1、1第周 倍数问题（一）专题简析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即 1 倍数，再根据其它几个数与这个 1 倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出 1倍数。例 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 厘米，第二根剪去 26 厘米，余下的铁丝第一根是第二根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少厘米？分析 由于第二根比第一根多剪去 2618=8 厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（31）倍。因此，8（31）=4（厘米） 。就是现在第二根铁丝的长度
2、，它原来长426=30 厘米。练 习 一1，两个数的和是 682，其中一个加数的个位是0，如果把这个 0 去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？2，两根绳子一样长，第一根用去 6.5 米，第二根用去 0.9 米，剩下部分第二根是第一根的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？3，一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉 40 个苹果和 15 个梨后，剩下的梨是苹果的 6 倍。原来两筐水果一共有多少个？例 2 甲组有图书是乙组的 3 倍，若乙组给甲组6 本，则甲组的图书是乙组的 5 倍。原来甲组有图书多少本？分析 甲组的图书是乙组的 3 倍，若乙组拿出6 本，甲组相应的也拿出 63=18 本，则甲组仍是
3、乙组的 3 倍。事实上甲组不但没有拿出 18 本，反而接受了乙组的 6 本，186 就正好对应着后来乙组的（53）倍。因此，后来乙组有图书（186）（53）=12 本，乙组原来有126=18 本，甲组原来有 183=54 本。练 习 二1，原来小明的画片是小红的 3 倍，后来二人各买了 3 张，这样小明的画片就是小红的 2 倍。原来二人各有多少张画片？2，一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的 4 倍。从下层拿 5 本放入上层后，上层的本数正好是下层的 5 倍。原来下层有多少本书？3，幼儿园买来的苹果的个数是梨的 3 倍，吃掉10 个梨和 6 个苹果后，剩下的苹果个数正好是梨的 5 倍。
4、原来买来苹果和梨共多少个？例 3 幼儿园买来苹果的个数是梨的 2 倍。大班的同学每 7 人一组，每组领 3 个梨和 4 个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下 16 个。大班共有多少个同学？分析 因为苹果是梨的 2 倍，每组分 3 个梨和32=6 个苹果最后就一起分完。可每组分 4 个苹果，少分 64=2 个，所以有 8 组同学，全班有 78=56 人。练 习 三1，高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗 100棵。如果每个小组分给杉树苗 6 棵，杨树苗 8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩 2 棵。两种树苗原来各有多少棵？2，高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2 倍。如果每小组分到杉树
5、6 棵，杨树 8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩 20 棵。两种树原来各的多少棵？3，同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的 3 倍。如果每位老人拿 2 个桔2子和 4 个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下 14 个。同学们把水果分给了几位老人？例 4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出 8 个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出 13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的 2 倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？分析 根据“从甲筐拿出 8 个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多82=16 个橘子；如果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多 16132=42
6、个。因此，乙筐里还有 42（21）=42 个，原来乙筐里有 4213=55 个，甲筐里原来有5516=71 个。练 习 四1，甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取 31 吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取 14吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的 4 倍。原来两仓各存货物多少吨？2，兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了 5 本书，平均每本 8.4 元；弟弟买了 3 支笔，每支笔 1.2 元，现在弟弟的钱是哥哥的 3 倍。兄弟两人原来各有多少元？3，学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给 5 个男生，则男、女生人数同样多；如果参加的男生名额给 4 个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中
7、男、女生各多少人？例 5 甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，甲粮库每天运出粮食 40 吨，乙粮库每天运出 30 吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有80 吨。甲、乙粮库原来各有粮食多少吨？分析 因为甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，如果每天乙粮库运 30 吨，甲粮库运出 302=60吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出 40 吨，所以，每天就少运6040=20 吨。80 吨里包含有 4 个 20 吨，也就是已经运了 4 天，因此，甲粮库原有粮食40480=240 吨，乙粮库原有 2402=120 吨。练 习 五1，果园里桃树的棵数是梨树的 3 倍，某农民给这些果树喷洒农
8、药，已知他每天喷洒 24 棵桃树和 10 棵梨树，几天后，梨树全部喷洒完，而桃树还剩下 24 棵。果园里有桃树和梨树各多少棵？2，小朋友带着一篮桔子和苹果送给敬老院的老人们，每个老人分各 3 个苹果和 5 个桔子，最后苹果分完，篮子里还剩下 7 个桔子。如果原来桔子的个数是苹果的 2 倍，那么，分给了几个老人？原来有多少个苹果？3，甲、乙二人共存钱 550 元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的 70 元钱时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？第周 倍数问题（二）专题简析：解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其它几个数与这个标准数的倍数关系
9、，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧，灵活解题。和倍问题的数量关系是：和数（倍数1）=较小数较小数倍数=较大数差倍问题的数量关系是：差数（倍数1）=较小数较小数倍数=较大数例 1，养鸡场的母鸡只数是公鸡的 6 倍，后来公鸡和母鸡各增加 60 只，结果母鸡只数就是公鸡的 4 倍。原来养鸡场一共养了多少只鸡？3分析 养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的 6倍，如果公鸡增加 60 只，母鸡增加 606=360只，那么，后来的母鸡只数还是公鸡的 6 倍。可实际母鸡只增加了 60 只，比 360 只少 300 只。因此，现在母鸡只数只有公鸡的 4 倍，少了
10、 2倍。所以，现在公鸡的只数是 3002=150 只，原来有公鸡 15060=90 只，一共养了90（16）=630 只鸡。练 习 一1，今年，爸爸的年龄是小明的 6 倍，再过 4 年，爸爸的年龄就是小明的 4 倍。今年小明多少岁？2，原来食堂里存的大米是面粉的 4 倍，大米和面粉各吃掉 80 千克，大米的重量是面粉的 2 倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？3，饲养场的白兔只数是黑兔的 5 倍，后来卖掉了 10 只黑兔，买回来 20 只白兔，现在白兔的只数是黑兔的 7 倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？例 2 有 1800 千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是
11、乙车的2 倍，乙车比丙车多装 200 千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？分析 如果丙车多装 200 千克，就和乙车装的货物同样多，这样三辆车装的总重量就是1800 200=2000 千克。再把 2000 千克平均分成4 份，就得到乙车上装的货物是 500 千克，甲车上装 5002=1000 千克，丙车上装有500200=300 千克。练 习 二1，三堆货物共 1800 箱，甲堆的箱数是乙堆的2 倍，乙堆的箱数比丙堆少 200 箱。三堆货物各多少箱？2，甲、乙、丙三数的和是 224，如果甲是乙的3 倍，丙是甲的 4 倍，求甲、乙、丙三数各是多少。3，把 840 本书放在书架的三层里，下层放
12、的本数比上层的 3 倍多 5 本，中层放的本数是上层的 2 倍多 1 本。问：上、中、下三层各放书多少本？例 3 甲、乙两个书架，已知甲书架有书 600 本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的 2 倍还多 150 本。乙书架原来有书多少本？练 习 三1，某校有男生 630 人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的 2 倍。这个学校共有学生多少人？2，食堂存有同样重量的大米和面粉，吃大米的四分之三和 60 千克面粉后，剩下的面粉的重量地大米的 3 倍。原来存有大米和面粉各多少千克？3，有两堆水泥，甲堆有 4.5 吨，已
13、知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？例 4 A 站有公共汽车 26 辆，B 站有公共汽车30 辆。每小时由 A 站向 B 站开出汽车 12 辆，B站向 A 站开出汽车 8 辆，都是经过 1 小时到达。几小时后 B 站的公共汽车辆数是 A 站的 3 倍？练 习 四1，甲有邮票 42 张，乙有邮票 48 张。每次甲给乙 2 张，而乙又给甲 4 张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的 2 倍？2，甲仓存有大米 650 袋，乙仓存有大米 400 袋。每天从甲、乙仓各运出 50 袋，多少天后甲仓的大米袋数是乙仓的 6 倍？3，有两杯水，一杯有水 104 毫升，另一杯有水24 毫升，每次往两只杯子中各倒进 8 毫升水，4倒几次后，一只杯中的水是另一杯的 2 倍？例 5 甲、乙、丙三数的和是 78，甲数比乙数的 2 倍多 4，乙数比丙数的 3 倍少 2。求这三个数。练 习 五1，有三个小组，甲组的人数比乙组的 2 倍多 6人，乙组的人数是丙组的 2 倍。三个小组一共有 90 人，每个小组各有多少人？2，某工厂共有工人 560 人，其中男工比女工的3 倍少 40 人，男工和女工各有多少人？3，三种水果共 132 个，已知苹果的个数比梨的3 倍少 6 个，梨的个数比桔子的 3 倍多 2 个。三种水果各有多少个？
