1、116第 8 章 整数规划8.1 整数规划问题特征及其求解方法简介现实生活中，根据实际问题所建立的数学模型有一种很重要的情形：目标函数和约束函数是线性函数，还要求决策变量取整数值.这类问题称为线性整数规划 ，简称为整数规划(IP)要求所有变量取整数值，称为纯整数规划；要求部分变量取整数值，称为混合整数规划；要求变量只取 0 或 1，则称为 0-1 规划.某些约束函数或目标函数为非线性，称为非线性（纯/混合）整数规划.典型的整数规划问题：运作问题（Operational problems）: 货物的分配，生产调度、机器排序等；计划问题（Planning problems）: 资金预算、设施选址、
2、证券组合分析等；设计问题（Design problems）: 通信和交通网络设计，超大规模集成电路设计、自动化生产线设计等.共同特点：研究如何对稀有资源进行有效的管理和使用，使其发挥尽可能大的效益. 整数规划在美国军事空运指挥中的运用实例：背景：美国防部的空运由军事空运指挥中心（MAC）负责，总部设在圣路易斯附近的斯科特空军基地. MAC 每年有 5,000 个飞行员,驾驶 1,700 架飞机在 24 个国家的 850 个基地飞行约 700,000 小时.要求在特定的某一天，MAC 能派遣 1,700 个架次，执行 9 次救援任务，转移 5,000 名乘客和 1,000 吨货物以及用医用飞机转
3、移 200 名伤员.MAC 的总指挥（四星上将）有一个由 23 人组成的智囊团，为 MAC 派遣飞行队的相关决策出谋划策.智囊团广泛运用线性整数规划对规模大而复杂的问题求得有效的解.（1）优化货物空运计划MAC 利用 C-5，C-141 和 C-130 飞机的 35的飞行时间，按普通的货运计划在全球范围内飞行.但要被运输的货物总量超出了 MAC 飞行队的运载能力，因此，大量的货物运载能力必须从商业空运购买.智囊团面临的问题：设计一个称为空中货运计划的网状系统，使得购买运载能力的支出最小.这个问题被建模为一个有 18,000 个变量和 13,000 个约束条件的线性整数规划问题.决策变量代表每月
4、每架飞机按特定航线飞行的次数.商业软件求解该问题需大约 1 个小时的时间.（2）美国的货物分配在美国本土，650,000 批货物从 10,000 个地点出发，它们必须通过 MAC 的总站被运输（用飞机或卡车） ，并且通过 MAC 的全球计划网状系统,把这些货物运至海外的目的地.117问题：要求综合考虑货物的出发点及运输路线的全球网状系统，寻找一组低成本的港口.这个问题被建模为 60,000 个变量和 6,000 个约束条件的线性整数规划问题.决策变量定义了每月每架飞机（或卡车）沿特定路线的飞行（运输）次数.该问题的求解需花费 20 分钟.（3）伤员撤离战争期间的伤员撤离任务，由空军政府后备队的
5、波音 767 飞机承担.问题：在美国找一组最优的分布中心，位于医院病床集中地附近，并决定自潜在的海外基地至这些中心的一组最优路线.线性整数规划模型有 250,000 个决策变量，定义了在一条特定路线上要运送的伤员数、在美国的医院所需床数、特定路线上飞行的飞机数. 90,000 个约束条件涉及伤员和病床的类型（烧伤、外科等等）以及飞机载客能力范围，解此问题需花费约 4 个小时.模型求解的结果：从 52 个可能中心选出了理想的 9 个中心，使得伤员到达一个合适的医院的平均距离最短.本章介绍线性整数规划问题的典型解法.线性整数规划一般表示为（P 0）INjxbAcj为 整 数 ，,0 s.t min
6、IN 是取整数的变量的下标集在求解整数规划时，容易想到先解相应的线性规划，得到最优解后再四舍五入（圆整化），作为整数规划的最优解这种作法一般不可取：经四舍五入得到的解不一定是整数规划的可行解；即使是可行解，也不一定是整数规划的最优解例如整数规划： 为 整 数0, 42981 s.t3min1x去掉整数限制后，用单纯形方法求得线性规划的最优解 ，目标函数)2.9 ,4(),(21x最优值 8.5f圆整化得到的整数点 ，不满足第 1 个约束条件，因此不是整数规划的)9 ,2(,(1x可行点，当然不是整数规划的最优解该问题存在最优解 ，目标函数的最优值 ,4),21 58f整数规划的求解需要专门的方
7、法，目前已有几种成熟的求解方法： 分枝定界法 割平面法 分解算法 针对 0-1 规划的隐数法1188.2 分枝定界法分枝定界法的基本原理分枝定界法(Branch （P 2）记作-1称为固定变量， 称为自由变量nx,32再按 取 1 或 0 分解每个子问题 取 1 记作2 ，取 0 记作-2 2x2若取 和 作为固定变量， 作为自由变量，则得到 4 个子问题，分别为n,43+1，+2 +1，-2 -1，+2 -1，-2一般地，若 为固定变量，分别取值 1 , 0，1，用 表示相应的子问kjix, 题，则记为 ,kji其他变量为自由变量，在 中不作记录.隐数法从问题（P）(也记作）出发，沿各树枝从
8、左到右依次 探测各子问题，直至给出最优解，或得出原问题无可行解的结论在探测中，对于每个子问题 ，取自由变量等于 0 的点作为探测点，记作 例如， 0对子问题 ，取 作为本子问题的探测点3,21T),10,(由于 ，若 是可行点，则必是子问题 的最小点子问题在可ncc0 行点处目标函数值不可能小于 0探测规则：设已知整数规划（P）的一个可行点 ，目标函数值 xxcf126考虑（P）的任一子问题 ，相应的探测点记作 设 是 中具有最小下标的0jx自由变量，则依次有下列探测结果：（1）若 ，则子问题 没有比 更好的可行解fc0 x（2）若 ，且 是（P）的可行解，则 是比原来的 更好的可行解.置0
9、0x， 0x0f（3）若 ， 不是 的可行解，且 ，则 中没有比 更好fc0fcj0x的可行解（4）设自由变量有 ，满足不等式kjjx,21 krr jjjjj ccfccc 00000 121 记 ，称 J 为可选集,2rJ令 ， 为第 i 个约束的松弛变量若所有的 ，则),( 0mibAsii is 0is是比现行的 更好的可行解，置 ， . 0x0x0cf（5）若 不是可行解，置 ，称 I 为违背约束集置0|iIaJjJiji ,|IqiJjji 计算 Isi,若对某个 有 ，则本子问题没有更好的可行解0is0-1 规划隐数法计算步骤（1）给定一个可行解 ，置 （或令 ），置子问题 ，x
10、xcff,探测点 ，执行步骤（2）.T),(0（2）若 ，本子问题没有比 好的可行解，转步骤（7）；否则执行步骤（3）.fc（3）计算 ，若 ， 是可行解，置),1( 0mibAsii ),1( 0misi0， ，转步骤（7）；否则，置违背约束集 ，执行步骤（4）.0xf |isI（4）若无自由变量则转步骤（7）当存在自由变量时，设自由变量为 （ ）若kjjx,21 kjj21，本子问题没有比 好的可行解，转步骤（7）；否则执行步骤（ 5）.fcj10x（5）置可选集 , ,|0ktfcjJtjt 对每个违背约束 ，置带有正系数的部分自由变量下标集IiIiaJjiji ,|对每个违背约束 ，令
11、i127（若 ，则置 )IiaqiJjji,iJ0iq计算 Iiqsi,若对某个 有 ，本子问题没有更好的可行解，转步骤（7）；否则执行步0is骤（6）.（6）检验每个指标 ，若存在约束指标 ，使得 ，且 ，Jj IiiJj0ijiaqs则置 :jJ检查完毕时，若 J=，则转步骤（7）；若 J，则令 置子问题 ，置探测点 (|minJjl ,l le0:是第 l 个分量为 1 的单位向量)转步骤(2).e(7)当 中固定变量均取 0 时，探测完毕此时，若 ， 就是最优解；否则， x无可行解当 中固定变量不全为 0 时，假设 , vu即 是最后一个固定为 1 的变量，则置子问题 ，并置探测点 ，
12、ux ue0:转步骤(2). 例 3: 用隐数法求解 0-1 规划： 5,1 ,0or 4234 265s.t 7 min 15421jxxxjTxx),(54321 )76(),(54321cc1321A123b（1）置初始可行解 ，在 处的函数值 ，置子问题Tx) ,0 ,(x7xcf, 取探测点 0（2） .fc0（3）计算 , ，2101bAs 1 20bAs1 303bAs置违背约束集 .3,I（4）自由变量有 ， .5421,xx710fc（5）根据条件 ，求得可选集 .fcj04,32J128, ,31J423,J, ，q86q， ，1s72s53s（6）检查 J 中每个指标，修
13、改 J，置可选集 .,1J取 .|minjl置 ，置探测点 . 1T)0,(0（2） . fc0（3）计算 , ，101bAs 3 202bAs 3 03bAs置 . 3,I（4）自由变量有 , .542x7420fc(5)置可选集 ,J, ；31J, ；q6， .21s33s(6) 检查 J 中每个指标，置 J =3.取 l=3；置 ， . 3,1T)0,(0(2) . fc50(3) ， ，211bAs 1 20bAs1 303bAs是可行解，置 ， .0 Tx),(05f（7）置子问题 ，探测点 .3T),(0（2） . 510fc（3） , ，bAs 3 202bAs3 03bAs,I
14、（4）自由变量有 . .543,x5420fc（5）置可选集 J=2.,置 ；1J01q, ；33， .1ss（7）置子问题 ，探测点 T)0,(0（2） . 50fc（3） , ，211bAs 1 20bAs 1 303bAs3,I129（4）自由变量有 .5432,x5320fc（5）置可选集 J, ， ；12J,3, ， ；q16q， ， .1s02s53s（6）检查 J 中指标，修改 J，置 J=. （7） 中固定变量均取 0，因此探测完毕最优解 ，最优值 . Tx)0,1(5f习题1 利用分枝定界法求解整数规划问题 为 整 数0, 72569 s.t94)(max121xf2 假设有 4 个工程项目 ， ， 和 ，这 4 个项目的建设成本和产生的效益见下表：1P23项目 1P23P4产生的效益（亿元） 17 10 25 17建设成本（亿元） 5 3 8 7假定可用于工程项目建设的总预算量为 12 亿元. 试建立 0-1 规划模型，选择投建项目，使得总效益最大 .
