1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 北京市中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（三）第卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1） “ ”是“ ”的2x24x（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（2）已知数列 为等差数列，且 ， ，那么则 等于na12a31456a（A） （B） 404（C） （D）35（3）已知函数 对任意的 有 ，且当 0x时，()fxR()fx，则函数 的大致图像为()l1f()f
2、（A） （B） （C） （D）（4）已知平面上不重合的四点 ， ， ， 满足 ，且PAC0PAC，那么实数 m的值为BC（A） （B） 23（C） （D） 5（5）若右边的程序框图输出的 是 ，则条件可为S126（A） （B） 5nn（C） （D）78（6）已知 , ,那么 的值为()2tan()47cosi（A） （B） 515（C） （D）743（7）已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点的是31)2(xxf )(xf（A） （B）31,0( )21,3(（C） （D）)（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离yO xyO yx O xy金太阳新
3、课标资源网 第 2 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 40 50 60 70 80 90 体重(kg)频 率组 距0.0050.0100.0200.0300.0350.0150.025 OADBC叫做这个点到这个平面的距离已知平面 ， ， 两两互相垂直，点 ，点A到 ， 的距离都是 ，点 是 上的动点，满足 到 的距离是 到点 距离A3PPP的 倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最小值是2P（A） 3 （B） 32 （C） 6 （D）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）如果 是实数,那么实数 2(i)1mm（10）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，则
4、曲线上点 到直线C2cos,inxyC的距离的最大值为 340xy（11）从某地高中男生中随机抽取 100 名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图） 由图中数据可知体重的平均值为 kg；若要从体重在 60 , 70） ，70 ，80) , 80 , 90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取 12人参加一项活动，再从这 12 人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 （12）如图，已知圆 O的半径为 3，从圆 O外一点 A引切线 D和割线 ABC，圆心 到C的距离为 2， ，则切线 D的长为 （13）过抛物线 的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线分别交于 ，(
5、0)ypx60 A两点（点 在 轴上方） ， BF（14）已知数列 满足： ， ， ， ， ，且当 n5 时，na12a34a5，若数列 满足对任意 ，有12n nb*Nn，则 b5= ；当 n5 时， 2b 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 分，且满ABCCabc足 2cosba（）求角 的大小；（）若 ，求 面积的最大值25AB金太阳新课标资源网 第 3 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 （16） （本小题共 14 分）已知四棱锥 的底面是菱形 ， ，PABC
6、D60BCD 2APBD， 与 交于 点， ， 分别为 ， 的中点3COEHO（）求证： 平面 ；E（）求证： 平面 ；H（）求直线 与平面 所成角的正弦值 （17） （本小题共 13 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响（）求至少有 1 人面试合格的概率；（）求签约人数 的分布列和数学期望（18） （本小题共 13 分）已知函数 2()ln,()xfxge（）求函数 在区间 上的最小值；13OECA BDP
7、H金太阳新课标资源网 第 4 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 （）证明：对任意 ，都有 成立,(0,)mn()fmgn（19） （本小题共 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，且两个焦点和短轴的一个端点是21(0)yxab2一个等腰三角形的顶点斜率为 的直线 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 ，kl P两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 QPy(0,)Mm（）求椭圆的方程；（）求 的取值范围；（）试用 表示 的面积，并求面积的最大值Q(20) （本小题共 14 分）对于 ，定义一个如下数阵：)2(n*NnnnnaaA 21211其中对任意的 ， ，当 能整除 时， ；当 不能整除 时，i
8、j1ij1ijaij设 0ija njjjijjt 21)(（）当 时，试写出数阵 并计算 ；6n6A61)(jt金太阳新课标资源网 第 5 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 （）若 表示不超过 的最大整数，求证： ；xxnjt1)(ni1（）若 ， ，求证： njtf1)()( dxgn1 ()1gfgn中国人民大学附属中学 2013 届高考冲刺数学（理）试卷（三）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）B （2）B （3）A （4）C（5）C （6）B （7）B （8）C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） （10）
9、（11） （12）5.4321（13）（14） 6n70注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（）因为 ，2cosbBaA所以 ()由正弦定理，得 (in)cosincosCAB整理得 2sicos所以 B在 中， AB0所以 ， 1s3（）由余弦定理 ， 221cobca5所以 200b所以 ，当且仅当 时取“=” 金太阳新课标资源网 第 6 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 所以三角形的面积 1sin532SbcA所以三角形面积的最大值为 （16） （共 14 分）（）证明：因为 ，
10、 分别为 ， 的中点，EOPC所以 又 平面 , 平面 BDBE所以 平面 C（）证明：连结 ，因为 ，所以 P在菱形 中， ，AAC又因为 ，O所以 平面 BD又 平面 ，H所以 在直角三角形 中， ， ，P1B2P所以 3又 ， 为 的中点，所以 COHOC又因为 所以 平面 BDAD（）解：过点 作 ，所以 平面 ZHZ如图，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐AB,xyz标系可得， ， ， ， (3,0)(,10)(3,0)， 2P4E所以 ， ，(,)AB(,)2AP53,04C设 是平面 的一个法向量，则()xyznB，即 ，0ABP032xyz令 ，则 1x(,)
11、n设直线 与平面 所成的角为 ，可得 CE4sinco,7CE 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 PAB47（17） （共 13 分）解：（）用 A，B，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A，B，C 相互独立，OECDBAH金太阳新课标资源网 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 且 .至少有1人面试合格的概率是（） 的可能取值为0，1，2，3. = 的分布列是0 1 2 3的期望（18） （共 13 分）（）解：由 ，可得 ()lnfx()ln1fx当 单调递减，10,(),fe当 单调递增.0()f所以函数 在区间 上单调递增，()fx,3又 ，1所以函数 在区间
12、上的最小值为 1,0（）证明：由（）可知 在 时取得最小值，()ln(,)fx1xe又 ，1()fe金太阳新课标资源网 第 8 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 可知 1()fme由 ，可得 2xg1()xge所以当 单调递增，(0,),当 单调递减.1所以函数 在 时取得最大值，1又 ，()ge可知 ，n所以对任意 ，都有 成立,(0,)m()fmgn（19） （共 13 分）解：（）依题意可得， ， ，2accb又 ，2b可得 1,所以椭圆方程为 21yx（）设直线 的方程为 ，lk由 可得 2,1ykx2()0xk设 ，2(,),PQy则 ， 12kx12xk可得 24()y设线段
13、 中点为 ，则点 的坐标为 ，PN2(,)k由题意有 ，1kM可得 2mk可得 ，21又 ，0所以 m（）设椭圆上焦点为 ，F金太阳新课标资源网 第 9 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 则 .122MPQSFx，21 8(1)()4kx 由 ，可得 2mk2km所以 1228(1)()x又 ，FM所以 .3()PQSm所以 的面积为 （ ） 3)1(2210m设 ，3)1()f则 42可知 在区间 单调递增，在区间 单调递减mf,0)21,4(所以，当 时， 有最大值 41)(f67f所以，当 时， 的面积有最大值 MPQ83（20） （共 1分）（）解：依题意可得， 1001006A
14、4231)(6 jt（）解：由题意可知， 是数阵 的第 列的和，)(jtnAj因此 是数阵 所有数的和nj1而数阵 所有数的和也可以考虑按行相加nA对任意的 ，不超过 的倍数有 ， ， ini12in因此数阵 的第 行中有 个，其余是 ，即第 行的和为 ni0i金太阳新课标资源网 第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网 所以 njt1)(ni1（）证明：由 的定义可知， ，xini所以 ninini 111所以 iif)(考查定积分 ，dxn1将区间 分成 等分，则 的不足近似值为 ，,dxn1ni21的过剩近似值为 dxn11ni所以 i2n1i所以 1i )(gni1所以 )(nif)(ni1)(g所以 ()f
