1、穿插滚动练(四)1设全集 Ux |xb0，且 ab1，若 0ab1，plog c logc log c 0，qp.1a b 1a b 2ab 14ab 146(2014徐州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g( x)满足 a x，且 f( x)g(x)0.55 1与 1的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角，BC AB 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 .5510类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x) a xa x ，C(x)a xa x ，其中 a0，且 a1，下面正确的运算公式是_S(x y)S(x)C(y )C(x) S(y)；S(x y)S
2、(x)C(y )C(x) S(y)；2S(x y)S(x )C(y)C(x) S(y)；2S(x y)S(x )C(y)C(x) S(y)答案 解析 经验证易知错误依题意，注意到 2S(xy)2(a xy a xy )，又 S(x)C(y)C(x)S(y)2(a xy axy )，因此有 2S(xy)S(x) C(y)C (x)S(y)；同理有 2S(xy) S(x)C(y)C(x)S (y)，综上所述，填 .11如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_答案 16解析 利用三棱锥的体积公式直接求解 1
3、11.3DEFDEDEVSAB 111 .13 12 1612(2014北京)若等差数列a n满足 a7a 8a 90，a 7a 100，a 80.a 7a 10a 8a 90 ，且 x1x 2a30 ，且 x3x 4a32 ，x 3x4a1，联立可得 a9，综上知，09.15已知函数 f(x)2sin x， g(x)2sin ，直线 xm 与 f(x)，g( x)的图象分别交于 M、N(2 x)两点，则 MN 的最大值为_答案 2 2解析 构造函数 F(x)2sin x2cos x2 sin ，故最大值为 2 .2 (x 4) 216(2014辽宁)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别
4、为 a，b，c，且 ac，已知 2， cos B ，b3.求：BA BC 13(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值解 (1)由 2 得 cacos B2.BA BC 又 cos B ，所以 ac6.13由余弦定理，得 a2c 2b 22accos B.又 b3，所以 a2c 2926 13.13解Error!得Error!或Error!因为 ac，所以 a3，c 2.(2)在ABC 中，sin B ，1 cos2B1 132 223由正弦定理，得 sin C sin B .cb 23 223 429因为 abc，所以 C 为锐角，因此 cos C .1 sin2C1 4292 79
5、于是 cos(BC) cos Bcos Csin Bsin C .13 79 223 429 232717.如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE，AE EBBC，F 为 CE 上的点，且BF平面 ACE.(1)求证：AEBE；(2)设 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得 MN平面DAE.(1)证明 AD平面 ABE，ADBC， BC平面 ABE，AE平面 ABE，AEBC.又BF平面 ACE，AE平面 ACE，AEBF.BCBFB，AE平面 BCE，又 BE平面 BCE，AEBE.(2)解 在ABE 中过 M 点作 MGAE 交 BE
6、 于 G 点，在BEC 中过 G 点作 GNBC 交 EC于 N 点，连结 MN，则由比例关系易得 CN CE.13MG AE，MG平面 ADE，AE平面 ADE，MG 平面 ADE.同理，GN平面 ADE.又GNMGG，平面 MGN平面 ADE.又 MN平面 MGN，MN平面 ADE.N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点18为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能 2 万千瓦，可提供就业岗位 24 个，增加 GDP 260 万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能 4 万千瓦，可提供就业岗位 32 个，增加 GDP 200 万元，已知
7、该地为甲、乙两项目最多可投资 3 000 万元，配套电能 100 万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800 个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的 GDP 最大？解 设甲项目投资 x(单位：百万元) ，乙项目投资 y(单位：百万元)，两项目增加的 GDP 为z260x 200y，依题意，x、y 满足Error!所确定的平面区域如图中阴影部分，解Error!得Error!即 A(10,20)解Error!得Error!即 B(20,10)设 z0，得 y1.3x ，将直线 y1.3x 平移至经过点 B(20,10)，即甲项目投资 2 000 万元，乙项目投资 1 000 万元时，两项目增加
8、的 GDP 最大19(2014浙江)如图，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面BCDE，CDEBED 90，ABCD2，DE BE 1，AC .2(1)证明：DE 平面 ACD；(2)求二面角 BADE 的大小(1)证明 在直角梯形 BCDE 中，由 DEBE1，CD 2，得 BDBC .2由 AC ，AB2，2得 AB2AC 2 BC2，即 AC BC.又平面 ABC平面 BCDE，平面 ABC平面 BCDEBC，从而 AC平面 BCDE，又 DE平面 BCDE，所以 ACDE.又 DEDC，从而 DE平面 ACD.(2)解 方法一 (1)如图(1)，作 BFAD，与 AD 交于点 F
9、，过点 F 作 FG DE，与 AE 交于点 G，连结 BG，由(1)知 DEAD，则 FGAD.所以BFG 是二面角 BADE 的平面角在直角梯形 BCDE 中，由 CD2BC 2BD 2，得 BD BC，又平面 ABC平面 BCDE，得BD平面 ABC，从而 BDAB.由于 AC平面 BCDE，得 ACCD.在 Rt ACD 中，由 DC2，AC ，得 AD .2 6在 Rt AED 中，由 ED1，AD ，得 AE .6 7在 Rt ABD 中，由 BD ， AB2，AD ，得2 6BF ，AF AD，从而 GF ，AG .233 23 23 273在ABE ，ABG 中，利用余弦定理分
10、别可得cosBAE ，BG .5714 23在BFG 中，cos BFG .GF2 BF2 BG22BFGF 32所以BFG ，6即二面角 BADE 的大小是 .6(2)方法二 以 D 为原点，分别以射线 DE，DC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图 (2)所示由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0) ，A(0,2， )，B(1,1,0)2设平面 ADE 的法向量为 m( x1，y 1，z 1)，平面 ABD 的法向量为 n(x 2，y 2，z 2)，可算得 (0，2， )， (1，2， )， (1,1,0) AD 2 AE 2 DB
11、由Error!得Error!可取平面 ADE 的一个法向量 m(0,1 ， )2由Error!得Error!可取平面 ABD 的一个法向量 n(1，1， )2于是|cosm，n| .|mn|m|n| 332 32由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角 BADE 的大小是 .620已知各项全不为零的数列a n的前 n 项和为 Sn，S n ，nN *.n1 an2(1)求证：数列a n为等差数列；(2)若 a23，求证：当 nN *时， .1a1a2 1a2a3 1anan 112证明 (1)由 S1 a 1知 a11.1 a12当 n2 时，a nS nS n1 ，n1 an2 n 11 an
12、 12化简得(n2) an( n1)a n1 10，以 n1 代替 n 得(n1)a n1 na n10.两式相减得(n1)a n1 2( n1) an(n1)a n1 0.则 an1 2a na n1 0，其中 n2.所以，数列a n为等差数列(2)由 a11，a 23，结合(1)的结论知 an2n1(n N *)于是 1a1a2 1a2a3 1anan 1 113 135 12n 12n 1 (1 ) ( ) ( )12 13 1213 15 12 12n 1 12n 1 (1 ) .12 12n 1 12即当 nN *时， .1a1a2 1a2a3 1anan 11221(2014盐城模拟)已知函数 f(x)ln xax1 在 x2 处的切线斜率为 .12(1)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间；(2)设 g(x) ，对x 1(0，)，x 2( ，0) 使得 f(x1)g(x 2)成立，求正实x2 2kx kx
