1、第五章 根轨迹法,5.1 根轨迹法的基本概念根轨迹定义：以系统中某一参数（通常为开环增益K）为变量，当变量由0变化到无穷时，在S复平面上描绘的系统闭环特征方程根的分布曲线。根轨迹分析法的特点：利用系统开环传递函数的零、极点信息，依据一些简单规则，绘制闭环系统的根轨迹图（闭环极点分布图），间接研究闭环系统的性质。它可避免求解闭环系统特征方程根的复杂运算，是求解闭环系统特征方程根的一种简便图解法。基于根轨迹法的系统设计思想：闭环系统特征方程根的分布可决定系统的稳定性、静态和动态性能，是综合体现系统设计的性能指标。工程设计中通常是提出希望的闭环系统极点（特征根）分布指标要求，通过根轨迹图，确定满足指
2、标要求的系统参数，完成控制系统的设计。基于根轨迹的设计方法是控制系统设计的一种有效简便的图解方法。,-0.5,-1,0,s,K=0,K=0,K=0.25,5.2.1 模条件与角条件1、根轨迹应满足的基本条件设系统开环传递函数一般形式为：G0(S)=KN(S)/D(s)闭环特征方程为： G0(S)+1=0，或G0(S) =-1当s取某一复数值时，方程左端是一个复数，可用极坐标摸角形式表示为：G0(S)= G0(S) ejargG(s)= -1ejarctg(0/-1=0)依据方程两端摸角相等，可得到特征根应满足的摸角特征方程表达式：摸值G0(S)= KN(s)/D(S)= 1 （摸值条件）相角
3、arg G0(S)=(2k+1)，k=0,1,2, （相角条件） 这就是特征根s*应满足的摸角条件。 对应K:0 的取值，在s平面上满足摸角条件的特征根轨迹，称为关于增益参数K的根轨迹-简称根轨迹。摸角条件也称为关于增益参数K的根轨迹方程。根轨迹上所有点都应满足摸角条件，反之，凡是满足摸角条件的点s都属于根轨迹。,5.2 根轨迹的基本特性及绘制规则,m,n,这种以参数增益K*为参变量的特征方程就是根轨迹方程,闭环特征方程 为：1+G0 = 0，即：,2、摸角条件更具体的形式设系统开环传递函数用零极点表示为： G0(S)= K*N(S)/D(s) =K*(s-Z1) (s-Zm) / (s-p1
4、) (s-pn),根轨迹的模值条件与相角条件,-1,规则2、 根轨迹的起点，终点及分支数（条数）确定规则。起点规则：K=0时根轨迹位置=开环传递函数G0(S) 的n个极点位置。由摸条件可知，K=0时有s-pi=0,根轨迹起始于所有开环极点处终点规则：K=时根轨迹位置-m个有限开环零点位置和n-m个无穷开环零点位置。由摸条件可知，K=时有s-zj=0,根轨迹终止于m个有限开环零点处，n-m个无穷开环零点(说明见P243）分支数规则：根轨迹条数=开环极点数n。因为，根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。对应一个参数变量K值摸值条件方程有n个根，所以有n条）,规则3根轨迹在实轴上的分布规则若实轴上某点
5、s1右侧开环零极点个数之和为奇数，则该点所在实轴段为根轨迹。若右侧开环零极点个数之和为偶数或0，则该点所在实轴段不是根轨迹。 证明见P243图5.5,结论：所有共轭复数型开环零极点指向s1的方向角之和=0（或2k）,所有位于s1左侧的实数型开环零极点指向s1的方向角=0，所有位于s1右侧的实数型开环零极点指向s1的方向角=，所以，只有s1右侧开环零极点个数之和为奇数，才能满足角条件=(2k+1). 规则4根轨迹(终止于无穷零点)的渐进线绘制规则根轨迹有n-m条渐进线（终止于无穷零点-终点规则）；渐进线与实轴交点坐标=(极点坐标)-(零点坐标)/(n-m);渐进线方向角=（2k+1)/(n-m)
6、.s，角条件变为m-n=（2k+1),依据规则1（关于实轴对称-与实轴相交），证明见P244-245 本例:3条渐进线,方向角为/3,-/3,坐标=0-1-2-0/(3-0)=-1,规则5根轨迹分离点和会合点确定规则因为根轨迹起始于开环极点终止于开环零点。所以，实轴上相邻极点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹分离点。分离点确定：dG0(S)/ds=0,(重根计算法：分离点为重根点) 实轴上相邻零点间线段为根轨迹，则必存在根轨迹会合点。会合点确定： dG0(S)/ds=0,(重根计算法：会合点为重根点)重根计算法依据：S1是2重根，必有f(S1)=0和f(S1)=0同时成立。依据相角条件的试探法略，
7、见P247） 本例: dG0(S)/ds=3s2+6s+2=0, S1 =-0.423，分离点 规则6实轴上分离点分离角和会合点会合角的确定分离角和会合角（离开分离点和进入会合点时根轨迹切线方向角）：恒=900。 （依据相角条件，证明见P247-248）,规则7根轨迹在开环复极点（或复零点）处的切线方向角,为根轨迹的出射角(或入射角).出射角=(各零点指向该极点的方向角)-(其他极点指向该极点的方向角)-(2k+1)（依据相角条件，证明见P249）入射角=(各极点指向该零点的方向角)-(其他零点指向该零点的方向角)+(2k+1) 本例:p1=-1+j1,p2=-1-j1,p3=0,p4=-3,
8、z1=-2, p1-z1=1-j1, arctg(p1-z1)=-450,1=-450-(-1350-900-26.60)-1800=-26.60 规则8根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益K值确定规则根轨迹与虚轴有交点说明特征方程有共轭虚根s=j。解特征方程：1+ G0(j)=1+K*N(j)/D(j) =0，即解方程组：Re1+ K*N(j)/D(j) =0Im1+ K*N(j)/D(j) =0可得到虚轴的交点坐标和对应的临界根轨迹增益值K*试探法说明见P249,规则9闭环极点的和与积基于代数方程根与系数的关系，对下列闭环特征方程的根Si与系数ai之间有下列和与积的关系。利用该关系可在已知某
9、些根时求解另外的根。,0,-1,(1) 正实轴上的点s1，,arg(s1-0) = 0,arg(s1-(-1) = 0,不属于根轨迹；,(2) 实轴上原点与-1点之间的点s2，,arg(s2) = ; arg(s2+1) = 0;,属于根轨迹；,(3) 实轴上-1点左边的点s3，,args3=, arg(s3+1)=,不属于根轨迹；,(4) 实轴以外的点s4，,2,1,3,2+ 1= 或 2 3,属于根轨迹；,5.3 根轨迹绘制举例,开环零点-2，,根轨迹的绘制举例,0,Im,-1,Re,-3,-2,开环极点0、-3、-1+j1、-1-j1,1. 根轨迹关于实轴对称；,2. 根轨迹有n条(n
10、=4)分支, 起点是开环极点， 有m条(m =1)的终点是开环零点，其余的终点在 无穷远,3. 试探点右侧实零点与实极点数目之和是奇数，则该段实轴属于根轨迹；,4. 根轨迹渐近线其角度为：,与实轴交点坐标为：,-60。,60。,180。,5. 根轨迹在负极点pa处的出射角,6. 根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益,1.61,-1.61,-26.6。,3、非闭环主导极点对阶跃响应的影响由闭环极点分布与系统动态特性的关系可知：阶跃响应y(t)由闭环极点相对应的多个分量叠加而成,如果所有极点都分布在左半平面(具有负实部),则系统响应将呈现单调衰减或振荡衰减的动态特性,并且各分量衰减的快慢主要取决于所
11、对应极点离虚轴的距离(负实部绝对值的大小),极点离虚轴越远,相应的分量过度过程衰减越快、幅度越小，对系统动态特性影响越小,反之,极点离虚轴越近,相应的分量过度过程衰减越慢、幅度越大，对系统动态特性影响越大。闭环极点的这种影响作用,是因为每个闭环极点p实际上是对应着一个时间常数为T=-1/p的惰性单元,极点p离虚轴越近,惰性环节的时间常数T=-1/p越大，系统响应速度越慢、超调量越大、调节时间越长，对系统动态特性影响越大。反之，极点p离虚轴越远,影响越小（详细见图5.27）。一般称对系统动态特性影响大的极点(离虚轴较近的极点)为主导极点,影响小的极点(离虚轴较远的极点)为非主导极点。若某极点较其
12、他极点原离虚轴4-6倍，则称其为非主导极点,工程上对其影响往往可忽略不计。 4、闭环偶极子对阶跃响应的影响称在s平面相距很近的闭环零极点对为闭环偶极子。数学上分别位于传递函数的分子和分母，可近似相消。从响应分量看：Ak值很小，微分和惰性作用相互抵消。一般两零极点间距较其他零极点距离为1/10或更小时，可视为偶极子，忽略不计其对系统动态特性的影响。,5.5 根轨迹在控制系统校正中的应用（非重点） 意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。 5.5.1 根
13、轨迹的改造（通过增加开环零极点和偶极子改造根轨迹） 1、增加开环零点对根轨迹的影响增加开环零点：可以使根轨迹左移，有利于改善系统稳定性及动态性能；增加零点离虚轴越近，左移越显著，微分作用越强。,5.5.2 按根轨迹法校正反馈系统（非重点）意义：掌握利用根轨迹图分析设计控制系统的方法：当系统设计要求的希望闭环极点不在根轨迹上时，如何通过选择合适的校正装置（控制器），改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上，以满足设计要求。基本步骤：1、根据给定的动态性能指标，确定（转换为）希望闭环主导极点。2、绘制原系统根轨迹，当系统设计要求希望的主导闭环极点不在根轨迹上时，通过选择合适的校正装置（控制器）类型
14、，改造根轨迹，使其希望闭环极点位于根轨迹上。3、若校正改造后的根轨迹已通过希望的闭环主导极点，还需检验开环比例系数满足要求。必要时增加开环偶极子。4、校核静态和动态指标满足要求。该步骤一般需要反复操作，同时需要有经验。,例1. 对象传递函数为,要求设计一串联校正装置K(s)，使阶跃响应的超调量%=30%,过渡时间ts=1.5s，开环比例系数K010s-1。,第1步. 根据给定的动态性能指标，确定希望的闭环主导极点；,主导极点为：,第2步. 画出未校正系统的根轨迹,p1,校正装置的传函为,-3.9,-9.4,A,1200,1010,pc,zc,410,B,第3步. 检验静态指标是否满足要求,-9.4,-3.9,8.24,5.27,5.29,6,p1,第4步. 检验动态指标,第五章结束,
