1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 北京市中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（十）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数 在复平面上对应的点的坐标是 1iA B. C. D. (,)(1,)(1,)(1,)2. 已知全集 集合 , ，下图中阴影部分所表示R,U2345A|2BxR的集合为A B. 10,C. D. ,213函数 的零点所在区间2()logfxxA B. C. D. 10,(,)(1,2)(2,3)4.若直线 的参数
2、方程为 ，则直线 倾斜角的余弦值为l13)24ty为 参 数 lA B C D 45535455. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13 场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 6 7 9 95 3 2 0 3 0 2 37 1 0 4根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
3、1主 视 图 左 视 图11BA1 1C1DBA金太阳新课标资源网 第 2 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 7若椭圆 ： （ ）和椭圆 ：1C12byax01ba2C（ ）2byax0的焦点相同且 .给出如下四个结论：12 椭圆 和椭圆 一定没有公共点； ； C12ab ； .2121ba112其中，所有正确结论的序号是A B. C D. 8. 在一个正方体 中， 为正方形 四边上的动点，1BDAP1ABCD为底面正方形 的中心， 分别为 中点，点 为平面O,MN,Q内一点，线段 与 互相平分，则满足 的实数 的BCQOMN值有 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个第
4、卷（非选择题 共 110 分）二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9点 在不等式组 表示的平面区域内，则 的最大值为_.(,)Pxy2,yxzxy10运行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 .4nS11若 ，42351maxxax其中 ，则实数 的值为 ； 26的值为 .1345a12如图，已知 的弦 交半径 于点 ，若 ，O.ABCD3A，且 为 的中点，则 的长为 .BDC13已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项na1,t120na(,)tn*Nna和的最大值为 ，则 .()ft()fA1DA1C1BCBOPNMQ开 始0,1iSnSi是 否1输 入
5、结 束 S输 出ABDC金太阳新课标资源网 第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 14. 已知函数 sin()xf（1）判断下列三个命题的真假： 是偶函数； ；当 时， 取得极小值. ()fx()1f32x()fx其中真命题有_；（写出所有真命题的序号）（2）满足 的正整数 的最小值为_.()()66nffn三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共 13 分）已知函数 的最小正周期为 .2()cos3sincofxx(0)（）求 的值；3（）求函数 的单调区间及其图象的对称轴方程.()f16.（本小题共 13 分）某
6、商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载有 4 位乘客，假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的.() 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率；() 用 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望.XX17.(本小题共 14 分)如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ， 和PABCD/ABCDAPB是两个边长为 的正三角形， ， 为 的中点， 为 的中点AD24OE()求证： 平面 ；O()求证： 平面 ；/E()求直线 与平面 所成角的正弦值 ADOCB金太阳新课标资源网 第 4 页 共 10 页 金太阳新
7、课标资源网 18. (本小题共 14 分）已知函数 . .221()lnfxaxa()R（）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ） ；0(yfe,fe2.718（）求函数 的单调区间.f19(本小题共 13 分）在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原xOy(,),4)PxyMP点 .O（）求动点 的轨迹 的方程；PW（）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，(0,4)El,AByA试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论.AB20. (本小题共 13 分）对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“0-112nAa： ， ， ， 0,1(,23,)iainA数列
8、”.定义变换 ， 将“0-1 数列” 中原有的每个 1 都变成 0，1，原有的每个 0 都TA变成 1，0. 例如 :1,0,1，则 设 是“0-1 数列” ，令():,. 1(),kkT3，.2k .， ， ,() 若数列 ： 求数列 ；2,0,1,0.10,A金太阳新课标资源网 第 5 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 () 若数列 共有 10 项，则数列 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理0A2A由；()若 为 0，1，记数列 中连续两项都是 0 的数对个数为 ， .求k kl1,23关于 的表达式.kl中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（十）参考答案
9、一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A C B D C B C二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空2 分）9. 6 10. 11 11. ， 21612. 13. 14. , 9 22,(4(1), tt为 偶 数 )为 奇 数三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15. （共 13 分）解：（） 13()cos2)sin2fxxx2 分, 1sin(2)6x3 分因为 最小正周期为 ,所以 ，解得 , ()fx14 分所以 , 1()sin2)6f5
10、 分所以 . ()3f金太阳新课标资源网 第 6 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 6 分（）分别由 ，22,()6kxkZ3,()kx可得 ，3kZ2,().3kxkZ8 分所以,函数 的单调增区间为 ；()fx,()36的单调减区间为f 2,.6kkZ10 分由 得 .2,(62xZ） ,()2x所以， 图象的对称轴方程为 . )f 6kZ13 分16.（共 13 分）解：() 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 , A1 分由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 ， 133 分则. 465()1()381PA6 分() 的可能取值为 0,1,2,3,4
11、, X7 分由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响，3所以， . 1(,)3XB9 分0 1 2 3 4P68481811 分. 14()3EX13 分17.(共 14 分)（）证明：设 为 的中点，连接 ，则FDCBFDAB ， ， ，ABA/ AOCPBEF金太阳新课标资源网 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 四边形 为正方形，ABFD 为 的中点，O 为 的交点，, ， 2P ， 2 分B ，2DA ， ，PO12AOBD在三角形 中， ， ，4224PPAO分 ， 平面 ； 5BC分()方法 1：连接 ， 为 的中点， 为 中点，FAE ，
12、/OE 平面 ， 平面 ，PDCP 平面 . 9分方法 2：由()知 平面 ，又 ，所以过 分别做 的平行线，BDO,ADB以它们做 轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，,xyz由已知得：， ，(10)A(1,)(,10)， ， ，,F3C2P，2(,)E则 ，1,O， ， .(2)PF(1,2)PD(1,32)PC E / 平面 ， 平面 ，CF 平面 ； OP9 分() 设平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角 ，D1(,)nxyzCBPD则 ，即 ，0n11320xy解得 ，令 ，则平面 的一个法向量为 ，12yxz1PD(2,01)n又 (,0)CB ADOCPBEFxy金太
13、阳新课标资源网 第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 则 ，23sinco,CB直线 与平面 所成角的正弦值为 . 14PD分18. (共 14 分）解：（I）当 时， ， ， 2 分0a()lnfxx()lnfx所以 ， ， 4 分)fe1fe所以曲线 在 处的切线方程为 .5 分()y, ye（II）函数 的定义域为 (0,)，6 分2()ln1(2)lnfxaaxxax当 时， ，在 上 ，在 上01(,)0f,()0f所以 在 上单调递增，在 上递减； f(,)8 分当 时，在 和 上 ，在 上2a0,(,)2a(fx1(,)2a()fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减；
14、 10 分()fx,1,当 时，在 上 且仅有 ，2a(0,)(0fx(1)0f所以 在 上单调递增； ()f12 分当 时，在 和 上 ，在 上12a1(0,)a(,)(0fx(,1)2a(0fx所以 在 和 上单调递增，在 上递减14 分()fx, ,19(共 13 分）解：（I）由题意可得 ， OPM2 分所以 ，即 0P(,)40xy4 分即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5 分24xyW24xy（II）设直线 的方程为 , ，则 .lk1(),()AB1(,)Axy由 消 整理得 ， 2k2460x6 分则 ，即 . 1640|k7 分. 22,xkx9 分金太阳新课标资源网 第 9
15、 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 直线 212:()yABx2122121221()44 y4yxxxx12 分即 21所以，直线 恒过定点 . AB(0,4)13 分20. (共 13 分）解：()由变换 的定义可得 T1:,2 分40:1,分() 数列 中连续两项相等的数对至少有 10 对 0A5 分证明：对于任意一个“0-1 数列” ， 中每一个 1 在 中对应连续四项 1,0,0,1，在0A2中每一个 0 在 中对应的连续四项为 0,1,1,0，0A2A因此，共有 10 项的“0-1 数列” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对，所以 中至少有 10 对连续相等的数对.
16、28 分() 设 中有 个 01 数对，kkb中的 00 数对只能由 中的 01 数对得到，所以 ，1kAkA1klb中的 01 数对有两个产生途径：由 中的 1 得到； 由 中 00 得到，k kA由变换 的定义及 可得 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 个，T0:,1k 12所以 ，12kkbl所以 ，由 可得 ，0:,A1:,2:,A所以 ，12l当 时，3k若 为偶数， 2kkl424l金太阳新课标资源网 第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 上述各式相加可得 ，12242(4)1()3kk kkl 经检验， 时，也满足2(1)3kkl若 为奇数，k2kl42k31l上述各式相加可得 ，1232(4)()3kk kk 经检验， 时，也满足1(1)kkl所以 1(2),31,kkl为 奇 数为 偶 数3 分
