1、2015 届湖北省黄石二中高三下学期 5 月适应性考试理科数学试题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知 且 ，则“ ”是“ 的 （ ）0a11ba“0)(baA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知命题 ： ，命题 ： ，则下列命题是真p4,020xRxqxRx32,命题的是（ ）A. B. C. D.q)(q)(pqp)(3。设随机变量 ，,2N若 ，则 的值为（ ）1)()0(PA. B.21C. D.4.已知实数 ，执行如图所示的程序框图，17,3x若输
2、出的 不大于 的概率为 ，82则在图中空白的判断框中应填入（ ）A. B.?2n?nC. D.455.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的新函数图象关于原点1)2(cosxy 12对称，则 的一个可能取值为（ ）A. B. C. D.6553326某几何体的正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，正视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A. B.344C. D.067已知 满足 （ ） ，每一对整数 对应平面上一个点，yx,20Zyx, ),(yx则过这些点中的其中 3 个点可作不同的圆的个数为（ ）A. B. C. D.45630
3、27正视图 俯视图8在 中， 是 边上的高， ，若 ，点 满足ABCD10,5BCADC32P，则 的值为（ ）P)1(PA. B. C. D.292399.设双曲线 的两条渐近线与直线 分别交于 A,B 两点，)0,(2bayx cax2为该双曲线的右焦点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ F6AFB）A. B. C. D.),1( )2,()2,1( ),2(10已知函数 ，若存在 ，使得关于 的方程xaxf|)(04ax有三个实数根，则实数 的取值范围为（ ）)(atxf tA. B. C. D.89,1)2,89()2,1()4,2(二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答
4、5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（一）必考题（11-14 题）11设复数 满足 ，则复数 的模 是_zii23)1(z|12设 ，则 展开式的常数项为_12cos3dxxm6)1(xm13已知 ，则 的32,0, zyzy 222 )13()6()41( xzy最小值为_14若正整数 （其中 ，则称 为naaM21 ),21Nan na21的一个“分解积” 。（1）当 时， 的“分解积”的最大值为_；7（2）当 （ ）时， 的“分解积”的最大值为_。3mNM（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，如果全选，则按第 15 题结果计分）15 （选修 41：几何证明选讲）如
5、图所示， 与 是 的直径，ABCDO， 是 延长线上一点，连接 交PPC 于点 ，连接 交 于点 ，OEF若 ，则 _216 （选修 44：坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的xyx 1CA BDCO F PE极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数，1)3cos(2Csin4coyax） ，若曲线 与 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 _Ra1C2三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别是 ，且 。AB, cba, AcCa
6、os)2(（1）求角 的大小；C（2）若 ， ，求 的面积。BAsin62sin3AB18 （本小题满分 12 分）已知数列 满足： （ ）且 。na1nnaN61272a（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；nS（2）将数列 的前 4 项抽去一项后，剩下 3 项按原来的顺序恰为等比数列 的前 3nb项，记数列 的前 项和为 ，若存在 ，使对任意的 ，总有nbnTmNn成立，求实数 的取值范围。mnTS19 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，且 底面 ，ABCDPPABCD， ，点 是线段 （包括端点）上的动点。2AB,460EB（1）探究点 位于何处时，平面 平面
7、 ；EPAD（2）设二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成角为 ，求证： 。2EDCBAP20 （本小题满分 12 分）从 地到 地有甲、乙两条线路，甲线路是 ，乙线路是ABBDCA，其中 段、 段、 段都是易堵车路段，假设这三条路HGFEEFGH段堵车与否相互独立，这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表 1 所示。经调查发现，堵车概率 在 上变化， 在 上变化。在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费x)1,32(y)21,0(元，走乙线路需汽油费 元。而每堵车 1 小时，需多花汽油费 20 元。为了估计5054段平均堵车时间，调查了 100 名走甲线路的司机，得到表 2 数据。CD表 1 表 2
8、（1）求 段平均堵车时间 的值；CDa（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率。21 （本小题满分 13 分）已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且直线 与两坐标12byax0a23e1byax轴围成的三角形的面积为 1。（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，21,F过右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，2Fl NM,求 的内切圆的面积的最大值以及此时直线 的方程。MN1 l22 （本小题满分 14 分）已知函数 （ ）3ln)(axxf 0（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，试求实数 的取值y)2(,f 4
9、5m堵车时间（单位：小时） 频数0,1 8（1，2 6（2，3 38（3，4 24（4，5 24CD 段 EF 段 CH 段堵车概率 x y 41平均堵车时间（单位：小时） a 2 1xyOF1 F2NM范围，使得函数 在区间 内总存在极值；（其中 为)(2)(3xfmxg)3,2( )(xf的导函数）)(xf（3）求证： （ ）n1l4ln2l N,黄石二中 2015 届高三年级五月份适应性考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题C B A B C C D C B A二、填空题11 12. 13.1016542714 15. 16.2m33106a三、解答题17解：（1）因为 ，AcCabos
10、)(由正弦定理得： 。Binsin即 ，ACcoicsin2 BCsincoi2从而 ，又 ，故 。6 分o03（2）设 的外接圆半径为 ，由题意得 ，R32sini由 得：BABAsin62sin ab62)(即 ab又由余弦定理得： ，Cabccos29即 093)(2将代入有： ，解得： 或 （舍去）)(232ab从而 。12 分43sin1CabSABC18解：（1）由 得：111na数列 是公差 的等差数列。又由 得：nd 627227a ， 。4 分671a )9()(1dnS（2）由题意知 ，则等比数列 的公比 。,2,41bbnb21bq其前 项和 ，显然 是关于 的递增函数n
11、)1(82)(nnTnT 7 分84n又 ， 9 分481)29(12)9(nnS 10)(54maxSSn若存在 ，使对任意的 ，总有 成立，NmNT则 ，故实数 的取值范围为 。12 分810219解：（1）如图，过点 作直线 垂直于 交直线 于点 ，则AMADBCM， ， 。36sinABM160cosB3以点 为原点，直线 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系。PD,xyz则 ， ， ，设点 ， （ ）)0,4(D),(P)0(),3(tEt， 。4 分tE)4,0(4,P设平面 的法向量为 ，,11zyxn由 得： ，01An0341tz),3(tn设平面 的法向量为PED),(
12、22zyx由 可求2 34tn若平面 平面 ，则 ， 。解得： 。A02103)4(t 31t或故点 是 中点或者与点 重合时，平面 平面 。8 分EBCPAED（2）因为平面 的法向量为D, ，23)4(,cos2tnP 23)4(,cosin2tn则 ，又 均为锐角，从而 。12 分si, 20解：（1）以频率代替概率，可得：3 分31024927108562308a（2）设走甲线路所花汽油费为 元，则 。5 分xaxE6055)(设走乙线路多花的汽油费为 元，因段为与段堵车与否相互独立。 ，43)(1)( yyP )(4)2yP，401)60(从而 。8 分501632)(3)( yyy
13、E走乙线路所花汽油费的数学期望为 9 分EE4)(54)(依题意，选走甲线路应满足 ，即0405(xy x又 210,32yxEDCBAPyxzM由几何概型的概率计算公式可得： 。12 分872134)65( 选 甲 路 ）P21解：（1）由 得：23aceac又由直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 得：1byx 2ab将上述条件代入 ，解得： 。22 ,42b故椭圆 的方程的方程为 。3 分14yx（2）设 ，不妨设 。设 的内切圆的半径为 。),(),(21NyxM0,2yMNF1R易知 的周长为 。 ，则 。F8aSMNF 4|)|(|1 5 分因此，若 最大，则 最大， 的内切圆
14、的面积也最大。MNS1R又 )(3|221211 yyF 7 分由题设知，直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，l l3myx代入 ，消去 得： 。42yxx013)4(2ym则 ， 。4321121y 。4)(1 y ，令 ，则 。4321mSMNF 12mtt，当且仅当 ，即 时取等号。31 tt 32m ，所求内切圆的面积的最大值为 。2,4R4此时直线 的方程为 或 13 分l 0yx 032yx22解：（1） （ ） ，3ln)(af （ ）)1( 当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 ；0a)(xf ,0),1(当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 。4 分)(0（2）函数 的图象在点 处切线的倾斜角为 ，y2,f 45xyOF1 F2N M ，从而12)(af 2)(,2xf ，则 。xmxg3)43mg要使函数 在区间 内总存在极值，只需)(),( 03(,(g解得： 97所以当 时，函数 在区间 内总存在极值。9 分937)(xg)3,2(（3）令 ，此时 ， 。1aln)(f 1f由（1）题中结论可知： 在 上单调递增。,x当 时， ，从而 。),(x2x因为 ， ，则 ，Nn2l0nl0从而 。14 分n143214l3l
