1、第 18 讲 方程增根遗根问题（第课时）方程的八种非同解变形 变 形利 用 合 分 比 定 理 把 方 程 程 变 形利 用 对 数 运 算 法 则 把 方方 程 两 边 同 时 平 方 的 代 数 式方 程 两 边 同 加 含 未 知 数 的 代 数 式方 程 两 边 同 乘 含 未 知 数 )()(log)(l )()( xfxfnfxaanxf 重点：1 ；2 ；3 。难点：1 ；2 ；3 ；。1了解八种非同解变形；2判别方程变形后是否会产生增根或是遗根。如果产生，是增根还是遗根。1 ；2 ；3 。方程变形后，如果新方程的未知数的允许取值范围和旧方程相比较是变大了，则一般可能产生增根，若
2、是变小了，则一般可能会遗根。下述八种变形可能导致扩大或缩小未知数允许取值范围，是非同解变形，故而有可能引起增根或遗根。1方程两边同乘含未知数的代数式即 （其中 不为常数） 。)(xf)()(xPxf)(x例. (初三)解方程 。213解：两边同乘 得 ，2x)(x的 的允许取值范围比扩大了，可能增根。再进一步分析，可取 ，不能。2x但 不是的根，所以从变到实际上没有增根。2x神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！例. (初三)解方程 。)103()2(3xx解：两边同时除以 （即同乘以 ）得 ，3)10(3)2(xx的 的允许取值范
3、围比缩小了，可能遗根。再进一步分析，不可以取 ，但x可以取。而且 正好是的根，所以从变到遗了根。2方程两边同加含未知数的代数式即 （其中 不为常数或整式） 。)(f)()(xPxf)(x例. (初三)解方程 。5123x解：两边同时加上 得 ，51的 的允许取值范围比扩大了，可能增根。进一步分析，中的 ，但中，x 5x，所以从变到产生了增根。5例. (初三)解方程 。xxx13解：两边同时加上 得 ，15的 的允许取值范围比扩大了，可能增根。进一步分析，中 ，但中，x 2x，所以从变到产生了增根。13方程两边同时平方即 。)(xf22)()(xf例. (初三)解方程 。71解：两边平方得 ，的
4、 的允许取值范围比扩大了，可能增根。进一步分析，中要求 ，中71x的 ， ，所以从变到产生了增根 。51x02 102x4 。)()(xf)(xf例.（高一）解方程 。21321x解：变形得 ，2的 允许取值范围是 ，但中若 ，且 使 为无理数，或分x),(0x21x母是偶数而分子是奇数的既约分数时，将无解。显然，的 的允许取值范围比扩大了，可能增根。特别注意，这里的的取值范围虽然比扩大了，但反而可能遗去根 “1”，因为当时，由 方可得 。1)()(xxf)(f5 。nxf)(log)(xfn例.（高一） 。123l12x解：变形为 ，的 允许取值范围是 ，但中要求 ，显然，的 的允x),(0
5、1232xx许取值范围比扩大了，可能增根。由得 ， ，所以从变到产生了增根01x。016 （ 为常数） 。)(log)(lxfaa)(fa例.（高一）解方程 。)23log23 x解：变形为 ，112的 的允许取值范围比扩大了，可能增根。x7利用对数运算法则把方程变形例.（高一）解方程 。2)3lg()l(2x解法一：变形为 ，再变为 ，即 ，31gx1lx132lgx中要求 ，这在中是一样的。中还要求 和 同号，但中无此02要求，显然，的 的允许取值范围比缩小了，可能遗根。解法二（不会遗根）：变形为 ，即 ，即 2)31lg(x 10lg)32lg(x，10)32(x ， ， 。8291x1
6、8利用合分比定理把方程变形即 。)(xqpf)()(xqpxf例. (初三)解方程 。3275392解：利用合分比定理可得 ，x的 的允许取值范围和不同，除共同要求 外，中还要求 ，中还要x 56x求 ，但 正好是的根， 正好是的根，所以由 变到时，遗了根 ，36 3而增了根 。6一般说来，此种变形的增根出在 的解中，遗根出在 的解中。0)(xq0)(xqpf1. (初三)解方程 ( )。下面的解法对吗？为什么？xba11a去分母得 ，即 )1(bxa，22xba即 ，即 ，)(2两边同时除以 得 。1ab2. (初三)解方程 。下面的解法对吗？为什么？142936xx两边通分得 ，)()(即
7、 ，451651322xx 方程两边的分子相同， 它们的分母也应该相同， ，即 ， 原方程无解。43. (初三)已知方程 和方程 有一个相同的根，求032mx024mx的值。m下面的解法有问题吗？设 的两根为 、 ， 的两根为 、 ，02x2x则 ，4两 式 相 除41又 ，2331 。9031)(m能力测试 认真完成！5.（高一）解方程 ，下面的解法对吗？为什么？2)132(log)1xx由对数定义得 ，即 ，(0)7(x解之得 ， ，21x7由对数函数 的定义有 ， ，而 使原方程左边的对数的底yal0a21数为 1， 使原方程左边的对数的底数小于零，所以原方程无解。26. (初三 )下面
8、解方程 的过程中产生了增根，请问是在哪1)lg()81lg(2xx一步产生的？为什么？第一步：利用对数运算法则得 ；0ll第二步：根据 得 ；)(og)(lxxfaa)(xf1082x第三步：式两边同乘 得 ；1182解之得 ， （舍去） ，1x2 原方程的解为 。1 2 3 4 5 6 7 81方程两边同乘含未知数的代数式 2方程两边同加含未知数的代数式3方程两边同时平方4 )()(xxf)(xf5 nflog)( n 6 laa )(f( 为常数)7利用对数运算法则把方程变形8利用合分比定理1. (初三)解方程 ( )。下面的解法对吗？为什么？xba11a去分母得 ，即 )1(bxa，22
9、xba即 ，即 ，)(2两边同时除以 得 。1ab答：错在两边同时除以 ，因为这样处理可能遗根，这里干脆连未知数都消失了。正2x确的做法如下：原方程化为 ，即 ，)(2 0)1(2abx ，解之得 。2x点评：本题方程两边同乘含未知数的代数式。2. (初三)解方程 。下面的解法对吗？为什么？42936xx两边通分得 ，)1()(即 ，451651322xx 方程两边的分子相同， 它们的分母也应该相同， ，即 ， 原方程无解。4答：错在由到不是同解变形，正确解法如下：原方程化为 ，4513651322xx交叉相乘去分母得 ，0)(解之得 ，检验后知 是原方程的解。点评：本题方程两边同乘含未知数的
10、代数式。3. (初三)已知方程 和方程 有一个相同的根，求32mx02mx的值。m下面的解法有问题吗？参考答案 仔细核对！设 的两根为 、 ， 的两根为 、 ，032mx024mx则 ，4两 式 相 除1又 ，2331 。9031)(m答：上述解答有遗根。遗根发生在 中两式相除得出 时。4m4这里应该如下这样来处理就不会遗根：或 m40)(4点评：其实本题最好如下解：设两个方程相同的根为 ，代入原方程得 ，)2(02413m-得 ，解之得 ， ，032011 ， ，21m 910)3(3222 故所求的 的值为 或 。95.（高一）解方程 ，下面的解法对吗？为什么？)1(log2)1xx由对数
11、定义得 ，即 ，3(20)7(2x解之得 ， ，1x7由对数函数 的定义有 ， ，而 使原方程左边的对数的底yal0a1数为 1， 使原方程左边的对数的底数小于零，所以原方程无解。2答：上述解法有问题。虽然规定 中的 ，但并不是说 不能等于 1，而是因xyaloga为当 时，不论 为何值，总有 ，没有讨论的必要。这里是解方程，只要 的值a1x能使原方程的两边相等， 就是方程的根，所以 是原方程的根。x2点评：本题使用 。nf)(log)()(fn6. (初三 )下面解方程 的过程中产生了增根，请问是在哪lg82x一步产生的？为什么？第一步：利用对数运算法则得 ；10ll第二步：根据 得 ；)(log)(lxxfaa)(xf1082x第三步：式两边同乘 得 ；11082解之得 ， （舍去） ，1x2 原方程的解为 。答：解题中的三步从理论上来说都有可能产生增根，我们先看第三步，因为的根（-2 和1）不会使无意义，故和是同解的；再看第二步，因为 的根（-2 和 1）不会使无意义，故和是同解的；最后看第一步，因为中只要求 与 同号，但原方程812x要求 ，显然，的 的允许取值范围扩大了，可能增根。易见， 的根0812xx“-2”使原方程无意义，所以增根是在第一步产生的。点评：本题使用 。)(log)(lxfaa)(xf
