1、1 / 212013 考研数学春季基础班线性代数辅导讲义- 主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义 1 逆序设 是一对不等的正整数，若 ，则称 为一对逆序。ji, ji),(ji定义 2 逆序数设 是 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆ni21,序数，记为 ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排)(i列。定义 3 行列式称 称为 阶行列式，规定nnnaaD 212112。nn jjjj 21211)(定义 4 余子式与代数余子式把行列式 中元素 所在的 行元nnnaaD 212112iji素和 列元素去掉，剩下的 行和 列元素按照元素原来的排列次序构成的 阶j
2、 1n 1n行列式，称为元素 的余子式，记为 ，称 为元素 的代数余子式。ijaijMijiijA)(ij二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式形如 称为对角行列式，na 021。nnaa 212102 / 212、上（下）三角行列式称 及 为上（下）三角nnaa 02211 nna 210行列式， ， 。nnnaa 212210 nnnaa 212103、 ， ， 。|BAO|BAOC |BAO4、范得蒙行列式形如 称为 阶范得蒙行列式，112121),( nnnaaaV 且 。 nijjnnnaaaV112121 )(),(【注解】 的充分必要条件是 两两不等。0),(21 na,21三、
3、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即 。TD2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论 1 行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论 2 行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论 3 行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即。nniiinnniii nnnn iiiiii n aabbaaaaaabbaa 211122111221 1121 5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列） ，行列式
4、不变，即3 / 21，其中 为任意常数。nnn jjjjnijijinnjjj inii aakakakaaaa 2121 1121211 k【例题 1】设 为 4 维列向量,且 ，321,4|,|321A，求 。|3|2B|B【例题 2】用行列式性质 15 计算 。84231【例题 3】计算行列式 。21647953D【例题 4】计算 ，其中 。nn aa11132 )1(0nii（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，),2(21iAaAaDniii 。1njjjj 7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零
5、。【例题 1】用行列式按行或列展开的性质计算 。84231【例题 2】设 ，求（1） ；（2）26479543D42321M。321M4 / 21四、行列式的应用克莱姆法则对方程组 （ ） 及02122121nnnxaxa I（ ）nnbxaxa 21 22 1I其中 称为非齐方程组， 称为 对应的齐次方程组或 的导出方程组。)(I)(I)I)(I令 ，其中nnnnnnnn baDabDaaD 21211222112121212 , 称为系数行列式，我们有定理 1 只有零解的充分必要条件是 ； 有非零解（或者 有无穷多个解）的)(I 0)(I)(I充分必要条件是 。0D定理 2 有唯一解的充分
6、必要条件是 ，且 ；当 时，)(I D),21(nixi 0D要么无解，要么有无穷多个解。第二讲 矩阵一 、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵形如 称为 行 列的矩阵，记为 ，行数与mnmnaa 212112 nmijaA)(列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为 。O（2）对 ，若 ，称 为 阶方阵。nmijA)(A（3）称 为单位矩阵。1E（4）对称矩阵设 ，若 ，称 为对称矩阵。nijaA)( ),21,(njiaij A5 / 21（5）转置矩阵设 ，记 ，称mnmnaaA 212112 mnnmTaaA 21212
7、1为矩阵 的转置矩阵。TA2、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、伴随矩阵设 为 矩阵，将矩阵 中的第 行和 列去掉，余下的元素按nijaA)(Aij照原来的元素排列次序构成的 阶行列式，称为元素 的余子式，记为 ，同时称1ijaijM为元素 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子ijiijMA)1(ij式，记 ，称为矩阵 的伴随矩阵。nnnA 212121 A（二）矩阵的三则运算1、矩阵加减法设 ， ，则mnmnaa 212112 mnmnbbB 212112。 mnmmbabaA 21
8、22 12112、数与矩阵的乘法设 ，则 。mnmaaA 212112 mnmnkakaA 2122113、矩阵与矩阵的乘法：设 ， ，则mnmnaaA 212112 nsnsbbB 2121126 / 21，其中 （ ） 。msmnsccC 212112 nkjiijba1 sjm,21;,2 【注解】 （1） 推不出 。OBA,A（2） 。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若 ，则 ，再如B )2(232 B。)(62 EAEA（4）方程组的三种形式形式一：基本形式（ ）与 （ ）02122121nmmnxaxa Imnmnbxaxa 21 222 121 I（
9、 ） （ ）分别称为齐次与非齐线性方程组。I记 则方程组（ ） 、 （ ）可改写为,2121212112 mnmnmnbxXaaA I形式二：方程组的矩阵形式， （ ）0X I， （ ）bA令 ，则有 mnmnmm bxXaa 111211 ,形式三：方程组的向量形式（ ）Oxxn21 I（ ）二、矩阵的两大核心问题矩阵的逆矩阵与矩阵的秩【背景】初中数学问题：对一元一次方程 ，其解有如下几种情况)0(abx（1）当 时， 两边乘以 得 。0abx1（2）当 时，方程 的解为一切实数。,a7 / 21（3）当 时，方程 无解。0,babax矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组 ，其解有如下
10、几种情况bAX（1）设 为 阶矩阵，对方程组 ，存在 阶矩阵 ，使得 ，则 。AnnBEABbX（此种情况产生矩阵的逆阵理论）（2）设 为 阶矩阵，对方程组 ，不存在 阶矩阵 ，使得 ，方程组b是否有解？bX（3）设 是 矩阵，且 ，方程组 是否有解？nmnAX（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩）（一）逆矩阵1、逆矩阵的定义设 为 阶矩阵，若存在 ，使得 ，称 可逆， 称为 的ABEAB逆矩阵，记为 。1B【例题 1】设 为 阶矩阵，且 ，求 。nOE211)(,【例题 2】设 为 阶矩阵，且 ，求 。k)(A2、关于逆矩阵的两个问题【问题 1】 设 为 阶矩
11、阵， 何时可逆？An【问题 2】 若 可逆，如何求 ？13、逆阵存在的充分必要条件定理 设 为 阶矩阵，则矩阵 可逆的充分必要条件是 。0|A4、逆阵的求法（1）方法一：伴随矩阵法 。A|1（2）初等变换法 。)|()|(1AE初 等 行 变 换5、初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；（3）矩阵某行的倍数加到另一行，以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行
12、以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质（1） 将 的第 行与第 行或者单位矩阵 的第 列与第 列对调所得到的矩阵，如ijEijEij8 / 21。2301E性质： 1） ；1） ；|ij ijijE13） 即为矩阵 的第 行与第 行对调， 即为矩阵 的第 列与第 列对调，即Aij ijAij是对 进行第一种初等行变换， 是对 进行第一种初等列变换。Eij ij（2） 将 的第 行乘以非零常数 或 的第 列乘以非零常数 所得到的)0(ci EicEic矩阵，如 。)5(013性质：1） ；2） ；cEi|)(| )1(1c
13、Eii3） 即为矩阵 的第 行非零常数 ， 即为矩阵 的第 列非零常数 ，即Aci (AiAic为对 进行第二种初等行变换， 为对 进行第二种初等列变换。i)( )i（3） 将 第 行的 倍加到第 行或 的第 列的 倍加到第 列所得到的矩阵。kEij jkEikj性质：1） 即 第 行的 倍加到第 i行， 即 第 列的 倍加到第 列；Akij)(jk)(kAijikj2） |Eij；3） 。)()1Eijij第四步，三个问题【问题 1】 设 是 阶可逆矩阵， 可都经过有限次初等行变换化为 ？n E【问题 2】 设 是 阶不可逆矩阵， 是否可以经过有限次初等行变换化为 ？AAOr【问题 3】设
14、是 阶不可逆矩阵， 是否可以经过有限次初等变换化为 ？n r第五步，初等变换法求逆阵的理论定理 1 设 是 阶可逆矩阵，则 经过有限次初等行变换化为 ，且 。AAE)()(1AE定理 2 设 是 阶不可逆矩阵，则存在 阶可逆矩阵 和 ，使得 。nnPQOr9 / 216、逆矩阵的性质（1） 。 （2） 。A1)( 11)(Ak（3） ，更进一步 。1B1121)( Ann（4） 。TT)()(1（5） ， 。1BOAOAB1【例题 1】设可逆矩阵 的 行对调所得的矩阵为 。ji,（1）证明： 可逆。 （2）求 。1【例题 2】设 分别为 阶可逆矩阵， ，求 。BA,nm, bBaA|,|OA【
15、例题 3】设可逆阵 的 两行对调得矩阵 ，讨论 与 之间的关系。2,1【例题 4】设 , 131231323231 aaBaA，则 （ ）0,012PPBA21)( BA12)( BAPC21)( BAPD12)(【例题 5】设 ，且 ，求 。0E2（二）矩阵的秩1、矩阵秩的定义设 是 矩阵， 中任取 行和 列且元素按原有次序所成的 阶AnmAr r行列式，称为 的 阶子式，若 中至少有一个 阶子式不等于零，而所有 阶子式r 1（如果有）皆为零，称 为矩阵 的秩，记为 。)(2、矩阵秩的求法将 用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵 的A秩。【注解】（1）设 为 矩阵，则 。An
16、m,min)(Ar（2） 的充分必要条件为 。0)(rO10 / 21（3） 的充分必要条件为 。1)(ArOA（4） 的充分必要条件是 至少有两行不成比例。2（5） ，则 。Tna),(21r,01)(3、矩阵秩的性质（1） 。)()()( ArArTTT【例题 1】设 是 矩阵，证明：若 ，则 。nmO（2） 。)()(Brr【例题 2】设 ， ，证明： 。nnba11,TA2)(Ar（3） ，等价于 。)(,mi)(BrABr)(Br（口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高）【例题 3】设 分别为 与 矩阵，且 ，求 。,nmEA)(,r（4）设 ，且 ，则 。snmBA0nr)(【例题
17、4】设 为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。【例题 5】设 ，证明： 。2 AEr)()（5）设 为可逆矩阵，则 。QP, )(PQrP（6） 。)2(1)(,0,)(nArnr（7） 。Br（8） 存在非零向量 ，使得 。1)(,TA第三讲 向量一、向量基本概念1、向量 个实数 所构成的一个数组称为向量，其中 称为 维nna,21 ),(21na11 / 21行向量， 称为 维列向量，构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。na12、向量的内积： 。niiTba1),(注解（1） ； （2） ；T),(, 21|),(nia（3） ； （4） 。,),( ),(),(, kk（5）当 ，即 时，
18、称向量 与 正交，记为 ，注意零向量与0,01niiba任何向量正交。【注解】方程组的向量形式齐次线性方程组可以表示为 ；Oxxn21非齐线性方程组可以表示为 ，b其中 。 nmnmm baa 11211 ,3、线性相关与线性无关对齐次线性方程组 ，Oxxn21（1） 当且仅当 时成立，即齐次线性xn21 021nx方程组只有零解，称向量组 线性无关；n,21（2）若有不全为零的常数 ，使得 成立，即齐次k Okn21线性方程组有非零解，称 线性相关。n,214、向量的线性表示对非齐线性方程组 ，bxxn21（1）存在一组常数 ，使得 成立，即非齐线性方nk, bkkn21程组有解，称 可由
19、线性表示；21（2）若 不能成立，即非齐线性方程组无解，称 不可由bxxn21 12 / 21线性表示。n,215、向量组的秩与矩阵的秩的概念（1）向量组的极大线性无关组与向量组的秩设 为一个向量组，若n,21中存在 个线性无关的子向量组，但任意 个子向量组（如果有）线性相n,2 r r关，称 个线性无关的子向量组为向量组 的一个极大线性无关组， 称为向r n,21 r量组 的秩。n,21注解（1）若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。（2）两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。（3）向量组的极大线性无关组不一定唯一。6、向量组的等价设 与 为两个向量组，若mA,:21
20、nB,:21，nmmmnkk 2122211则称向量组 可由向量组 线性表示，若两个向量组可以相A,: nB,:21互线性表示，称两个向量组等价。二、向量的性质（一）向量组的相关性与线性表示的性质1、若 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。n,22、设 线性无关，而 线性相关，则 可由 线性表出， ,21n n,21且表示方法唯一。3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5、设 为 个 维向量，则 线性无关 。n,21 n,21 0|,|21n6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一
21、定线性相关。7、若 为一个两两正交的非零向量组，则 线性无关。n,21 n,218、设 为两两正交的非零向量组，则 线性无关，反之不对。 【例题 1】 设 线性无关， 线性相关，证明： 可由 线性表示。321,432,4321,【例题 2】设 线性无关，令 ，讨论33221, 13 / 21321,的相关性。【例题 4】设 4321,线性无关，令，讨论 的相关性。14431 , 4321,（二）向量组的秩的性质1、设 为两个向量组，若 组可由 线性表出，则 组的秩nmBA,:,: 2121 ABA不超过 组的秩。B2、等价的向量组由相等的秩。3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩
22、三者相等。【注解】 （1）设 线性无关， 线性无关的充分必要条件是 不可由n,21 bn,21 b向量组 线性表示，等价于 。n,2 1),()(21nrr （2）设 ，若向量组 可由向量组 线性表示，而向量组nmBA,:,: 211 AB不可由向量组 线性表示，则 。B)()(BrA第四讲 方程组一、线性方程组的基本概念方程组 （ ） ，称（ ）为 元齐次线性方程组。.0,2122121nmmnxaxa IIn方程组 （ ）称（ ）为 元非齐线性方程组，方程.,21 222 1mnmbxaxa IIn组（ ）又称为方程组（ ）对应的齐次线性方程组或者导出方程组。II二、线性方程组解的结构1、
23、设 为齐次线性方程组 的解，则 为sX,21 OAXsXkkX21的解，其中 为任意常数。特殊情形， 及 （ 为任意常OAsk,21 1数）都是 的解。2、设 为齐次线性方程组 的解， 为非齐线性方程组 的解，则0bA为方程组 的解。XbAX3、设 为非齐线性方程组 的解，则 为 的解。21, 21OX14 / 214、设 为 的一组解，则 为 的解的充分t,21 bAXtkk21 bAX必要条件是 。1tkk三、线性方程组解的基本定理定理 1 （1）齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是 ；OAXnAr)(（2）齐次线性方程组 有非零解（或者无穷多个解）的充分必要条件是 。r)(定理 2
24、（1）非齐线性方程组 无解的充分必要条件是 。bAX)(Ar（2） 有解的充分必要条件是 。更进一步地，当 时，bAX)(Ar nr方程组 有唯一解；当 时，方程组 有无穷多个解。nr)( bX四、线性方程组的通解（一）齐次线性方程组 的基础解系与通解OAX【例题 1】求方程组 的通解。057284315431xx【例题 2】求方程组 。225431xx【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是（1）该向量组为方程组的解。 （2）该向量组线性无关。 （3）该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。（二）非齐线性方程 的通解bAX【例题 1】设
25、方程组 无解，求 。031213xaa【例题 2】 取何值时，方程组 有解，并求出其解。ba,123)(4314321axxb【例题 3】 （1）设 为 阶阵，且 的各行元素之和为 0， ，求An 0,)(AXnR则的通解。 （2）设 为 阶阵，且 ，求 的通解。0AX,|kiA15 / 21（3）设 为四元非齐方程组， 为其 3 个解向量，且 ，bAX21,3)(AR T)8,91(，求 的通解。T)9,1(2b（4） 设为 4 维列向量组， 线性无关， ，32, 21, ),(,232113A且求 的一个基础解系。0AX（5）设 线性无关，且 ，4324321,),(421321,求 的通
26、解。【例题 3】设 为 维向量组，且 线性无关，),2,1(nriainii r,21为 的非零解，问 线性相关性。nb2101211nrrnxa ,21r方程组补充（一）理论拓展定理 1 若 ，则 的列向量组为方程组 的解。OABOAX【例题 1】设 ，证明： 。nBr)(【例题 2】设 为三阶非零矩阵， 的第一行元素 不全为零， ，且cba, kB63421，求方程组 的通解。OABOAX定理 2 若 与 同解，则 。B)(BrA【例题 1】证明： 。)()rT【例题 2】设 为 矩阵， 是 矩阵，且 ，证明： 。Asnnmnr)( )(BAr（二）方程组的公共解定理 与 的公共解即为 的
27、解。OXBOXBA【例题 1】设 都是 阶矩阵，且 ，证明： 与 有公共A,nnr)(AXOB的非零解。16 / 21【例题 2】设线性方程组（1） 与方程组（2） 。0421x04321x（1）求两个方程组的基础解系。 （2）求两个方程组的公共解。第五讲 特征值与特征向量一、基本概念1、矩阵的特征值、特征向量设 为 阶矩阵，若存在 和非零向量 ，使得AnX，称 为矩阵 的特征值，称 为矩阵 的属于特征值 的特征向量。XAXA【问题 1】设 为 阶矩阵，如何求 的特征值？n【问题 2】设 为 阶矩阵， 为 的特征值，如何求矩阵 的属于 的特征向量？002、特征多项式、特征方程令 ，nnnaaA
28、 212112称 为矩阵 的特征多项式， 称为nnnaaAE 2122121| A0|AE矩阵 的特征方程。【注解】 （1）设 为实矩阵，则 的特征值不一定是实数。A（2） 。)(212 traann （3） 。|1（4） 的充分必要条件是 。Ar)( )1(0ii【例题 1】设 ，求 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。12A【例题 2】设 ，求 的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。0A【问题 1】设 ，则 是 的特征值，问 的非零特征值个数是否与 的秩相等？nr)(AA【问题 2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数是否一致？3、矩阵相似设 为两个 阶阵，
29、若存在可逆阵 ，使得 ，则称 与B, PB117 / 21相似，记为 。BBA【注解】（1） 。 （2）若 ，则 。 （3）若 ， ，则 。ABBCA（4） ，反之不对。|EAB（5） ，反之不对。)(r（6） （其中 可逆） 。1;BTA,（7）若 ，则 ， 。BA)(trt|4、矩阵的对角化若一个矩阵和对角矩阵相似,则称矩阵可以对角化，设 是 阶矩阵，An所谓 可对角化，即存在可逆矩阵 ，使得 ，其中 为对角矩阵。P1二、特征值与特征向量的性质（一）一般矩阵特征值与特征向量的性质1、 （重要性质）不同特征值对应的特征向量线性无关。2、设 为 阶矩阵， 是矩阵 的特征值， 是矩阵 的对应于
30、的特征向量，则An0A0XA0（1）若 可逆，则 是矩阵 的特征值， 是矩阵 的对应于 的特征向量。11 11（2）若 可逆，则 为矩阵 的特征值， 是矩阵 的对应于 的特征向量。0|00|（3）设 为一元 次多项式，称011)( axxaxfnn n为关于矩阵 的矩阵多项式，则有EAAafn1 A为矩阵 的特征值， 是矩阵 的对应于 的特征向量。)(0)(f0X)(f)(0f3、矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。n（二）实对称矩阵特征值特征向量的性质1、设 为实对称阵，则 的特征根都是实数。AA2、设 为实对称阵，则 的不同特征根对应的特征向量正交。3、 可对角化 有
31、 个线性无关的特征向量。n4、设 为实对称阵， 为其特征根，则存在正交阵 ，使得n,21 Q。nTAQ1三、矩阵的对角化（一）非实对称矩阵（二）实对称矩阵18 / 21典型问题（一）特征值、特征向量的性质【例题 1】设 为四阶矩阵， ，且 的特征值为 ，则 。ABA51,432_|1EB【例题 2】设 为可逆矩阵， 为 的一个特征值，则 的一个特征值为0)(。_【例题 3】设 为 的两个不同的特性根， 分别为 所对应的特征向量，21， A21,X21，则 不是特征向量。21X（二）特征值、特征向量的求法【思路分析】特征值的求法常见有三种方法：（1）公式法，即通过 求 的特征值。0|AE（2）定
32、义法（3）关联矩阵法【例题 1】设矩阵 的每行元素之和分别为 ，其中 可逆。 （1）求 的每行元素B, ba,A1之和；（2）求 的每行元素之和。A【例题 2】设 为 阶矩阵，且 ，求 的特征值。nOA2【例题 3】设 ，且 ，令 ，求 的特征值及重数。nnba11,3),(TA【例题 4】 是三阶矩阵， 线性无关，A321,，求矩阵 的特征值。2132321, AA（三）矩阵对角化问题【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有：（1）矩阵的特征值是否为单值。（2）矩阵是否存在 个线性无关的特征向量。n（3）矩阵是否为实对称矩阵。【例题 1】设 且 ，证明 可对角化。dcbaA0cA【例题 2】设
33、，证明 不可以对角化。26157319 / 21【例题 3】 ，求 的特征根、特征向量，以及是否可以对角化？12AA【例题 4】设 为非零矩阵，且存在正整数 ，使得 ，证明 不可以对角化。kOAk【例题 5】设 有三个线性无关的特征向量，求 满足的条件。01yxAyx,【例题 6】 ,有解但不唯一,(1)求 的值;(2)求可逆阵 ,AXa,21, aP使得 为对角阵;(3)求正交阵 ,使得 为对角阵。AP1 QT（四）求矩阵【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为：（1）求 的特征值。（2）求 的不同特征值对应的线性无关的特征向量（注意：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交）（3）
34、令 ，由 得 。),(21nPnAP11 11PAn【例题 1】设 ，求 。 21,2),31(, 313 iAi A【例题 2】设三阶实对称阵 的特征值分别为 ， 的属于特征值 的特征向量分别,A,为 。 （1）求 的属于特征值 的特征向量；（2）求 。TT),2(,)1,(1 3A第六讲 二次型及其标准型一、基本概念1、二次型含 个变量 且每项皆为二次的齐次多项式nnx,21称nijjinnn xaxaxaaxf 1,1212121),( 为二次型。20 / 21令 ， ，则 。矩阵 称为二次型的矩nxX21 nnnaaA 212112 AXfT)(阵，显然 ，即二次型的矩阵都是对称矩阵，
35、矩阵 的秩称为二次型的秩。T2、标准二次型只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。3、矩阵合同设 为 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得 ，称矩阵 与BA, PBATA合同，记为 。B4、二次型的标准化设 为一个二次型，若经过可逆的线性变换AXfT)(（即 为可逆矩阵）把二次型 化为PYXfT)(，称为二次型的标准化。221)()( mTPYXT yllyAf 5、规范二次型二次型的标准型的系数为 和 的标准型，称为二次型的规范型。二、二次型标准化方法（一）配方法【例题 1】用配方法化二次型 为标准型。3212321321 45),( xxxf 【例题 2】用配方法化二次型 为标准型。2（二
36、）正交变换法（1）求 的特征值 。An,21（2）求 的线性无关的特征向量 。n,21（3）将 进行施密特正交化和规范化得 ，令 。n,21 n,21 ),(21nQ（4） 。221)( nTQYXT yyAf 【例题 1】用正交变换法化二次型为标准型。323121232132 44),( xxxxf 【例题 2】设 。3212 8),(f （1）写出二次型的矩阵形式；（2）用正交变换法求二次型的标准型，写出正交阵。三、正定矩阵与正定二次型1、正定二次型定义若对任意的 总有 ，称 为正定二次型，OX0AXTT称为正定矩阵。A2、正定二次型的判别法21 / 21方法一：定义法【例题 1】设 都是 阶正定矩阵，证明： 为正定矩阵。BA,nBA【例题 2】设 为可逆矩阵， ，证明： 为正定矩阵。PPT【例题 3】设 为 阶实对称正定阵, 为 实阵,证明: 是正定矩阵的充分必要mnmAT条件是 。r)(方法二：特征值法【例题 1】设 为正定矩阵，证明： 为正定矩阵。A1A【例题 2】设 为正定矩阵，证明： 。|E方法三：顺序主子式法是实对称矩阵，则 正定的充要条件是 。0|,0211 Aa【例题 1】设二次型 为正定二次型，求313213214),( xtxxf 的范围。t
