1、FFT 变换应用于信号识别摘要：实际观测到的信号往往会含有噪声信号，这就需要我们从实际信号中提取出真实信号来，如果实际信号的信噪比比较小，直接从时域信号中提取真实信号会比较困难，而且提取出的真实信号肯定会有很大程度的失真。快速傅里叶变换是处理数字信号的常用数学工具，实际运算表明 FFT 有极强的信号识别能力，快速傅里叶变换后频域信噪比相对于信号的时域信噪比要大很多，故而我们相对更容易提取出失真很小的真实信号。以此为基础，我们还能将FFT 变换应用于信号的解密与加密当中。关键词：信号识别，快速傅里叶变换，信噪比，白噪声，滤波，加密，解密引言作为数字信号处理的常用数学工具，快速傅里叶变换以其快速运
2、算和信噪比阈值低等特点在频谱分析领域得到广泛应用。由于实际信号往往处于白噪声背景下，此时FFT计算出的结果在精度上有何变化，为何FFT有较强的信号识别能力，以及影响信号识别能力的因素有哪些，都需要我们在理论上进一步分析并借助于MATLAB软件证实我们的结论。正文1.1白噪声白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。严格地说，白噪声只是一种理想化模型，因为实际噪声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则他的平均功率将是无限大，是物理上不可实现的。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此他是系统分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于他所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频
3、谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把他作为白噪声来处理。如热噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度。1.2加性白噪声调制信道对信号传输的影响，包括乘性干扰五()和加性干扰咒(z)。加性干扰是指与原始信号数学关系为加法关系的附加噪声，简称噪声。1.3高斯白噪声如果一个噪声，他的幅度分布服从高斯分布，而他的功率谱密度又是均匀分布的，则称他为高斯白噪声。高斯白噪声信号中包含从负无穷到正无穷之间的所有频率分量，且各频率分量在信号中的权值相同。他在任意时刻的幅度是随机的，但在整体上满足高斯分布函数。仿真时经常采用高斯白噪声是因为实际大多数电子系统中的主要噪声来源是热噪声，而热噪声是典型的高斯白噪
4、声。2模拟信号的实际模型对于一个实际信号w(t)，设w(t)=s(t)+z(t),其中是 是0()cos(2)taft我们需要的真实信号，z(t)为高斯白噪声信号。如果在0,T 区间按 对w(t)信号进行采样，得到长度为 N的序列：TtN。 ，z(n)为零均值高斯白噪声序列，()()wnsz00cos(2/)snafn其方差为 ，则采样序列的时域的信噪比为 。2x20xaSNR3.1实际信号的DFT变换接下来对以上的序列进行FFT变换，以求出频域的信噪比。固有： 221100()()()()()(0,12.,1)NNjknjknNnWKSZKsezeN3.2真实信号的DFT变换 210()()
5、NjknNnSKse21000cos(2/)N jknNnafnTe 00 002(2/)(2/)10jfnTNjfnTNN jknNnea e 00 00(2/2/)(2/2/)10jfnTNknNjfnTNknNNneea00(2/2/)10jfnTNknNNnea我们只研究与 T相邻的主瓣最高谱线的峰值和相位。设S（k）的主瓣峰值0f为 ，则由上式可得：kA0sin()()22kaNkfTaNA S其中 。0fTk3.2 高斯白噪声信号的 DFT 变换210()()NjknNnZkze则 Z(k)为一个复高斯噪声信号，其均值和方差分别为： 210()()0NjknNnEZKEze2var
6、()|()()|ZKEZK2|E2xN3.3 求导信号经 FFT 变换后的信噪比为了得到频域的信噪比，我们现在需要知道叠加在 幅值上的高斯白噪()ZK声的方差，我们小组查阅了很多概率统计方面的知识，找到了求加在复函数的幅上的白噪声的方差的方法，但没能看懂具体的过程，在此仅引用其结果，可以得到叠加在 幅值上的高斯白噪声的方差为()ZK220varRe()4xNaSR由以上各式可以得出含加性高斯白噪声采样信号在FFT变换后，在主瓣峰值处的信噪比为：221 00()2()4aNSNSRSRaR由上式知FFT变换后，信噪比增大为时域信号比的 倍，N值越大，2()Sa越接近于0。综上所述可以得出结论：F
7、FT变换能有效降低时域信号的信噪比阀值，即具有良好的信号识别能力。采样点数会直接影响FFT信号识别能力。3.4数值计算验证FFT变换使信号信噪比增强下面我们借助MATLAB软件对这一结论进行验证：构造函数用于计算信号时域的信噪比function y=snr(x1,x2) %x1是原始信号x2噪音信号y1=sum(abs(x1.2);y2=sum(abs(x2.2);y=10*log10(y1/y2);end任意给定一个带高斯白噪音正弦信号，并分别求此信号时域和频域的信噪比clear;clc;fs=400;N=500;n=0:N-1;t=n/fs;k=0.8;x =sin(2*pi*t)+sin
8、(2*pi*3*t); y = awgn(x,10,measured);yy=fft(y);f=n*fs/N;A=fft(x);AA=fft(y);s=snr(x,y-x) %时域信噪比ss=abs(max(A)2/(var(AA-A)*2) %频域信噪比得到的结果是：s =9.9301ss =572.0664增大采样频率fs=4000 后，得到的结果是：s =9.7024ss =1.9722e+003以上信噪比都不是确定的值，有一定的随机性，但波动不大，并且可以发现，FFT变换后的频域的信噪比要比信号时域的信噪比大很多，增大采样频率fs（对应理论介绍中的N）可使傅里叶变换后的信噪比明显增大，
9、这与之前的理论分析相符合。4.1应用FFT变换实现信号滤波基于以上结论我们实现了信号滤波设计，程序如下:clear;clc;fs=400;N=500; n=0:N-1;t=n/fs;snr=10; %加入高斯白噪声后的信噪比k=3; %关于滤波的系数，需要比对频谱图进行调整y = awgn(sin(2*pi*t)+sin(2*pi*3*t),snr,measured); f=n*fs/N;yy=fft(y,N); yy1=zeros(1,N); for i=1:N %滤去高斯白噪声if abs(yy(i)max(yy)/kfor ii=1:N/50if (i+N/100-ii0else y(i
10、)=0;endend以上就实现了我们的加密解密系统，当信息交流双方同时持有jiami和jiemi函数时就可以进行密码的传输交流。由于许多自然界中的信号都含有高斯白噪声，如热噪声。故我们在加密信号中加入了一定量的高斯白噪声，使得加密信号更具隐秘性。在jiami 和jiemi函数中我们使用了相互对应的频率序列f ，相互对照才能得到密码。这样，在他人得到加密信号和了解了加密原理的情况下，没有频率序列f依然无法完成解密，得到密码。增大了密码的安全性。总结我们小组理论分析了FFT变换能有效增大时域信号的信噪比，有很强的信号识别能力，并借助MATLAB 软件用数值方法进一步验证了我们的结论。以此为基础，我们应用FFT变换实现了信号的滤波和加密解密，这让我们对FFT变换的理解更加深入。
