1、一、抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 ,相等的点,准线,抛物线的定义中对定点与定直线有何要求？,提示：在抛物线的定义中，定点F不能在定直线l上，若定点F在定直线上，则可得动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线.,二、抛物线的标准方程与几何性质,x0，yR,x0，yR,x轴,2py(p0),2py(p0),y0，xR,y0，xR,2py(p0),2py(p0),y轴,1抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 ( )A2 B3C4 D5,解析：法一：y4，x24y16. x4.A
2、(4,4)焦点坐标为(0,1)， 由两点间距离公式知距离为法二：抛物线准线为y1，A到准线的距离为5.又A到准线的距离与A到焦点的距离相等，距离为5.,答案：D,2抛物线yax2的准线方程是y20，则a的值是( ),解析：将抛物线的方程化为标准形式x2 ，其准线 方程是,y= =2,a=,答案：B,C.8 D.8,3从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则MPF的面积为C20 D10,解析：由题意，设P( ，y0)， 则|PF|PM| 15，y04， SMPF |PM|y0|10.,答案：D,4抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线
3、段AB中点到y轴的距离是_,解析：由抛物线定义可知，A、B到准线x 的距离之和也是5，从而线段AB中点到准线距离是 ，故AB中点到y轴的距离是,答案：2,5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程为_,解析：当m0时，准线方程为x 2，m8； 此时抛物线方程为y28x； 当m0时，准线方程为x 4，m16. 此时抛物线方程为y216x. 所求抛物线方程为y28x或y216x.,答案：y28x或y216x,抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握： (1)抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线” (2)抛物线的定义的实质可归结
4、为“一动三定”：一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1) (3)抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有重要作用,已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标,利用定义将求|PA|+|PF|的最小值转化为|PA| +d的问题.,【解】 将x3代入抛物线方程y22x，得y . 2，A在抛物线内部 设抛物线上的点P到准线l：x=- 的距 离为d，由定义知|PA|+|PF
5、|=|PA|+d. 当PAl时，|PA|+d最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，所以点P坐标为(2,2),1将本例中A(3,2)改为A(3， )求|PA|PF|的最小值及此时P点的坐标,解：可判断A(3， )在抛物线y22x的外部，由定义可 知|PA|PF|AF| ，此时P(2,2).,1抛物线的标准方程 (1)p的几何意义：p是焦点到准线的距离，故p恒为正数 (2)抛物线标准方程的形式特点形式为y22px或x22py；一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方
6、向”；焦点的非零坐标是一次项系数的,【注意】 焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2ax(a0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2ay(a0),2几何性质与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2 (2)|AB|x1x2p (为AB的倾斜角) (3)SAOB (为AB倾斜角)(4) (5)以AB为直径的圆与准线相切 (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 (7)CFD90.,为定值,(2009山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( ) Ay24x By28x
7、 Cy24x Dy28x,利用条件待定系数a可求.,【解析】 由抛物线方程知焦点F( ，0)，直线l为y=2(x- )，与y轴交点A(0，- ) SOAF= |OA|OF|a2=64，a=8.故y2=8x.,【答案】 B,2(2009长沙模拟)已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F，点P(1， )在抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂足为Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为_,解析：由P(1， )在抛物线上，得p ，故抛物线的标准方程为x24y，点F(0,1)，准线为y1，|FM|2，|PQ| |MQ|1，则直角梯形PQMF的面积为,答案：,设抛物线方程为y22p
8、x(p0)，直线AxByC0，将直线方程与双曲线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0， (1)若m0，当0时，直线抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点 (2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛 物线的对称轴平行,已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足 (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点， 97，其中Q(1,0)，求直线l的方程,（1）设出B、C、P三点的坐标，利用条件 =0建立方程 组，即可求P点的轨迹方程. （2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况.,
9、【解】 (1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则by代入得y24x. 动点P的轨迹方程为y24x.,(2)当直线l的斜率不存在时，x8与抛物线没有交点，不合 题意 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则 l：yk(x8) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 由 得(x11)(x21)y1y297， 即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97， (1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297， ,将yk(x8)代入y24x得 k2x2(416k2)x64k20， x1x2 ，x1x264. 代入式得 64(1k2)(18k2) 164k297. 整理得
10、l的方程为y (x8)， 即x2y80或x2y80.,3已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l：x1相切，点C在l上(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P，且斜率为 的直线与曲线M相交于A、B两点问ABC能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不能，说明理由,解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为 y24x.如图所示(2)由题意得，直线AB的方程为y=- (x-1)， 由 消y得 3x2-10x+3=0. 解得,若ABC能为正三角形， 设C(-1，y)，则|AC|=|AB|=|BC|，即组成的方程组无解，因此直线l上不存在点C使ABC是正三角
11、形,对于抛物线的考查，主要涉及抛物线的定义、几何性质、标准方程及直线与抛物线的位置关系，多以选择、填空为主.2009年宁夏海南高考在填空题中考查了抛物线方程的求法.难度不大.属容易题.,(2009宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A、B两点若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_,解析 法一：设抛物线方程为y2ax， 则由 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由x1x2a，又 a4，即y24x.,法二：设抛物线方程为y2ax， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y24， ax1， ax2， 得 a(x1x2)， (y1y2) a，a4. 即y24x.,答案 y24x,(1)本题法一中充分利用直线与抛物线的位置关系及中点公式求a. (2)法二是“点差法”，此法主要解决弦的中点问题，即建立弦的中点与弦所在直线的斜率关系式，“设而不求”，方法简捷,
