1、2015 重庆高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合 ，则 A B C D2.已知 i 为虚数单位，复数 对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( ) A. yx 31 B. ylog 2(|x|2) C. y() |x| D. y2 |x|4.将函数 的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的一个可能取值为A B C D5.已知向量 =（3
2、cos，2）与向量 =（3，4sin）平行，则锐角 等于（ ）A B C. D 6.棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是A B C 4 D 37.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为A.7 B.9 C.11 D.138.已知函数 的两个零点为 并且 则的取值范围是（ ）A B C D 9.如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B( ,1)，C( ,1)，D(0,1)，正弦曲线 和余弦曲线 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形 ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A B C D 10.已知定义在 上的
3、函数 满足： ；对所有 ，且 ，有 若对所有 ， ，则 的最小值为（ ）A B C D来源:二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置11.已知 ，则 12.已知数列a n，a n=2n，则 + + = 13.设 x，y，z0，满足 xyz+y2+z2=8，则 log4x+log2y+log2z 的最大值是 考生注意：（14） 、 （15） 、 （16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14.（几何证明选讲选做题）如图 2，圆 的直径 ，直线 与圆 相切于点 ， 于点 D，若 ，设，则 _ 15.在直角坐标系 中，以原点
4、为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系若曲线经过曲线 的焦点，则实数 的值为_。16.不等式 的解集是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内17.(本小题满分 8 分) 已知抛物线 C：y=-x 2+4x-3 .（1）求抛物线 C 在点 A（0，3）和点 B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线 C 与它在点 A 和点 B 处的切线所围成的图形的面积.18. 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖，甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、
5、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖（1）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；（2）求该节目投票结果中所含“获奖”和“ 待定”票票数之和 X 的分布列及数学期望19.（本小题满分 10 分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，动点 满足，当 时， .（1）求棱 的长；（2）若二面角 的大小为 ，求 的值.20. 已知数列 na的前 项的和为 nS, 且*121nNS.（1 ）求 1S, 2及 ；（2 ）设 nab)(, 数列 nb的前 项和为 nT
6、, 若对一切 n均有)316,1(2mTn，求实数 的取值范围21. 如图，曲线 1C是以原点 O为中心、 12,F为焦点的椭圆的一部分，曲线 2是以 为顶点、 为焦点的抛物线的一部分， A是曲线 1C和 2的交点且 21AF为钝角，若 17AF， 25（I）求曲线 C和 2的方程；（）过 2作一条与 x轴不垂直的直线，分别与曲线 12,C依次交于 ,BCDE四点，若G为 CD的中点、 H为 BE的中点，问：2BEGFDH是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由 22.（本小题满分 13 分）已知无穷整数数集 （）具有性质 ：对任意互不相等的正整数 ， ， ，总有若 且 ，判断 是否属于 ，并
7、说明理由；求证： ， ， ， ， ， 是等差数列；已知 ， 且 ，记 是满足 的数集 中的一个，且是满足 的所有数集 的子集，求证： ， 互质是 的充要条件2015 重庆高考压轴卷数学理 word 版参考答案 来源:一DBCBA CCBBB来源:11.11 12.113. 14. 15.4 16.17.(1) 2yx， 1(0),(3)2ky，所以过点 A（0，3）和点 B(3，0)的切线方程分别是 43yx和 26yx，两条切线的交点是 (,)2，4 分(2)围成的区域如图所示：区域被直线 32x分成了两部分，分别计算再相加，得： 即所求区域的面积是 94. 8 分来源:.Com18. （1
8、）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件 A，则事件 A 包含该节目可以获 2 张“获奖票”或该节目可以获 3 张“ 获奖票”，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率为 ，且三人投票相互没有影响，某节目的投票结果是最终获一等奖的概率：P（A）= = （2）所含“获奖” 和“ 待定”票数之和 X 的值为 0，1，2，3 ，P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，X 的分布列为：X 0 1 2 3 P E（X）= =219.（1）以点 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，所以 ， ，
9、， 当 时，有 来源:.Com解得 32m，即棱 1CD 的长为 32. （2）设平面 的一个法向量为 ，则由 ，得 ，即 ，令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，6分又平面 与 轴垂直，所以平面 的一个法向量为 ，因二面角 的平面角的大小为 ，所以 ，结合 ，解得 . 10分20. （1） 2S， 6， )1(nS；（2 ）由（1 ）得 na2， nb)41(， )31,41(3nT 31642m，解得 5m21. （）解法一：设椭圆方程为12byax，则 a625721AF，得 3a.设 )0,(,(),21cyx，则22)7()(ycx，25(c，两式相减得3x，由抛物线定义可知 25
10、2cxAF，则2,1c或 2,1c（舍去）所以椭圆 1C方程为 89yx，抛物线 2C方程为 xy42.4 分解法二：过 F作垂直于 轴的直线 cx，即抛物线的准线，作 AH垂直于该准线，作xAM轴于 ，则由抛物线的定义得 AF2，所以21212 H657221 F6522M，得 2121F，所以 c1，822cab( a625721AF，得 3a）,因而椭圆 1C方程为1892yx，抛物线 2C方程为 xy424 分（）设 234(,)(,)(,)(,)BExD把直线221212289160,966,.()48xyykkykxyx代 入 得 则同 理 将 代 入 得 ：34342123412
11、221342234113222240,;(=(6)()8941()kyyykBEGFCDHyyykk（ ）（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ） .16为 定 值22.（）解：13A设 13A，则由1，21A，性质 P 可得 1+|13-9|=5A，与 5A 矛盾，13A；（）证明：对任意 k+2n，由性质 P 可得 21kka， 12kka， A且 212kkka， 121kk， 2a，a 1，a 2，a 3，a n是等差数列；（）解：由（）可知，a1，a2，a3，an 公差为 d，且 dZ设 ai=0，aj=x，ak=y，ijk，则 y=（k-i）d，x=（j-i）d，首先证明：x，y 互质是 M=N 的充分条件x，y 互质，d=1，M 是满足0，x，yA 的所有数集 A 的子集，M=N；其次证明 x，y 互质是 M=N 的必要条件假设 x，y 不互质，则 x，y 有大于 1 的因数 p，满足条件 A=a1，a2，a3，an，中的元素所构成的数列a1，a2，a3，an，的公差 d 可以取 1，也可以取 p，此时 A=0，p，2p，（n-1）p，满足条件，且=0，p，2p，（n-1）p，N，与 M=N 矛盾，x，y 互质，x，y 互质是 M=N 的充要条件
