1、第十章 圆锥曲线方程 1 6 1 心得体会证:设A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,Q(x,y) ,由题意知PAAQ =PBQB,设A在P,Q之间,PA =AQ ( 0 ) ,又Q在P,B之间,故PB = -BQ ,因为PB BQ ,所以0 b 0 )过点M( 2 , 1 ) ,且左焦点为F1 ( - 2 , 0 ).( 1 )求椭圆C的方程;( 2 )当过点P( 4 , 1 )的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足|AP | |QB | = |AQ | |PB | .证明:点Q总在某定直线上.【分析】 用待定系数法求解椭圆的方程,巧妙地利用定比分点解答
2、点Q的轨迹问题.【解析】 ( 1 )由题意知c2 = 22a2 +1b2 = 1c2 =a2 -b2 ,解得a2 = 4 ,b2 = 2 ,所求椭圆方程为x24 +y22 = 1 .图 10-30( 2 )如图1 0-3 0所示,设A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,Q(x,y) ,由题意知PAAQ =PBQB,不妨设A在P,Q之间,PA=AQ ( 0 ) ,又Q在P,B之间,故PB = -BQ ,因为PB BQ ,所以0 b 0( ),如图1 0-3 1所示,作辅助线,设Ax1 ,y1( ),Bx2 ,y2( ),易知R t FMR R t AHB,所以FRAB=FMAH=AF-
3、BF2x1 -x2 =AF-BF2x1 -x2( )由定义知AF+AF= 2a ,从而AF-AF=AF2 -AF22a=(x1 +c) 2 +y21 - (x1 -c) 2 +y21 2a= 2ex1 . + 2得AF=a+ex1 ,同理BF=a+ex2 . - 得AF-BF=ex1 -x2( ),代入式( )得FRAB=ex1 -x2( )2x1 -x2=e2 .类比椭圆,在双曲线中有FRAB=e2 .第十章 圆锥曲线方程 1 6 3 心得体会图 10-32在抛物线中,设抛物线方程为y2 = 2pxp 0( ),如图1 0-3 2所示,作辅助线方法同椭圆中,得FRAB=AF-BF2AH=AF
4、-BF2AS-BT=AF-BF2AF-BF= 12 .即FRAB= 12 =e2 (抛物线离心率为1 ).【例10.55】 ( 2 0 1 0全国理, 1 2 )已知椭圆C:x2a2 +y2b2 = 1ab 0( )的离心率为32 ,过右焦点F且斜率为kk 0( )的直线与C相交于A,B两点,若AF = 3FB ,则k= ( ).A . 1 B . 2 C . 3 D . 2图 10-33【解析】 如图1 0-3 3所示,不妨设AF = 3 ,则FB = 1 ,MF = 1 ,RF =e2AB= 2e= 3 ,在R t FMR中,k= t a n RFM=RMFM= 3 - 11 = 2 .故
5、选B .【评注】 若lAB的倾斜角为,且AF =FB 0( ),则c o s=- 1e+ 1( ).【变式1】 ( 2 0 0 9全国理, 1 1 )已知双曲线C:x2a2 -y2b2 = 1a 0 ,b 0( )的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A,B两点,若AF = 4FB ,则C的离心率为( ).A . 65 B . 75 C . 85 D . 95图 10-34【变式2】 ( 2 0 1 0全国理, 1 6 )已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且BF = 2FD ,则C的离心率为 .【变式3】 ( 2 0 0 7重庆文, 2 1 )如图1
6、0-3 4所示,倾斜角为的直线经过抛物线y2 = 8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.( 1 )求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;( 2 )若为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:FP-FPc o s 2为定值,并求此定值. 模型二:三大圆锥曲线中(双曲线需同支) ,设过焦点F且不平行于焦点所在坐标轴的弦为AB,则1AF+ 1BF为定值4L(L为通径长).证:设椭圆x2a2 +y2b2 = 1ab 0( ),如图1 0-3 5所示,过点F作lx轴于点F,过点A,B分别作AH1 ,BH2垂直于l于点H1 ,H2 ,设Ax1 ,y1( ),Bx2 ,y2( ),lAB的倾斜角
7、为,不妨设x2 0( ),如图1 0-3 6所示,过点A,B分别作垂线AS,BT垂直于准线l于点S,T,过F作垂直于x轴的直线交AS与BT的延长线(或反向延长线)于点H1 ,H2 ,在R t AH1F中,AH1 =AFc o s ,图 10-36又AH1 =AS-SH1 =AF-p ,将式代入式得AF-p=AFc o s,得AF=p1 - c o s,所以1AF= 1 - c o sp.同理,在R t BH2F中,可得1BF= 1 + c o sp.由 + 得, 1AF+ 1BF= 2p,为定值.【评注】 本结论对于AB为通径也成立,且上述结论可统一为1|AF| +1|BF| =4L(L为通径
8、长).【例10.56】 ( 1 ) ( 2 0 1 0重庆文, 1 3 )已知过抛物线y2 = 4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,AF= 2 ,BF= .( 2 ) ( 2 0 1 0重庆理, 1 4 )已知以F为焦点的抛物线y2 = 4x上的两点A,B满足AF = 3FB ,则弦AB的中点到准线的距离为 .【解析】 ( 1 )由1AF+ 1BF= 2p= 1 ,得12 + 1BF= 1 ,故BF= 2 .( 2 )如图1 0-3 7所示,因为AF = 3FB ,所以设FB =r,则AF = 3r,由1AF+ 1BF= 2p,知13r+ 1r= 22 ,即r= 43 .因为点M为线段A
9、B的中点,所以MN= 12AS+BT( )= 12AF+BF( )= 12r+ 3r( )= 2r= 2 43 = 83 .【变式1】 ( 2 0 1 0北京宣武二模理, 8 )如图1 0-3 8所示,抛物线C1 :y2 = 2px和圆C2 :第十章 圆锥曲线方程 1 6 5 心得体会x-p22+y2 =p24 ,其中p 0 ,直线l经过C1的焦点,依次交C1 ,C2于A,B,C,D四点,则AB CD的值为( ).A .p24 B .p23 C .p22 D .p2图 10-37图 10-38 模型二的推广:三大曲线(椭圆、双曲线(同支) 、抛物线)中,设Pi(i= 1 , 2 ,n,n ,n
10、 2 )为曲线上的动点,点F为曲线的焦点,且线段FP1 ,FP2 ,FPn把圆周角F分成n等份,则ni= 11FPi为定值,2nL(L为通径长).证: 对于椭圆x2a2 +y2b2 = 1ab 0( ),由题意可设1 = x+FP1 =,则i= x+FPi=+ 2i- 1( )ni= 1 , 2 , ,n( ),且由模型一知1FPi=1 -ec o sib2ai= 1 , 2 , ,n( ),所以ni= 11FPi= ni= 11 -ec o sib2a=nab2 -cb2 ni= 1c o si( ).因为i=+ 2i- 1( )n,所以单位向量FPiFPi的终点均匀分布在以F为圆心的单位圆
11、上,所以ni= 1FPiFPi =0( ).(证明:可把FPiFPi逆时针旋转2 n,则式( )左边不变,其右边只能为0).所以ni= 1c o si, s i ni( )=0,即有ni= 1c o si= 0 ,代入式( )得ni= 11FPi=nab2 -cb2 0 =nab2为定值.类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有ni= 11FPi=nab2 .对于抛物线y2 = 2pxp 0( ),设1 = x+FP1 =,则i= x+FPi=+ 2i- 1( )ni= 1 , 2 , ,n( ),新课标高考数学题型全归纳 1 6 6 心得体会由模型一中知1FPi=1 - c o sip,所以ni=
12、 11FPi= ni= 11 - c o sip=np-1pni= 1c o si,由中证明知ni= 1c o si= 0 ,代入上式得ni= 11FPi=np为定值.【评注】 上述结论可统一为ni= 11|FPi| =2nL(L为通径长).【例10.57】 ( 2 0 0 7重庆理, 2 2 )在椭圆x23 6 +y22 7 = 1上任取三个不同的点P1 ,P2 ,P3 ,使P1FP2 = P2FP3 = P3FP1 ,其中F为右焦点,求证: 1FP1+ 1FP2+ 1FP3为定值,并求此定值.【解析】 解法一:设椭圆的右顶点为A,以F为极点,AF的延长线为极轴,建立极坐标系,并设AFPi=
13、ii= 1 , 2 , 3( ), 0 ib 0( ).设Px0 ,y0( ),Ax1 ,y1( ),Bx2 ,y2( ).令x0 =ac o s,y0 =bs i n,Aac o s,bs i n( ),Bac o s,bs i n( ).则kAB=bs i n-bs i nac o s-ac o s=ba2 c o s+2 s i n-2- 2 s i n+2 s i n-2= -bac o t+2 ( ).同理,kPA= -bac o t+2 ,kPB= -bac o t+2 .而kPA+kPB= 0 ,得-bac o t+2 -bac o t+2 = 0 ,所以c o t+2 + c
14、o t+2 = 0 ,得1t a n+2+ 1t a n+2= 0 t a n+2 + t a n+2 = 0 ,即t a n+2 + = 0 t a n+2 + t a n= 0 c o t+2 + c o t= 0 ,所以c o t+2 = - c o t,代入式( )得kAB= -ba- c o t( )=bac o t=b2x0a2y0 ,为定值.由于x0y0 0 ,所以上述所有三角运算均有意义.对于双曲线x2a2 -y2b2 = 1a,b 0( ),设P(x0 ,y0 )为Pas e c,bt a n( ),Aas e c,bt a n( ),Bas e c,bt a n( ),则k
15、AB=bt a n-bt a nas e c-as e c=ba s i nc o s- s i nc o sc o s- c o s=ba s i n-( )- 2 s i n+2 s i n-2=bac o s-2s i n+2( ).同理,kPA=bac o s-2s i n+2,kPB=bac o s-2s i n+2,新课标高考数学题型全归纳 1 6 8 心得体会而kPA+kPB= 0 ,即bac o s-2s i n+2+c o s-2s i n+2= 0 ,所以c o s-2s i n+2+c o s-2s i n+2= 0 , s i n+2 c o s-2 + s i n+2
16、 c o s-2 = 0 .即12 s i n+-2 + s i n+- (-)2 +12 s i n+-2+ s i n+-( )2 = 0 s i n+-2 + s i n+2 + s i n+-2 + s i n+2 = 0 s i n-2 + s i n+-2 + 2 s i n+2 = 0 2 s i n-2 +-22 c o s-2 -+-2 2 + 2 s i n+2 = 0 s i nc o s-2 + s i n+2 = 0 c o s-2s i n+2= - 1s i n,代入式( )得kAB=ba - 1s i n = -ba 1s i n= -b2x0a2y0 ,为定值
17、.由于y0 0 ,所以上述所以三角函数运算均成立.对于抛物线y2 = 2pxp 0( ),设Px0 ,y0( ),Ay212p,y1,By222p,y2(y0 ,y1 ,y2两两均不相等) ,则kAB=y1 -y2y212p-y222p= 2py1 +y2( ).同理,kPA= 2py0 +y1,kPB= 2py0 +y2,又kPA+kPB= 0 ,得2py0 +y1+ 2py0 +y2= 0 ,即1y0 +y1+ 1y0 +y2= 0 ,故y0 +y1 +y0 +y2 = 0 ,得y1 +y2 = - 2y0 ,代入式( )得kAB= 2p- 2y0= -py0.【例10.58】 ( 2 0
18、 0 9辽宁理, 2 0 )已知椭圆C:x24 +y23 = 1 ,A为椭圆C上的点,其坐标为1 , 32 ,E,F是椭圆C上的两动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明:直线EF的斜率为定值,并求出该定值.【分析】 要求直线EF的斜率,必须知道E,F的坐标.【解析】 设直线AE的方程为y=kx- 1( )+ 32 ,x24 +y23 = 1y=kx- 1( )+ 32 ,第十章 圆锥曲线方程 1 6 9 心得体会消y得4k2 + 3( )x2 + 1 2k- 8k2( )x+ 4 32 -k 2- 1 2 = 0 ,则xE=4 32 -k 2- 1 24k2 + 3( )xA=3
19、 - 2k( )2 - 1 24k2 + 3 ,又直线AF的斜率与AF的斜率互为相反数,故以上k用-k代替得xF= 3 + 2k( )2 - 1 24k2 + 3 ,所以kEF=yF-yExF-xE=-kxF- 1( )+ 32 -kxE- 1( )+ 32 xF-xE=-kxF+xE( )+ 2kxF-xE,把 , 两式代入上式,得kEF= 12 .【变式1】 已知A,B,C是长轴为4 ,焦点在x轴上的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O,且AC BC = 0 ,BC = 2AC .( 1 )求椭圆的方程;( 2 )如果椭圆上的两点P,Q,使得PCQ的平分线垂直于OA,问是
20、否总存在实数,使得PQ =AB ?说明理由.【变式2】 已知椭圆x26 +y22 = 1的内接PAB中,点P坐标为3 , 1( ),PA与PB的倾斜角互补,求证:直线AB的斜率为定值,并求之.图 10-39【变式3】 已知双曲线x2 -y23 = 1上点P2 , 3( ),过P作两条直线PA,PB,满足直线PA与PB倾斜角互补,求直线AB的斜率.【变式4】 ( 2 0 0 4北京理, 1 7 )如图1 0-3 9所示,过抛物线y2 = 2pxp 0( )上一定点Px0 ,y0( )y0 0( ),作两条直线分别交抛物线于Ax1 ,y1( ),Bx2 ,y2( ).( 1 )求该抛物线上纵坐标为
21、p2的点到焦点F的距离;( 2 )当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1 +y2y0的值,并证明直线AB的斜率是非零常数. 模型四:已知曲线C:x2s+y2t= 1 (st 0 ) ,P是C上异于顶点的动点,A,B是关于原点中心对称的两顶点.若直线PA,PB分别交同一坐标轴于M,N(非A,B两点) ,则OMON为定值.【例10.59】 如图1 0-4 0所示,已知圆O的半径是aa 0( ),圆中有两条互相垂直的直径AB和CD,P是圆周上任意一点(不在AB,CD上) ,直线AP,BP分别交直线CD于M,N,证明OMON =a2 .【解析】 证:因为BP AP ,所以BN AM ,从而BN
22、AM =BO +ON( )AO +OM( )= 0 ,新课标高考数学题型全归纳 1 7 0 心得体会图 10-40即BO AO +BO OM +ON AO +OM ON = 0 ,即-a2 +OM ON = 0 .所以OM ON =OMON c o s 0 =OMON =a2 ,得证.【例10.60】 如图1 0-4 1所示,已知椭圆x2a2 +y2b2 = 1ab 0( )的上、下顶点分别为A,B,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,直线AP,BP分别交x轴于M,N,证明:图 10-41OMON =a2 .【解析】 证:设Px0 ,y0( ),则x0y0 0 ,Mm, 0( ),Nn, 0( )
23、,则AP AM ,即x0 ,y0 -b( )m, -b( ).所以my0 -b( )= -bx0 ,得m= -bx0y0 -b.同理由BP BN ,得n=bx0y0 +b.所以OMON =mn= -b2x20y20 -b2 =x201 -y20b2=x20x20a2=a2 .图 10-42【变式1】 如图1 0-4 2所示,已知椭圆x2a2 +y2b2 = 1ab 0( )上、下顶点分别为A,B,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,直线AP,BP分别交x轴于M,N.证明:AM BN为定值,并求之.【例10.61】 如图1 0-4 3所示,已知双曲线x2a2 -y2b2 = 1a,b 0( )左、图
24、 10-43右顶点分别为A,B,点P是双曲线异于顶点的任意一点,直线AP,BP分别交y轴于M,N,证明:OMON =b2 .证:设Px0 ,y0( ),y0 0 ,M0 ,m( ),N0 ,n( ),A-a, 0( ),Ba, 0( ),则AP AM ,即x0 +a,y0( )a,m( ),所以mx0 +a( )=ay0 ,即m=ay0x0 +a.同理,由BP BN ,得n= -ay0x0 -a.所以,OMON =mn=ay0x0 +a -ay0x0 -a=a2y20x20 -a2 =y20x20a2 - 1=y20y20b2=b2 .【变式1】 ( 2 0 0 9江西理, 2 1 )已知双曲
25、线x22b2 -y22 5b2 = 1b 0( )的左、右顶点为B,D,在双曲线上任取一点Qx0 ,y0( )y0 0( ),直线QB,QD分别交y轴于M,N两点,求证:以MN为直径的圆过两定点.第十章 圆锥曲线方程 1 7 1 心得体会图 10-44【例10.62】 如图1 0-4 4所示,已知抛物线y2 = 2pxp 0( ),动直线l过定点Qq, 0( ),且l与抛物线交于A,B两点,AM垂直于x轴于M,BN垂直于x轴于N,AM垂直于y轴于M,BN垂直于y轴于N,证明:OMON =q2 ,OMON = 2p|q| .【解析】 证:由题意知直线l的斜率非零,故可设直线l:x=ty+qtR(
26、 ),Ax1 ,y1( ),Bx2 ,y2( ).由y2 = 2pxx=ty+q,得y2 - 2pty- 2pq= 0 .所以OMON =y1y2 = 2p|q| ,OMON =x1x2 =y212py222p=y1y2( )24p2 =4p2q24p2 =q2 . 题型1 5 4 最值问题思路提示:有两种求解方法:一是几何方法,即利用几何性质结合图形直观求解;二是建立目标函数,通过求函数的最值求解.【例10.63】 设椭圆x22 5 +y21 6 = 1的左、右焦点分别为F1 ,F2 ,点M是椭圆上任意一点,点A的坐标为2 , 1( ),求MF1 +MA的最大值和最小值.【分析】 本题若设M
27、x,y( ),建立目标函数MA+MF1 =fx,y( ),则会作茧自缚.但是注意到F1为椭圆左焦点,联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时,问题就容易获解.图 10-45【解析】 如图1 0-4 5所示,因为M在椭圆上,所以有MF1 +MF2 =2a= 1 0 .令Z=MF1 +MA,得Z= 1 0 +MA-MF2 .当M,A,F2三点不共线时,有-AF2 0( );和为定值时,积最大aba+b2 2a,b 0( ),取等号的条件均为a=b.【变式1】 ( 2 0 0 6全国 ,理2 0 )已知椭圆x2 +y24 = 1在第一象限部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x,y轴的交点分
28、别为A,B,且向量OM =OA +OB ,求OM的最小值.【变式2】 ( 2 0 1 0广东文, 2 1 )已知曲线C:y=nx2 ,点Pnxn,yn( )xn 0 ,yn 0( )是曲线Cn上的点n= 1 , 2 , ( ).( 1 )试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;( 2 )若原点O0 , 0( )到ln的距离与线段PnQn的长度之比取到最大值,试求点Pn的坐标xn,yn( );( 3 )设m与k为两个给定的不同的正整数,xn与yn是满足( 2 )中条件的点Pn第十章 圆锥曲线方程 1 7 3 心得体会的坐标.证明: sn= 1m+ 1( )xn
29、2 -k+ 1( )yn 0( ),Px,y( ),由AP =PB知点P坐标为m-n1 +, 2m+ 2n1 + ,又P在双曲线上,所以2m+ 2n1 +24 -m-n1 +21 = 1 mn= 1 +( )24=+ 1+ 24 .设AOB= 2,因为t a n 2 - = 2 ,所以t a n= 12 ,s i n 2= 2 t a n1 + t a n 2= 11 + 14= 45 ,所以SAOB= 12 5m 5n 45 = 2mn= 12+ 1 + 1 ,又 13 , 2 ,当= 1时,SAOB取最小值为2 ;当= 13时,SAOB取最大值为83 .所以SAOB 2 , 83 .【评注
30、】 本题建立目标函数,即AOB的面积与的函数关系S( )= 12+ 1 + 1 ,利新课标高考数学题型全归纳 1 7 4 心得体会用函数的单调性来求解.【变式1】 已知抛物线x2 = 4y的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且AF =FB 0( ),过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.( 1 )证明:FM AB为定值;( 2 )求ABM的面积的最小值.【例10.66】 ( 2 0 0 8全国理, 2 1 )设椭圆中心在坐标原点,A2 , 0( ),B0 , 1( )是它的两个顶点,直线y=kxk 0( )与椭圆交于E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值.【分析】 将四边形AEBF
31、分割为两个三角形来求面积.【解析】 设Ex0 ,y0( ),F-x0 , -y0( ),x0 ,y0 0 ,由题意知椭圆方程为x24 +y2 = 1 ,如图1 0-4 9所示,S四边形AEBF=SAEF+SBEF= 12OAy0 - -y0( ) +图 10-4912OBx0 - -x0( ) = 2y0 +x0 ,又x204 +y20 = 1即x20 + 4y20 = 4 , 4 =x20 + 4y20 4x0y0(当x0 = 2y0时等号成立).所以S2四边形AEBF=x0 + 2y0( )2 =x20 + 4x0y0 + 4y20 4 +x20+ 2y0( )2 = 8 ,即S四边形AE
32、BF 2 2 ,当且仅当x0 = 2y0时取等号.另解:设x0 = 2 c o s,y0 = s i n, 0 , 2 ,则S四边形AEBF= 2 c o s+ s i n= 2 2 s i n+ 4 2 2 .故四边形AEBF的面积的最大值为2 2.【例10.67】 ( 2 0 0 9全国理, 2 1 )如图1 0-5 0所示,已知抛物线E:y2 =x与圆M:x- 4( )2 +y2 =r2r 0( )相交于A,B,C,D四点.图 10-50( 1 )求r的取值范围;( 2 )当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC,BD的交点P的坐标.【解析】 ( 1 )将y2 =x代入x- 4( )2
33、 +y2 =r2并化简得x2 - 7x+ 1 6 -r2 = 0 .因为E与M有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根x1 ,x2 ,由此得= - 7( )2 - 4 1 6 -r2( ) 0x1 +x2 = 7 0x1x2 = 1 6 -r2 0 ,解得1 54 0 ,所以r的取值范围是1 52 , 4 .( 2 )不妨设E与M的四个交点坐标分别为Ax1 ,x1( ),Bx1 , -x1( ),第十章 圆锥曲线方程 1 7 5 心得体会Cx2 , -x2( ),Dx2 ,x2( ),则直线AC,BD的方程分别为y-x1 = -x2 -x1x2 -x1x-x1( ),y+x1 =x2 +x1
34、x2 -x1x-x1( ).解得点P的坐标为x1x2 , 0( ).设t=x1x2 ,由t= 1 6 -r2及( 1 )知0 0 ,当76 b?图 11-10图 11-11【例11.2】 ( 2 0 1 0辽宁文, 5 )如果执行如图1 1-1 1所示的流程框图,输入n= 6 ,m= 4 ,那么输出的P等于( )A . 7 2 0 B . 3 6 0 C . 2 4 0 D . 1 2 0【解析】 k= 1 ,P= 1 6 - 4 + 1( )= 3 , 1 105?图 11-15“ Si=1, S=0i=i+1i 5 ? B .i 6 ? C .i 7 ? D .i 8 ?【变式3】 阅读如
35、图1 1-2 2所示的程序框图,若在程序框图中的判断框内填写的条件是im?,试问正整数m的最小值为何值时,输出的S的值超过1 0 0 0 ?图 11-21 图 11-22图 11-23【例11.5】 ( 2 0 1 0浙江理, 2 (文, 4 ) )某程序框图如图1 1-2 3所示,若输出S= 5 7 ,则判断框内为( ).A .k 4 ? B .k 5 ? C .k 6 ? D .k 7 ?【解析】 如表1 1-4所示,根据模拟分析,判断框内的条件为k 4 ?.故选A .表 11-4kk= 1( )SS= 1( )条件第1次2 2 1 + 2 = 4否第2次3 2 4 + 3 = 1 1否第
36、3次4 2 1 1 + 4 = 2 6否第4次5 2 2 6 + 5 = 5 7是新课标高考数学题型全归纳 1 8 4 心得体会【变式1】 某程序框图如图1 1-2 3所示,若判断框内填入km?,试问正整数m最小为何值时,程序输出的S值超过1 0 0 0 ?【变式2】 ( 2 0 1 0天津理, 4 )阅读如图1 1-2 4所示的程序框图,若输出S的值为- 7 ,则判断框内应填写( ).A .i 0 ” ;产生“n= 3 ”的条件为“P 12 ” ;产生“n= 4 ”的条件为“P 34 ” ;产生“n= 5 ”的条第十一章 算法初步 1 8 5 心得体会件为“P 78 ”.输出“n= 4 ”的
37、条件为产生“n= 4 ”的条件,而不产生“n= 5 ” ,即P 34且P 78.故输入P的取值范围为0.7 5 , 0.8 7 5( .故选B .( 2 )由( 1 )得,若输出n= 4 ,则P 0.7 5 , 0.8 7 5( ,故选C .( 3 )依题意P= 0.8 ,如表1 1-5所示,则输出n= 4 .表 11-5PS9?( 1)ns s n图 11-36【变式2】 阅读如图1 1-3 7所示的程序框图,若输入n= 1 0 0 ,则输出的ai= ,Si= .【变式3】 ( 2 0 1 0福建文, 6 (理, 5 ) )阅读如图1 1-3 8所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于
38、( ).A . 2 B . 3 C . 4 D . 5【变式4】 ( 2 0 1 0山东理, 1 3 )执行如图1 1-3 9所示的程序框图,若输入x= 1 0 ,则输出y的值为 .新课标高考数学题型全归纳 1 8 8 心得体会图 11-37 图 11-38 图 11-39图 11-40【例11.10】 根据如图1 1-4 0所示的程序框图,将输出的x,y值依次记为x1 ,x2 , ,xn, ,x2 0 0 8 ;y1 ,y2 , ,yn, ,y2 0 0 8.( 1 )求数列xn 的通项公式;( 2 )写出y1 ,y2 ,y3 ,y4 ,由此猜想出数列yn 的一个通项公式yn,并证明你的结论
39、;( 3 )求zn=x1y1 +x2y2 + +xnynn ,n 2 0 0 8( ).【解析】 ( 1 )x1 = 1 ,当n 2且n时,有xn=xn- 1 + 2 ,所以xn=x1 + 2n- 1( ) =2n- 1 ,显然当n= 1时,x1 = 1也满足通项公式.综上,数列xn 的通项公式为xn= 2n- 1 (n且1 n 2 0 0 8 ).( 2 )如表1 1-6所示,根据模拟分析,得y1 = 2 ,y2 = 8 ,y3 = 2 6 ,y4 = 8 0 ,猜想yn=3n- 1 (n且1 n 2 0 0 8 ).证明:当k= 1时,y1 = 3 1 - 1 = 2 ,显然满足通项公式;
40、表 11-6xynn 2 0 0 8第1次1 2 1 是第2次3 8 2 是第3次5 2 6 3 是第4次7 8 0 4 是当n=k时(k 2 ) ,假设yk= 3k- 1恒成立,当n=k+ 1时,yn+ 1 = 3yk+ 2 =3 3k- 1( )+ 2 = 3k+ 1 - 1 ,所以n=k+ 1时,命题也成立.综上,当n且1 n 2 0 0 8时,yn= 3n- 1.( 3 )xnyn= 2n- 1( ) 3n- 1( )= 2n- 1( ) 3n- 2n- 1( ),因为zn=x1y1 +x2y2 + +xnynn ,n 2 0 0 8( ),所以zn= ni= 12i- 1( ) 3i
41、- 1( ) = ni= 12i- 1( ) 3i-ni= 12i- 1( )= ni= 12i- 1( ) 3i-n2.第十一章 算法初步 1 8 9 心得体会设Tn= ni= 12i- 1( ) 3i= 1 3 1 + 3 3 2 + + 2n- 1( ) 3n 3Tn= 1 3 2 + 3 3 3 + + 2n- 1( ) 3n+ 1 由 - 得: - 2Tn= 1 3 1 + 2 3 2 + + 2 3n- 2n- 1( ) 3n+ 1= 3 + 2 9 1 - 3n- 1( )1 - 3 - 2n- 1( ) 3n+ 1 = - 2n- 1( ) 3n+ 1 - 6 ,得Tn=n-
42、1( ) 3n+ 1 + 3.所以zn=n- 1( ) 3n+ 1 + 3 -n2n ,n 2 0 0 8( ).【变式1】 ( 2 0 1 0安徽皖北协作区联考)已知数列an 满足如图1 1-4 1所示的流程图.图 11-41( 1 )写出数列an 的一个递推关系式;( 2 )证明:数列an+ 1 - 3an 是等比数列,并求出an 的通项公式;( 3 )求数列nan+ 3n- 1( ) 的前n项和Tn.【变式2】 如图1 1-4 2所示是一个计算机装置示意图,J1 ,J2是数据入口,C是计算机结果的出口,计算过程是由J1 ,J2分别输入自然数m和n,经过计算后得自然数由C输出,此种计算机装
43、置完成的计算满足以下3个性质:若J1 ,J2分别输入1 ,则输出结果为1 ;若J1输入任何固定自然数不变,J2输入自然数增大1 ,则输出结果比原来大2 ;若J2输入1 ,J1输入自然数增大1 ,则输出结果为原来的2倍.图 11-42试问:( 1 )若J1输入1 ,J2输入自然数n,输出结果为多少?( 2 )若J2输入1 ,J1输入自然数m,输出结果为多少?【变式3】 在平面直角坐标系中,重复执行如下算法,可得到图1 1-4 3中的雪花状图形.图 11-43新课标高考数学题型全归纳 1 9 0 心得体会算法:S 1.给定两个不同坐标的点A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,计算以AB为
44、一边的正ABC的顶点C(各顶点按逆时针顺序排列)的坐标为:Cx1 +x2 + 3 (y1 -y2 )2 , - 3 (x1 -x2 ) +y1 +y22 .S 2.依次计算线段AB上的两个三等分点坐标E2x1 +x23 , 2y1 +y23 ,Fx1 + 2x23 ,y1 + 2y23 ,再计算正EGF的第3个顶点G的坐标(各顶点按逆时针顺序排列).依次连结线段AE、EG、GF、FB(并擦除线段EF).其中,A,E,G,F,B均称为图形顶点.S 3.对线段BC和CA重复步骤S 1 、 S 2的操作,得到的图形称为雪花1次迭代图.S 4.对雪花1次迭代图中所有相邻顶点形成的线段依次(按逆时针顺序排列)执行步骤S 2的操作,所得到的图形称为雪花2次迭代图,同法依次操作得到雪花n次迭代图(nN ).完成下列相关问题:( 1 )步骤S 1 、 S 2中,若已知两个点的坐标为A( - 2 , 3 ) ,B( 1 , 6 ) ,求点C和点G的坐标;( 2 )设雪花n次迭代图中顶点A与B之间(含A和B)的顶点个数为an(nN ) ,求数列an的通项公式;( 3 )执行上述算法可以
