax必有非零解，此非零解即为所求.()RnA22 / 352012 年 6 月 14日星期四推论： 个（ ）两两正交的 n 维非零向量总可以扩充成 Rn 的一个正交基.rn定义 3 设 n 维向量 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，12r,e ()V12r,e则称之为 V 的一个正交规范基(标准正交基).若 是 V 的一个正交规范基，则 V 中任一向量 可由 惟一线性表示，设为12r,e 12r,12ree则由 ，iiie得 惟一确定，i,，r.iii,=下面介绍将向量空间 的任一基 转换为一正交规范基的 Schmidt 正交化方法，其具体步骤()nVR12r,如下：取 1
