1、 1七年级上一元一次方程知识点整理一、本章知识点梳理：知识点一：方程的相关概念 知识点二：解方程 知识点三： 用方程解应用题 二、各知识点分类讲解 知识点一：方程的有关概念（1）概念总结1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解， 等，都可以作为未知数nmx,2一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是 1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 注意:重点区分:方程的解与解方程.注： 方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)
2、，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: 时，方程有唯一解 ；0aabx 时，方程有无穷解；,b 时，方程无解。 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 0a.3.判断一元一次方程的条件1. 首先是一元一次方程。2. 其次是必须只含有一个未知数3. 未知数的指数是 14. 分母中不含有未知数例 1:判定下列那些方程，那些是
3、一元一次方程？， ， 0x72 3)81(4)5(21,012,0 xxyxx)(注意：1、分式的含义，分式不能在方程中出现。2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。3、 是字母，但不是未知数，是一个常数。（2）典型例题例 1、下列方程 2（x+1）+3= 3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程3126x452xx12共有( )个.A.1 B.2 C.3 D.4例 2、 如果(m-1)x |m| +5=0 是一元一次方程，那么 m例 3、 一个一元一次方程的解为 2，请写出一个这样的一元一次方程 .知识点二：解方程1：等式的基本性质等式的性质(
4、1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍是等式。用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc。等式的性质(2)：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍是等式。用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0)，那么 = ac bc 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. 性质：等式的性质 如果 ba，那么 c ；等式的性质 如果 ，那么 c ；如果 ba0，那么 c .要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即： （其中 m0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分
5、母中的小数）化为整数，如方程： 将其化为： 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。6.12045.3x 6.12405310x典型例题例 1、已知等式 23ba，则下列等式中不一定成立的是（ ）（A） ;53a （ B） ;621b （C） ;523bca （D） .352ba 例 2、下列说法正确的是（ ）A、在等式 ab=ac 中，两边都除以 a，可得 b=c B、在等式 a=b 两边都除以 c2+1 可得 122cbC、在等式 两边都除以 a，可得 b=c D、在等式 2x=2a 一 b 两边都除以 2，可得 x=a 一 bacb例 3、将等式 4x=2x+8 变形为 x=4,下
6、列说法正确的是（ ）A 运用了等式的性质 1，没有运用等式的性质 2 B 运用了等式的性质 2，没有运用等式的性质 1C 既运用了等式的性质 1，又运用等式的性质 2 D 等式的两条性质都没有运用33.解一元一次方程的一般步骤常用步骤 具体做法 依据 注意事项去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项） ，注意添括号；去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项 把方程化成axb(a0
7、)的形式合并同类项法则 计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒典型例题例 1.巧解含有绝对值的方程|x2| 30思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|m，则 xm 或 xm；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。解法一：移项，得|x2|3当 x20 时，原方程可化为 x23，解得 x5当 x20 时，原方程可化为(x2) 3，解得 x1。所以方程
8、|x 2|30 的解有两个：x5 或 x1。解法二：移项，得|x2|3。因为绝对值等于 3 的数有两个：3 和3，所以 x23 或 x23。分别解这两个一元一次方程，得解为 x5 或 x1。例 2.运用拆项法解方程： 思路点拨：注意到 ，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。解：原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得 。4系数化为 1，得例 3.利用整体思想解方程： 思路点拨：因为含有 的项均在“ ”中，所以我们可以将 作为一个整体，先求出整体的值，进而再求 的值。解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化 1 得：一元
9、一次方程练习题1、2（x5）（x4）3（2x1）（5x3） 2、 6531xx3、 4、14.056.120xx xx21325、k 取什么整数时，方程 2kx-4=(k+2)x 的解是正整数？6、小张在解方程 （x 为未知数）时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为 ，1523a 3x请你求出原来方程的解龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制5知识点三：列一元一次方程解应用题一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系（2）设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数（3）列方程，把相等关系左右两边
10、的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）解方程（5）检验，看方程的解是否符合题意（6）写出答案二、解应用题的书写格式： 设根据题意解这个方程答。三、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型 基本数量关系 等量关系(1)和、差、倍、分问题 较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题 变形前后体积相等相遇问题 甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题路程速度时间同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所走的路程(3)行程问题顺逆流问题 顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离(4)打折销售问题
11、售价=标价（原价）折数/10商品利润商品售价商品进价利润率 100售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的影响来考虑龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制6(5)工程问题 工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1(6)数字问题 设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为 a，b，则这个两位数可表示为10ab抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系(7)储蓄问题 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率)(8)按比例分配问题 甲乙丙abc 全部数量各种成分的数量之和(设一份为 x)(9)日历中的问题 日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一
12、列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7日历中的数 a 的取值范围是1a31，且都是正整数四、各类型题型分类讲解1. 和、差、倍、分问题：增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现.例 1：兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是 9+x由题意，得 2（9+x）=15+x18+2x=15+x，移向得：2x-x=15-18
13、x=-3答：3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍（点拨：-3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3年后具有相反意义的量）1.一个数的3倍比它的2倍多10，若设这个数为x，可得到方程_.2. 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_、_.面积是_.2.等积变形题型等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积。典型例题：1、 一块正方形铁皮，四角截去 4 个一样的小正方形，折成底面边长是 50cm 的无盖长方体盒子，容积是 45000 .求3cm原来正方形铁
14、皮的边长。龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制72、 用长 7.2m 的木料做成如图所示的 “日”字形窗框，窗的高比宽多 0.6m。求窗的高和宽。 （不考虑木料加工时损耗）3、 鱼儿离不开水，用一个底面半径为 20 厘米，高为 45 厘米的圆柱形的塑料桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为 120 厘米、宽为 40 厘米、高为 1 米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？3.行程问题： 路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（1）相遇问题： 快行距慢行距原距（2）追及问题： 快行距慢行距原距（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（
15、风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例 1 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车
16、？ 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，140x=90x+480 解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480 例2 已知轮船逆水前进的速度为m千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船在静水中的速度是_。1. A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走1千米，经
17、过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？2、 （环型跑道问题）一条环形跑道长 400 米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑 350 米，乙每分钟跑 250 米。（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？3、 （顺、逆水问题）一轮船往返 A，B 两港之间，逆水航行需 3 时，顺水航行需 2 时，水流速度是 3 千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？4、 （错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A 列车车速为 20 米/秒，B 列车车速为 24 米/秒，若 A 列车全长 18
18、0 米，B 列车全长 160 米，两列车错车的时间是多长时间？4.打折销售问题龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制8知识点 1：打折销售中的售价=标价（也叫原价） 10折 数变形公式：打折销售中的售价=原价（1-降价的百分数）=原价（1+提价的百分数）典型例题例题 1：原价 100 元的商品打 8 折后价格为 元；例题 2：1）原价 100 元的商品提价 40%后的价格为 元；2）某商品原来每件零售价是 a 元, 现在每件降价 10%,降价后每件零售价是 ；练习 1：原价 X 元的商品打 8 折后价格为 元；练习 2：500 元的 9 折价是_元 ，x 折是_元.练习 3：1）原价
19、 X 元的商品提价 40%后的价格为 元；2）原价 100 元的商品提价 P %后的价格为 元；3）某种品牌的彩电降价 20%以后，每台售价为 a 元，则该品牌彩电每台原价应为 元；知识点 2：利润=售价-进价例题：进价 A 元的商品以 B 元卖出，利润是 元变形：售价=利润+进价某商品的每件销售利润是 72 元，进价是 120，则售价是_元.知识点 3：利润率= = 进 价利 润 进 价 进 价售 价 例题：一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该彩电的进价是 2400 元，那么彩电的标价是多少元？练习：1）某商品利润率 13，进价为 50 元，则利润是_元.2）某商品的标价是
20、1200 元，打八折售出价后仍盈利 100 元，则该商品的进价是多少元？知识点 4：利润=利润率成本例题：某服装商店以 135 元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利 25 %，第二件亏损 25 %，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这二件衣服的成本价会一样吗？算一算？知识点 5：定价成本1期望的利润率利润率也称利润百分数，售价也称卖价例题：某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利 10%(相对于进价), 另一台空调调价后售出则要亏本 10%(相当于进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同, 那么商场把这两台空调调价后售出(
21、)A.即不获利也不亏本 B.可获得 1%; C.要亏本 2% D.要亏本 1%练习：（1）某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于 5%，则至多可打 A6 折 B7 折 C8 折 D9 折（2）某商品的进价为 1000 元,售价为 1500 元,由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于 5%,则商店最低降_元出售此商品.龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制9（3)一家商店将某种服装按成本价提高 40%后标价，又以 8 折（即按标价的 80%）优惠卖出，结果每件仍获利 15元，则这种服装每件
22、的成本是 元5. 工程问题： 工程问题：工作量工作效率工作时间 完成某项任务的各工作量的和总工作量1例 1. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，( + )3+ =1 115112 x121. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少1m，若5天完工，两队每天各挖几米？6. 数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c十位
23、数可表示为 10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用2n+2 或 2n2 表示；奇数用 2n+1 或 2n1 表示.例 1一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的 2 倍多l0求原来的两位数7. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比
24、叫做利率.利息的 20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%）（3）利润 100% 个个例1. 国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息20%，储户取款时由银行代扣代收.若银行1年定期储蓄的年利率为1.98%，某储户取出1年到期的本金及利息时，扣除了利息税31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？1、某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析：等量关系：本息和=本金（1+利率）解：设半年期的实际利率为 x，250（1+x）=252.7，x=0.0108 所以
25、年利率为 0.01082=0.0216 龙文教育 -教育是一项良心工程 数学教研组编制108. 比例分配问题：这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和总量。例 1. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是几？解：设一份为 x，则三个数分别为 x，2x，4x分析：等量关系：三个数的和是 84x24819、日历问题：日历中的数量关系1. 在日历表中，一个月的日期按从星期日至星期六的顺序排列的，最小数为 1，最大数由各月决定，一般为 30 或31，二月是 28 或 29.2. 日历中每一横排数字之间的规律: 每一横排相邻两个数字之间相差 1.3. 日历中每一竖排数字之间的规律: 每一竖排相邻两个数字之间相差 7.4. 日历中从左向右斜（左斜）一列之间的规律：左斜的一列相邻数字之间相差 8.5. 日历中从右向左斜（右斜）一列之间的规律：右斜的一列相邻数字之间相差 6.例题 1、在某张月历中， 一个竖列上相邻的三个数的和是 60，求出这三个数.变式 1：在某张月历中， 一个竖列上相邻的四个数的和是 50，求出这四个数.变式 2：小彬假期外出旅行一周，这一周各天的日期之和是 84，小彬几号回家？变式 3：爷爷的生日那天的上、下、左、右 4 个日期的和为 80， 你能说出我爷爷的生日是几号吗？
