1、2016 年高考真题 理科数学 (全国 I 卷) 理科数学考试时间：_分钟题型 单选题 填空题 简答题 总分得分单选题 （本大题共 12 小题，每小题_ 分，共_分。） 1.设集合 , ,则A. B. C. D. 2.设 ,其中 , 实数,则A. 1 B. C. D. 23.已知等差数列 前 9项的和为 27, ,则A. 100 B. 99 C. 98 D. 974.某公司的班车在 7:00,8:00,8:30发车,小明在 7:50至 8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是A. B. C. D. 5.已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦
2、点间的距离为 4,则 n的取值范围是A. B. C. D. 6.如图,某几 何体的三视图是三个半径相等的圆及每 个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是A. B. C. D. 7.函数 在 的图像大致为A. B. C. D. 8.若 ,则A. B. C. D. 9.执行右面的程序框图,如果输入的 ,则输出 x,y的值满足A. B. C. D. 10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点,交 C的准线于 D、 E两点.已知| AB|=,|DE|= ,则 C的焦点到准线的距离为A. 2 B. 4 C. 6 D. 811.平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1
3、的顶点 A, /平面 CB1D1, 平面 ABCD=m, 平面 AB B1A1=n,则 m、 n所成角的正弦值为A. B. C. D. 12.已知函数 为 的零点, 为图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为A. 11 B. 9 C. 7 D. 5填空题 （本大题共 4 小题，每小题 _分，共_分。） 13.设向量 a=(m,1),b=(1,2),且| a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=_.14. 的展开式中, x3的系数是_.（用数字填写答案）15.设等比数列 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 an的最大值为_16.某高科技企业生产产品 A和产品 B需要甲、乙两种
4、新型材料生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3个工时生产一件产品 A的利润为 2100元,生产一件产品 B的利润为 900元该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600个工时的条件下,生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元简答题（综合题） （本大题共 6 小题，每小题_ 分，共_分。） 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知17.求 C；18.若 的面积为 ,求 的周长如图,在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形, AF=2FD,
5、 ,且二面角 D-AF-E与二面角 C-BE-F都是 19.证明：平面 ABEF 平面 EFDC；20.求二面角 E-BC-A的余弦值某公司计划购买 2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数, 表示购买 2台机器的同时购买的
6、易损零件数.21.求 的分布列；22.若要求 ,确定 的最小值；23.以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 与 之中选其一,应选用哪个？设圆 的圆心为 A,直线 l过点 B（1,0）且与 x轴不重合, l交圆 A于 C,D两点,过 B作 AC的平行线交 AD于点 E.24.证明 为定值,并写出点 E的轨迹方程；25.设点 E的轨迹为曲线 C1,直线 l交 C1于 M,N两点,过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于P,Q两点,学.科网求四边形 MPNQ面积的取值范围.已知函数 有两个零点.26.求 a的取值范围；27.设 x1,x2是 的两个零点,证明： .请考生在以下 3题中任选一题作答
7、,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号【选修 4-1：几何证明选讲】（请回答 28、29 题）如图, OAB是等腰三角形, AOB=120.以 O为圆心, OA为半径作圆.【选修 44：坐标系与参数方程】（请回答 30、31 题）在直角坐标系 x y中,曲线 C1的参数方程为 （ t为参数, a0）在以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2： = .【选修 45：不等式选讲】（请回答 32、33 题）已知函数 .28.证明：直线 AB与 O相切；29.点 C,D在 O上,且 A,B,C,D四点共圆,证明： AB CD.30.说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方
8、程化为极坐标方程；31.直线 C3的极坐标方程为 ,其中 满足 tan =2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a32.在答题卡第（24）题图中画出 的图像；33.求不等式 的解集答案单选题 1. D 2. B 3. C 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. B 11. A 12. B 填空题 13. 14. 15. 16. 简答题 17. 18. 19. 见解析 20. 21. 22. 19 23. 24. （ ） 25. 26. ； 27. 28. 29. 见解析 30. 圆,31. 32. 33. 解析单选题 1. 试题分析：因为 ，所以，故选
9、D。2. 因为 所以 故选 B.3. 试题分析：由已知, 所以故选 C.4. 试题分析：如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机落在途中线段 中，而当他的到达时间线段 或 时，才能办证他等车的时间不超过 10分钟，根据几何概型，所求概率 ，故选 B.5. 试题分析： 表示双曲线，则 ，由双曲线性质知： ，其中 是半焦距焦距 ,解得 ， ，故选 A.6. 试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的 ,设球的半径为 ,则 ,解得 ,所以它的表面积是 的球面面积和三个扇形面积之和 故选 A7. 试题分析：函数 在 上是偶函数，其图像关于 轴对称，因为，所以排除 选项；当 时， 有一零
10、点，设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数.故选D.8. 试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项 A错误，选项 B错误， ，选项 C正确， ，选项D错误，故选 C9. 试题分析：当 时， ，不满足 ；，不满足 ；，满足 ；输出 ，则输出的的值满足 ，故选 C.10. 试题解析：如图，设抛物线方程为 ， 交 轴于 点，则，即 点纵坐标为 ，则 点横坐标为 ，即 ，由勾股定理知， ,即 ，解得 ，即 的焦点到准线的距离为 4，故选 B.11. 试题分析：如图，设平面 平面 = ，平面 平面 =，因为 平面 ，所以 ，则 所成的角等于 所成的角，延长 ，过 作 ，连接 ，则 为 ，同理
11、 为 ，而，则 所成的角即为 所成的角，即为 ，故 所成角的正弦值为 ，选 A.12. 试题分析：因为 为 的零点， 为 图像的对称轴，所以，即 ，所以 ，又因为在 单调，所以 ，即 ，由此 的最大值为9.故选 B.填空题 13. 试题分析：由 ，得 ，所以 ，解得 .14. 试题分析： 的展开式通项为 ，令 得 ，所以 的系数是 .15. 试题分析：设等比数列的公比为 ，由 得 ，解得 .所以 ，于是当 或 时， 取得最大值 .16. 试题分析：设生产产品 、产品 分别为 、 件,利润之和为 元,那么目标函数 .二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将
12、变形,得 ,平行直线 ,当直线经过点 时, 取得最大值.解方程组 ,得 的坐标 .所以当 , 时, .故生产产品 、产品 的利润之和的最大值为 元.简答题 17. 试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由正弦定理得： ， ，18. 试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由余弦定理得： 周长为19. 试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：由已知可得 , ,所以 平面 又 平面 ,故平面 平面 20. 试题分
13、析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过 作 ,垂足为 ,由（I）知 平面 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 由（I）知 为二面角 的平面角,故 ,则 , ,可得 , , , 由已知, ,所以 平面 又平面 平面 ,故 , 由 ,可得 平面 ,所以 为二面角 的平面角,从而可得 所以 , , , 设 是平面 的法向量,则,即 ,所以可取 设 是平面 的法向量,则 ,同理可取 则 故二面角 的余弦值为 21. 试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但
14、难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11记事件 为第一台机器 3年内换掉 个零件记事件 为第二台机器 3年内换掉 个零件由题知 ，设 2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 ，则 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22所以 的分布列为22. 试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由（）知 , ,故 的最小值为 19.23. 试题分析：本题把随机变量的
15、分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：记 表示 2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当 时,.当 时,.可知当 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值,故应选 .24. 试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：因为 , ,故 ,所以 ,故 .又圆 的标准方程为 ,从而 ,所以 .由题设得 , , ,由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：（ ）.25. 试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：当 与 轴不垂直时
16、,设 的方程为 , , .由 得 .则 , .所以 .来源:学科网 ZXXK过点 且与 垂直的直线 ： , 到 的距离为 ,所以.故四边形 的面积.可得当 与 轴不垂直时,四边形 面积的取值范围为 .当 与 轴垂直时,其方程为 , , ,四边形 的面积为 12.综上,四边形 面积的取值范围为 .26. 试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：（） （i）设 ,则 , 只有一个零点（ii）设 ,则当 时, ；当 时, 所以在 上单调递减,在 上单调递增又 , ,取 满足 且 ,则,故 存在两个零点（iii）设 ,由 得 或 若 ,则 ,故当 时, ,因此 在 上单
17、调递增又当 时, ,所以 不存在两个零点若 ,则 ,故当 时, ；当 时,因此 在 单调递减,在 单调递增又当 时,所以 不存在两个零点综上, 的取值范围为 27. 试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知得： ，不难发现 ， ，故可整理得：设 ，则那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时， 单调递增设 ，构造代数式：设 ，则 ，故 单调递增，有 因此，对于任意的 ， 由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，则必有令 ，则有而 ， ， 在 上单调递增，因此：整理得： 28. 试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，
18、即可解决本题，解析如下：设 是 的中点,连结 ,因为 ,所以 , 在 中, ,即 到直线 的距离等于圆 的半径,所以直线 与相切29. 试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：因为 ,所以 不是 四点所在圆的圆心,设 是 四点所在圆的圆心,作直线 由已知得 在线段 的垂直平分线上,又 在线段 的垂直平分线上,所以同理可证, 所以 30. 试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：（ 均为参数） 为以 为圆心， 为半径的圆方程为 即为 的极坐标方程31. 试题分析：本题属于坐标系
19、与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：,两边同乘 得,即 ：化为普通方程为 ,由题意： 和 的公共方程所在直线即为得： ,即为 ,32. 试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：如图所示：33. 试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：当 ， ，解得 或当 ， ，解得 或或当 ， ，解得 或或综上， 或 或，解集为
