1、2019 届苏教版（文科数学） 空间几何体的表面积与体积 单元测试1一个长方体共一顶点的三条棱长分别是 ，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这3,6个球的表面积是A12 B18C36 D62某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A1 B2C3 D63如图， 格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A60 B72C81 D1144一个与球心距离为 2 的平面截球所得圆面面积为 ，则球的表面积为A BC D5我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思
2、是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为 丈、下底为 丈、高为 丈，直棱柱的侧棱长为 尺.如果25.43.850一个秋天工期的单个人可以筑出 立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？ ”30（注：一丈等于十尺）A B246 2601C D50 7836某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A B60 75C D9 937一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 ，则该几何体的体积为102A B43 453C D423 838如图，直角梯形 中， ， ， ，若将直角梯形绕ABCDABC22A
3、D边旋转一周，则所得几何体的表面积为 B9将若干毫升水倒入底面半径为 4cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 cm.10正三棱锥的高为 ，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 126 11如图所示的几何体 为一简单组合体，在底面 中， ， ，QPABCDABCD60ADC， ， ， ， .AB平 面 Q1P2Q（1）求证：平面 ；平 面PABQC（2）求该组合体 的体积.D1 （2018 新课标 I 文 ）在长方体 中， ， 与平面 所成的角为1ABCD2ABC11BC，则该长方体的体积为30A
4、8 B 6C D2 832 （2018 新课标 I 文 ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得1O212的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为A B12C D2 103 （2018 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧侧侧2211A2 B4C6 D84 （2016 新课标全国文 ）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A B1232C D 5 （2018 年高考新课标卷文 ）设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三AC， ， ， ABC角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的
5、最大值为93DABCA B12 183C D 43 546（2017 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A B12 32C D37（2017 北京文 ）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A60 B30C20 D108 （2016 新课标全国文 ）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是283A17 B18C20 D28 9 （2016 山东文 ）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A B12+3 12+3C D6 610（2016 四川文
6、）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 .11（2016 浙江文 ）某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.12（2017 山东文 ）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .1413 （2017 天津文 ）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 14 （2017 新课标全国文 ）长方体的长，宽，高分别为 ，其顶点都在球 的球面上，则球 的表3,21O面积为 .15 （2017 江苏）如图，在圆柱 内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱12O
7、的体积为 ，球 的体积为 ，则 的值是 .12O1V2V116 （2017 新课标全国文 ）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB，SA =AC，SB=BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 17 （2018 天津卷文）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 18 （2018 新课标 II 文 ）已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，SASBSA30若 的面积为 ，则该圆锥的体积为 SAB 819 （2017 新课标全国文 ）如图
8、，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且 9PCD（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， ，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积90APD8320 （2018 新课标 I 文 ）如图，在平行四边形 中， ， ，以 为折ABCM3A90CMA痕将 折起，使点 到达点 的位置，且 ACMDD（1）证明：平面 平面 ；（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体QPBC23PQAQABP积变式拓展1【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是 1、4 的正方形；左、后两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为
9、4 的直角梯形；前、右两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 5 的梯形其表面积为 故选 C1144245262S2 【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为 ，下部263， ，分为长方体，棱长分别为 ，63， ，其表面积为 .学 . 463262319S故选 A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算.3 【答案】D【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直
10、观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4【解析】 （1）如图，连接 ，1BM因为底面 是边长为 的正三角形，ABC2所以 ，且 ，M3因为 ， ， ，131601BM所以 ，22cos7B所以 ，17又因为 ，0A所以 ，22211MBA所以 ， 又因为 ，1C所以 平面 .A1B【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为
11、正三角形，易得 ；由各边长度，结合余弦定理，AMBC可求得 的值，再根据勾股定理逆定理可得 ，从而可证 平面 ；（2）将BM1 1BC斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解.5 【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去 后余下的部分，球的半径为 2，几何体的表面积14S=（1 ）42 2+22=16故答案为 A.学 4【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法.6 【答案】D【解析】因为 ， ，所以2BCD3，212cos ,
12、CBD因此三角形 BCD 的外接圆半径为 ,2sin设外接球 的半径为 R，则 故选 D.O324256=+416,=.ABSR（ ）【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形 BCD 外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果 .7 【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体 的四个顶点，即1
13、ABCD为三棱锥 ，且长方体 的长、宽、高分别为 ，1ACD1ABCD2,ab【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题考点冲关1【答案】A【解析】长方体的体对角线的长是 ，所以球的半径是 ，222
14、3633所以该球的表面积是 ，故选 A.241S【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果.2 【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键3【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为 12，底面周长为 16，棱柱的高为 3，故柱体的表面积 S=212+163=72.4【答案】A【解析】
15、用一平面去截球所得截面的面积为 ，所以小圆的半径为 1.已知球心到该截面的距离为 2,所以球的半径为 ，所以表面积为 45=20.故选 A.5【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为 （立方尺） ，一205438073个秋天工期所需人数为 ，故选 B.78032616 【答案】B【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：圆柱侧面积： ，圆锥侧面积： ，16742S22163415S半个球面的面积： ，所以表面积为 .故选 B. 31875【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经
16、不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.7【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥 ，其中 底面 ，底面 是正方形，PABCDPABCD【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.8【答案】 (32)【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，则表面积为 212123rlhr9【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为 h cm,则水面圆的半径为 htan30=
17、 ,则由 428= ( )33h2h,解得 h=4 .10 【答案】 8526【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出 ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法 R11【解析】 （1） ， ，平 面QDABCPQD ，平 面PA又 ，平 面BC ，学 又 ， ， ， ，A平 面PAB平 面 PABA ，平 面BC又 ，平 面 Q平面 .平 面PABC ，23BCD .13sin0 BCS ，平 面QA .113239BCDBCVS该组合体的体积 .1BPADQBCV直通高考1 【答案】C【解析】在长方体 中，连接 ，1A
18、BCD1BC根据线面角的定义可知 ，因为 ，所以 ，从而求得 ，130ACB2AB123C12C所以该长方体的体积为 ，故选 C.28V【名师点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长、宽、高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，最终求得结果.2 【答案】B【名师点睛】该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.3 【答
19、案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上、下底分别为 1，2，梯形的高为 2，因此几何体的体积为 选 C.16,2【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4 【答案】A【解析】因为正方体的体积为 8，所以棱长为 2，所以正方体的体对角线长为 ，所以正方体的外接23球的半径为 ，所以该球的表面积为 ，故选 A.324(3)15 【答案】B【解析】如图所示，设点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点 在平
20、面 上的射影为三角形 ABC 的重心时，三棱锥 体积最大很关键，DABCDABC由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到 OM，进而得到结果，23MBE属于较难题型.6【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为 ，选 A学 2113()12V【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1
21、）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整7【答案】D【解析】该几何体是如下图所示的三棱锥 .PABC由图中数据可得该几何体的体积是1534102V，故选 D.【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.8 【答案】A 9 【答案】C 【解析】由已知及三视图可得，半球的直径为 ，正四棱锥的底面边长为 1，高为 1
22、，所以其体积为2，选 C.31421()3610【答案】 【解析】由三视图可知该几何体的底面积为 ，高为 1，所以该几何体的体积为123S.1313VSh11【答案】80，40 【解析】由三视图可知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，则 ， 22226480(cm)表 面 积S33420(cm)V12【答案】【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆的半径为 1,所以.学 2124V【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图, 此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等” 的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要
23、熟悉 ,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：看视图,明关系；分部分,想整体；综合起来,定整体13 【答案】92【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心14 【答案】 14【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以2 2314,14.RSR【名师点睛】涉及球与棱柱、
24、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径) 与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15 【答案】32【解析】设球半径为 ，则 故答案为 r2134Vr32【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解16 【答案】 36【名师点睛】本题考查了球与几何
25、体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球17 【答案
26、】13【解析】如图所示，连接 ，交 于点 ，很明显 在平面 上的射影是点 O，则1AC1BDO1A1BD是四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 ， 1O211C，1 2BDS四 边 形结合四棱锥体积公式可得其体积为： .12133VSh【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18 【答案】8【名师点睛】此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.19 【解析】 （1）由已知 ，得 ， 90BAPCD ABPCD由于 ，故 ，从而 平面 ACD 又 平面 ，所以平面
27、 平面 B（2）在平面 内作 ，垂足为 PADEE由（1）知， 平面 ，故 ，可得 平面 BABPABCD设 ，则由已知可得 ， x2xx故四棱锥 的体积 PABCD3113PABCDVPE由题设得 ，故 学 318x2从而 ， ， PAB2P可得四棱锥 的侧面积为 CD211sin60232ADBPDCB【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出（2）由已知可得，DC= CM=AB=3，DA = 32又 ，23BPDQA所以 作 QEAC，垂足为 E，则 =13DC由已知及（1）可得 DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE =1因此，三棱锥 的体积为 QABP1132sin4513QABPABPVES【名师点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.
