1、刷题增分练 29 空间向量与立体几何刷题增分练 小题基础练提分快29 一、选择题12019台州模拟 在空间直角坐标系 Oxyz 中，z 轴上到点A(1,0,2)与点 B(2，2,1)距离相等的点 C 的坐标为( )A(0,0 ，1) B(0,0,1)C (0,0，2) D(0,0,2)答案：C解析：设 C(0,0，z)，由点 C 到点 A(1,0,2)与点 B(2，2,1) 的距离相等，得 120 2(z2) 2(20) 2(20) 2(z1) 2，解得z 2，故 C(0,0，2)2设三棱锥 OABC 中， a， b， c，点 G 是OA OB OC ABC 的重心，则 等于( )OG Aab
2、c BabcC. (abc) D. (a bc)12 13答案：D解析：如图所示， ( )OG OA AG OA 13AB AC ( ) (abc)OA 13OB OA OC OA 133已知 A，P， ，平面 的一个法向量PA ( 32，12，2)n ，则直线 PA 与平面 所成的角为( )(0， 12， 2)A30 B45C 60 D150答案：C解析：设 PA 与平面 所成的角为 ，则 sin |cosPA n| .0，90， 60，故选 C.|PA n|PA |n|14 21 2 14 2 324已知四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的三视图如图所示，则异面直线 D1C 与 AC1
3、所成的角为( )A30 B45C 60 D90答案：D解析：由三视图可知几何体为直四棱柱，底面为直角梯形且两底边长分别为 1,2，高为 1，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1的高为 2.连接DC1，易得 ADD 1C，DC 1D 1C，ADDC 1D ，所以 D1C平面ADC1，所以 D1CAC 1，所以异面直线 D1C 与 AC1所成的角为 90.5.2019衡阳模拟 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E ，F分别为 AB， BC 的中点，则异面直线 EF 与 AB1 所成角的余弦值为( )A. B.33 32C. D.22 12答案：D解析：连接 AC，B 1C，E，F 分别
4、为 AB，BC 的中点，EFAC， B 1AC 为异面直线 EF 与 AB1所成的角在AB 1C中，AB 1， AC，B 1C 为面对角线，AB 1ACB 1C，B 1AC，cos B1AC .3 1262019陕西质检 已知ABC 与BCD 均为正三角形，且AB4.若平面 ABC平面 BCD，且异面直线 AB 和 CD 所成的角为，则 cos( )A B.154 154C D.14 14答案：D解析：解法一 取 BC 的中点 O，连接 OA，OD，所以OA OC，ODOC，因为平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面BCDBC，所以 OA平面 BCD，所以 OA，OD，OC 两两垂直，以
5、O 为坐标原点，OD ，OC ，OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，因为 AB4，所以B(0，2,0)，D(2 ，0,0)，C(0,2，0)，A (0,0,2 )，所以3 3(0 ，2，2 )， (2 ，2,0) ，则 cos AB 3 CD 3 |AB CD |AB |CD | .|023 2 2 23002 22 232232 22 02| 416 14解法二 如图，取 BC 的中点 O，取 BD 的中点 E，取 AC 的中点 F，连接 OA，OE， OF，EF，则 OECD ，OFAB，则EOF或其补角为异面直线 AB 与 CD 所成的角，
6、依题得OE CD2，OF AB2，过点 F 作 FGBC 于点 G，易得12 12FG 平面 BCD，且 FG OA ，G 为 OC 的中点，则 OG1，12 3又 OE2， EOG 120 ，所以由余弦定理得 EGOG2 OE2 2OGOEcos EOG ，12 22 212cos120 7由勾股定理得 EF2FG 2EG 2( )2( )210，在OEF 中，3 3由余弦定理得 cosEOF ，OE2 OF2 EF22OEOF 22 22 10222 14因为 ，所以 cos .0，2 147在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB1，AC 2，BC ，D，E 分别是 AC1 和 BB1
7、 的中点，则直线3DE 与平面 BB1C1C 所成的角为( )A30 B45C 60 D90答案：A解析：由已知 AB2BC 2AC 2，则 ABBC.分别以 BC，BA，BB 1为x，y ， z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz ，如图所示，设 AA12a，则A(0,1,0)，C ( ，0,0)，D ，E (0,0， a)，所以3 (32，12，a) ，平面 BB1C1C 的一个法向量为 n(0,1,0)，ED ( 32，12，0)cos ， n ，ED ED n|ED |n|12( 32)2 (12)2 021 12 ，n 60，所以直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为 30.故ED
8、 选 A.8已知二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知AB4，AC 6，BD 8，CD2 ，则该二面角的大小为( )17A150 B45C 120 D60答案：D解析：如图，ACAB，BDAB ，过 A 在平面 ABD 内作AEBD ，过 D 作 DEAB，连接 CE，所以 DEAB 且 DE平面AEC， CAE 即二面角的平面角在直角三角形 DEC 中，CE 2，在三角形 ACE 中，由余弦定理可得 cosCAE13 ，所以CAE 60，即所求二面角的大小为CA2 AE2 CE22CAAE 1260.二、非选择题9向量 a(2,
9、0,5) ，b(3,1 ，2)，c(1,4,0) ，则a6b8c _.答案：(28 ，26，7)解析：a6b8c(2,0,5)6(3,1 ，2)8(1,4,0)(2,0,5)(18,6 ， 12)(8,32,0)(28，26，7) 102019 南宁二中、柳州高中两校联考 在长方体ABCDA 1B1C1D1 中， AB3，BC 2，AA 11，则异面直线 AB1 与BC1 所成角的余弦值为_答案：210解析：在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，连接 AD1，B 1D1(图略) ，易知B 1AD1就是异面直线 AB1与 BC1所成的角因为AB3，BC 2，AA 1 1，所以AB1 ，AD 1
10、 ， B1D1 .在32 12 10 22 12 5 22 32 13AB 1D1中，由余弦定理，得 cosB 1AD1 102 52 1322105.21011.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA 1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为 2 ，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为_2答案：6解析：以 C 为原点建立坐标系 Cxyz，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2 )点 C1在侧面 ABB1A1内的射影为点 C2 .所以2 (32，32，22)( 2,0,2 )， ，设直线 AC1与平面AC1 2 AC2 ( 12，32，22)ABB1A1所成的角为 ，则 cos
11、 .又 AC1 AC2 |AC1 |AC2 | 1 0 8233 32，所以 .0，2 612.如图，已知 AB 为圆锥 PO 的底面直径，PA 为母线，点 C 在底面圆周上，若 PAAB2，AC BC，则二面角 PACB 的正切值是_答案： 6解析：取 AC 的中点 D，连接 OD，PD，则ODAC，PDAC， PDO 是二面角 PACB 的平面角PA AB2，AC BC，PO ， OD ，二面角322PAC B 的正切值 tanPDO .POOD 6刷题课时增分练 综合提能力 课时练 赢高分29 一、选择题12019泸州模拟 在空间直角坐标系中，点 P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的
12、距离为 ，则 m 的值为( )30A9 或 1 B9 或1C 5 或5 D2 或 3答案：B解析：由题意|PP 1| ，30即 ，(m 4)225，m 42 12 22 30解得 m9 或 m1.故选 B.2在空间四边形 ABCD 中，若 ( 3,5,2) ，AB (7，1，4)，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则CD 的坐标为 ( )EF A(2,3,3) B(2，3，3)C (5，2,1) D(5,2，1)答案：B解析：因为点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，O 为坐标原点，所以 ， ( )， ( )所以EF OF OE OF 12OA OD OE 12OB OC (
13、) ( ) ( ) (3，5，2)EF 12OA OD 12OB OC 12BA CD 12( 7， 1，4) (4，6，6)( 2，3，3) 1232018全国卷 在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，ABBC1 ，AA 1 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )3A. B.15 56C. D.55 22答案：C解析：图(1)如图(1)，在长方体 ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相解 法 一同的长方体 AB BAA1B1B1A1.连接 B1B，由长方体性质可知，B 1B AD1，所以 DB 1B为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DB，由题意，得DB
14、 ，BB 1 2，DB 112 1 12 5 12 32 .12 12 32 5在DB B1 中，由余弦定理，得DB 2B B 1DB 12BB 1DB1cosDB 1B，2 2即 54522 cosDB 1B， cosDB 1B .555故选 C.图(2)如图(2)，分别以 DA，DC ，DD1 所在直线为 x，y ，z 轴解 法 二建立空间直角坐标系 Dxyz.由题意，得 A(1,0,0)，D (0,0,0)，D 1 (0,0， )，B 1 (1,1， )，3 3 ( 1,0， )， (1,1， )，AD1 3 DB1 3 1101( )22，AD1 DB1 3| | 2， | | ，AD
15、1 DB1 5 cos ， .AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 55故选 C.4.2019南昌模拟 如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BAC ， ABAC 2，AA 1 ，则直线 AA1 与平面 AB1C1 所成2 6的角为( )A. B.6 4C. D.3 2答案：A解析：直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA 1平面ABC， BAC ，即 ABAC，以 A 为坐标原点， ， ， 的方2 AC AB AA1 向分别为 x，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，B1(0,2， )，C 1(2,0， )，A 1(0,0， )
16、， (0,0， )，6 6 6 AA1 6(0,2， )， (2,0， )设平面 AB1C1的法向量为AB1 6 AC1 6n( x，y，z) ，则Error! 得Error!令 x1，则 y1，z ，所以63n .设直线 AA1与平面 AB1C1所成角为 ，则(1，1， 63)sin|cosn ， | ，所以 .AA1 12 65如图，在三棱锥 ASBC 中，棱 SA，SB，SC 两两垂直，且SASBSC，则二面角 ABCS 的正切值为( )A1 B.22C. D22答案：C解析：解法一 由题意，SA平面 SBC，且 AB AC .如SA2 SB2图，取 BC 的中点 D，连接 SD，AD，
17、则 SDBC ，ADBC ，故ADS 是二面角 ABC S 的平面角设 SASBSC 1，则 SD，在 Rt ADS 中， tanADS ，故选 C.22 SASD 122 2解法二 以 S 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴SB SC SA 的正方向建立空间直角坐标系 Sxyz，设 SA1，则 S(0,0,0)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， (0,0,1) ， (1,0，1)，SA AB (0,1 ， 1)，易知 (0,0,1) 为平面 SBC 的一个法向量设AC SA n( x，y，z) 为平面 ABC 的法向量，则Error!即Error!令 z
18、1，则n(1,1,1)为平面 ABC 的一个法向量，所以 cos ，n .由图SA 33知二面角 ABCS 为锐二面角，故二面角 ABC S 的正切值为.26设正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面A1BD 的距离是 ( )A. B.33 66C. D.233 63答案：C解析：以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 的方DA DC 向为 y 轴的正方向， 的方向为 z 轴的正方向，建立空间直角坐DD1 标系 Dxyz，正方体 ABCDA 1B1C1D1的棱长为 2，D (0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D 1(0,0,2)， (2,
19、0,2) ， (2,2,0) ，DA1 DB ( 2,0,0)设平面 A1DB 的法向量为 n( x，y，z) ，则Error!A1D1 Error!令 x1，则 yz 1，n(1 ，1，1)为平面 A1DB 的一个法向量，点 D1到平面 A1BD 的距离 d .|A1D1 n|n| 2337在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB1，点 D 在棱 BB1 上，且BD 1，则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为( )A. B.104 64C. D.105 65答案：B解析：如图，取 AC，A 1C1的中点分别为 M，M 1，连接MM1， BM，过点 D 作 DNBM 交 MM1于点
20、 N，则易证 DN平面AA1C1C，连接 AN，则DAN 为 AD 与平面 AA1C1C 所成的角在直角三角形 DNA 中，sinDAN .DNAD 322 6482019丽水模拟 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是矩形，PD平面 ABCD，且 PDAD 1，AB2，点 E 是 AB 上一点，当二面角 PECD 为 时，AE( )4A1 B.12C 2 D22 3答案：D解析：如图，过点 D 作 DFCE 于 F，连接 PF，因为 PD平面 ABCD，所以 PD CE，又 PDDF D，所以 CE平面 PDF，所以 PFCE ，可得PFD 为二面角 PECD 的平面角，即PFD
21、，故在 Rt PDF 中，PDDF1，因为在矩形 ABCD 中，4EBC Rt CFD，所以 ，得 EC 2，在 RtDFBC CDEC CDBCDFBCE 中，根据勾股定理，得 BE ，所以CE2 BC2 3AEABBE 2 ，故选 D.3二、非选择题9在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD底面ABCD，PDDC .则二面角 CPBD 的大小为_答案：60解析：以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设PD DC1，则 D(0,0,0)，P (0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，所以 (0,0,1)， (0,1 ，1)， (1,1,0)，
22、( 1,0,0)，设平面DP PC DB BC PBD 的一个法向量为 n1(x 1，y 1，z 1)，由 n1 0，n 1 0 得DP DB Error!令 x1 1，得 n1(1，1,0)设平面 PBC 的一个法向量为 n2(x 2，y 2， z2)，由n2 0， n2 0 得PC BC Error!令 y2 1 得 n2(0,1,1)设二面角 CPBD 的大小为，则 cos ，又由题可知 为锐角，所以 60.|n1n2|n1|n2| 1210如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个结论：AFGC；BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60；BD MN；直线 BG 与平面 AB
23、CD 所成的角为 45.其中正确结论的个数为_答案：2解析：将平面展开图还原为正方体如图所示，对于，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故正确对于，BD 与 GC 显然成异面直线，连接 MB，MD，则 BMGC，所以 MBD 为异面直线 BD与 GC 所成的角或其补角，在等边三角形 BDM 中，MBD60，所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60，故 正确对于，BD与 MN 为异面直线，所以错误对于，由题意得 GD平面ABCD，所以 GBD 为直线 BG 与平面 ABCD 所成的角，但在直角三角形 BDG 中，GBD45，所以错误112019 陕西西安模拟 如图，在四棱锥 PABCD 中
24、，底面ABCD 为边长为 的正方形，E，F 分别为 PC，AB 的中点2(1)求证： EF平面 PAD；(2)若 PABD ，EF平面 PCD，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小解析：证明 设 PD 的中点为 Q.连接 AQ， EQ，则 EQ 綊CD，12AF 綊 CD，EQ 綊 AF，12四边形 AFEQ 为平行四边形 EF AQ .EF 平面PAD，AQ 平面 PAD，EF平面 PAD.(2)由(1)知， EFAQ，EF平面 PCD，AQ 平面 PCD.PD，CD平面 PCD，AQ CD，AQPD.AQ CD，ADCD，AQADA ，CD 平面 PAD.又PA平面 PAD，PACD
25、.PABD，CDBD D ，PA平面 ABCD.由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以 A 为坐标原点， ， ，AB AD 的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角AP 坐标系 A xyz.AQ PD，且 Q 为 PD 的中点，APAD ，2则 A(0,0,0)，B( ，0,0)，Q ，D(0， ，0) ，P(0,0， )，2 (0，22，22) 2 2 ， ( ，0， )，易知 为平面 PCDAQ (0，22，22) PB 2 2 AQ 的一个法向量设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ，则 sin ，|PB AQ |PB |AQ | | 112| 12直线 PB 与平面 PCD 所成角为 .6
