1、,第七章 应力状态分析与强度理论,材料力学,第七章 应力状态和强度理论,71 概述 72 平面应力状态的应力分析.主应力 73 空间应力状态的概念,74 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,75 空间应力状态下的应变能密度,76 强度理论及其相当应力,77 莫尔强度理论及其相当应力,7 概述,一、引言,1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,铸铁,2、组合变形杆将怎样破坏？,原始单元体（已知单元体）,例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。,三、强度理论：关于材料破坏规律的假设。,二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为
2、该点的应力状态。,构件内一点处的应力状态有无限多的可能性。,如何判断应力组合情况下材料的极限应力？,72 平面应力状态的应力分析.主应力,平面应力状态,若单元体有一对平面上的应力等于零， 即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内,规定： 截面外法线同向为正； t a 绕研究对象顺时针转为正； a 逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：,一、任意斜截面上的应力,图1,考虑剪应力互等和三角变换，得：,同理：,可得：,7-2 平面应力状态分析图解法,对上述方程消去参数（2），得：,一、应力圆（ Stress Circle）,此方程曲线称为应力圆（或莫尔应力圆） 由德国工程师：Ot
3、to Mohr引入, 建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）,二、应力圆的画法, 在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx), AB与sa 轴的交点C便是圆心。, 以C为圆心，AC为半径画应力圆；,三、单元体与应力圆的对应关系,四、在应力圆上标出极值应力,一点处切应力等于零的截面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力,例1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,73 三向应力状态研究应力
4、圆法,1、空间应力状态,2、三向应力分析,弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,整个单元体内的最大剪应力为：,例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。,解：由单元体图知：y z面为主平面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点1,得:,50,40,30,A,B,C,74 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,单拉下的应力-应变关系,纯剪切的应力-应变关系,应力正负号与方向的重新定义,拉应力：拉为正，压为负,切应力：若正面（外法线与坐标轴正向一致的平面）上切应力矢的指向与坐标轴正向一致，或负面（外法线与坐标轴负向一致的平
5、面）上的切应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该切应力为正，反之为负。,三、各向同性材料的应力 - 应变关系（广义胡克定律）,依叠加原理,得:,sz,sy,sx,对于平面应力状态:,主应力 - 主应变关系,对平面状态下的主应力 主应变:,主应力与主应变方向一致,四、平面状态下的应变-应力关系:,假设,例： 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,五、体积应变与应力分量间的关系,略去高阶小量，体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,
6、例：边长a=0.1m的铜立方体，无间隙的放入体积较大、变形忽略的钢凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比 =0.34，当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。,解：铜块表面的正压力为,由于钢凹槽的压力，导致铜块在 x,z 两个方向上应变为零。,联立上面两式可得：,可得：,将,代入,最大切应力,例 图a 所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =35010-6，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25 试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力
7、表达式；2.计算容器所受的内压力。,s1,sm,p,O,图a,1、轴向应力:(longitudinal stress),解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程,用纵截面将容器截开，受力如图c所示,2、环向应力：(hoop stress),3、求内压（以应力应变关系求之）,75 空间应力状态下的应变能密度,称为体积改变能密度。,三个主应力相等,称为形状改变能密度。,主应力之和等于零,对于一般空间应力状态,例 用能量法证明三个弹性常数间的关系。,纯剪单元体的应变能为：,纯剪单元体应变能的主应力表示为：,76 强度理论及其相当应力,强度理论：是关于“材料发生
8、强度破坏或失效”的假设,材料的破坏形式：, 塑性屈服, 脆性断裂,如铸铁在拉伸和扭转时的突然断裂,如低碳钢在拉伸和扭转时明显的塑性变形,四个强度理论的分类,第一强度理论：最大拉应力理论,第二强度理论：最大伸长线应变理论,第二类强度理论,第三强度理论：最大切应力理论,第四强度理论：形状改变能密度理论,第一类强度理论,以脆性断裂 作为破坏标志,以塑性变形 作为破坏标志,一、最大拉应力理论（第一强度理论） ：,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。,不适用于没有拉应力的三轴压缩应力状态,认为材料的脆性断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，
9、构件就发生脆性断裂。,二、最大伸长线应变理论（第二强度理论） ：,1、破坏判据：,2、强度准则：,3、实用范围：适用于破坏形式为脆断的构件。,认为构件的脆性断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断裂。,认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,3、实用范围：适用于破坏形式为屈服的构件。,2、强度准则：,三、最大切应力理论（第三强度理论） ：,认为构件的屈服是由形状改变能密度引起的。当形状改变能密度达到单向拉伸试验屈服时形状改变能密度时，构件就破坏了。,1、破坏判据：,2、强度准则
10、：,3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。,四、形状改变能密度理论（第四强度理论） ：,按照四个强度理论所建立的强度条件可统一写成：,第一强度理论：,（最大拉应力理论）,第二强度理论：,（最大伸长线应变理论）,第三强度理论：,（最大切应力理论）,第四强度理论：,（形状改变能密度理论）,77 强度理论的应用,一、强度计算的步骤：,1、外力分析：确定所需的外力值。,2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。,3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力。,4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算。,二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。,1、脆性材
11、料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：,2、塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；,4、破坏形式还与温度、变形速度等有关！,当最大主应力小于等于零时，使用第二理论。,其它应力状态时，使用第三或第四理论。,解：危险点A的应力状态如图：,例1： 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。,安全。,例：薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。,解：由广义虎克定律得:,所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。,本章结束,
