1、2014/5/16 1 反应谱相关理论 反应谱相关理论2 主要优点： 反应谱相关理论 概论 1943年，M.A.Biot提出了反应谱的概念，给出了世界上第一 个反应谱。 1948年，G.W.Honser提出基于反应谱理论的抗震计算方法。 从此，结构的地震反应分析进入了动力阶段。 将时变问题化为拟静力问题，使计算方便、快捷，易为工程 师所接受； 一般情况下，基于线性假定，应用反应谱法只取少数几个低 阶振型就可以给出结构较为合理的最大反应； 应用反应谱理论进行抗震设计，计算得到的建筑物的地震反 应与实际地震观测的地震反应相差较小。3 反应谱相关理论 主要缺点： 原则上只适用于线性体系的抗震设计，不
2、能有效地考虑强震 时结构的非线性行为。有些学者在研究弹塑性反应谱，但至 今尚未应用于工程实际； 无法考虑地震动的空间变化效应。这对大跨度桥梁而言，是 不能忽略的； 不能考虑地震动持时长短的影响； 反应谱理论只能给出结构的最大地震反应，不能给出结构反 应的全过程，以及结构各构件的破坏机理； 反应谱法对于非比例阻尼结构以及不规则结构的分析效果还 不理想。4 地震（加速度、速度和位移）反应谱可理解为一个确定的地面运 动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引 起的各体系最大反应与相应体系自振周期间的关系曲线。 T1 T2 T3 T4 T5 = 0 () g xt 反应谱相关理论 地
3、震反应谱 单自由度体系在给定的 地震作用下某个最大反应与 体系自振周期的关系曲线称 为该反应的地震反应谱。 T1 Sa(T) T T2 T3 T4 T5 = 05 反应谱相关理论 单自由度体系受到均匀地面激励时的运动方程为： () g xt m c k () g my cy ky mx t 2 2( ) g yyyx t () 0 1 ( ) ( )sin ( ) t t gd d ytext d 稳态解 2 c m / km 2 1 d 地震反应谱计算方法 地震反应谱计算方法6 () 0 () ()c o s ( ) t t gd d yt e x t d 2 () 0 () ()s i n
4、 ( ) 2 t t gd d yt e x t d 相对位移 相对速度 绝对加速度 2 tan 1 () 0 1 () ()s i n ( ) t t gd d yt e x t d 1 反应谱相关理论7 () 0 () ()c o s ( ) t t g yt e x t d () 0 () ()s i n ( ) t t g yt e x t d 相对位移 相对速度 绝对加速度 () 0 1 () ()s i n ( ) t t g d yt e x t d 反应谱相关理论8 () max 0 max 1 (,) () () s i n( ) t t dg Sy tx et d () m
5、ax 0 max (,) () () c o s( ) t t vg Sy tx etd () g max 0 max (,) () () s i n( ) d t t a Sy tx et 相对位移反应谱： 反应谱相关理论 2 (,) (,) (,) avd SSS 相对速度反应谱： 绝对加速度反应谱： 三者之间的关系9 相对位移反应谱 绝对加速度反应谱 相对速度反应谱 3. 3.阻尼比 阻尼比对反应谱影响很大； 对反应谱影响很大； 4. 4.对于 对于加速度反应谱 加速度反应谱，当结构周期小于某 ，当结构周期小于某 个值时，幅值随周期急剧增大，大于某个 个值时，幅值随周期急剧增大，大于某个
6、 值时，快速下降； 值时，快速下降； 5. 5.对于 对于速度反应谱 速度反应谱，当结构周期小于某个 ，当结构周期小于某个 值时幅值，随周期增大趋于常数； 值时幅值，随周期增大趋于常数； 6. 6.对于 对于位移反应谱 位移反应谱，幅值随周期增大。 ，幅值随周期增大。 反应谱相关理论 地震反应谱的特点 地震反应谱的特点 1. 1.是根据 是根据一次 一次地震中强震仪记录的加速 地震中强震仪记录的加速 度时程计算得到的谱； 度时程计算得到的谱； 2. 2.在本质上反映的是地震动 在本质上反映的是地震动强度 强度与 与频谱 频谱 特性，它不反映具体的结构特性； 特性，它不反映具体的结构特性；10
7、作用在单自由度体系上的惯性力： 2 max max () () () gad FFt m ytxt m SmS max max () () g a g xt S mg Gk g xt Gm g -集中于质点处的重力荷载代表值； g -重力加速度 ma x ) (t x S g a -动力放大系数 g t x k g ma x ) ( -地震系数 反应谱相关理论 设计反应谱 地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，需专门研究可 供结构抗震设计用的设计反应谱。11 max g x k g 定义： 可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来 基本烈度 6 7 8 9 地震系数k 0.05 0.1
8、0 0.20 0.40 地震系数与基本烈度关系 反应谱相关理论 地震系数 地震系数12 max () () a g ST T x 特点： 是一种规则化的地震反应谱，不受地震动振幅的影响。 与地震反应谱具有相同的性质，受到体系阻尼比， 以及地震动频谱（场地条件和震中距）的影响。 表示不同单自由度结构的反应对于地震 动输入的动力放大系数 动力放大系数的定义 反应谱相关理论 动力放大系数 动力放大系数13 为使动力放大系数能用于结构抗震设计，采取的措施： 取确定的阻尼比 ，因大多数实际建筑结构的阻尼 比在0.05左右。 0.05 消除阻尼比对动力放大系数的影响 按场地、震中距将地震动记录分类 消除地
9、震动频谱对地震动的影响 反应谱相关理论 计算每一类地震动记录动力放大系数的平均值 0.05 1 () () n i i T T n 考虑类别相同的不同地震动记录动力 放大系数的变异性14 max min g T 地震动特征周期，与场地条件和设计地震分组有关 衰减指数，取0.9。修编稿取0.6。 min 0 0.1 T g 3.0 T(s) () T max 1.0 max () () g T T T 下限值不小于最大值的20% 重力坝2.0,拱坝2.5，其它2.25 反应谱相关理论 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
10、2.8 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 T(s) =0.6 =0.9 规范设计反应谱 规范设计反应谱中国建筑结构抗震设计规范中的反应谱 反应谱相关理论反应谱相关理论反应谱相关理论反应谱相关理论反应谱相关理论反应谱相关理论21地震波传播 场地土层区（局部） 震 源 基岩区 （区域地质） 地表及基岩地形 震 源 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.5
11、0 2.75 3.00T / s 场地谱规范谱 反应谱相关理论 场地设计反应谱 场地设计反应谱不同 不同场地条件 场地条件对反应谱的影响 对反应谱的影响 周期（ 周期（s) s) 岩石 岩石 坚硬场地 坚硬场地 厚的无粘性土层 厚的无粘性土层 软土层 软土层 / a S g 反应谱相关理论23 总结 反应谱 反应谱 地震反应谱 设计反应谱 地震强度 频谱特性 一次地震实际记录 与结构特性无关 大量实际地震统计 地震作用的预测 设计地震力的规定 抗震设计采用的反应谱 规范谱 场地谱 反应谱相关理论24 反应谱相关理论 m1 m2 mi mN xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
12、 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 T / s k m （ （1 1）求结构体系的自振周期 ）求结构体系的自振周期 2/ Tm k （ （2 2）在设计反应谱上查放大系数 ）在设计反应谱上查放大系数 （ （3 3）计算结构水平地震作用力 ）计算结构水平地震作用力 FG 单质点体系计算25 由于各阶振型 ) , , 2 , 1 ( n i i 是相互独立的向量， 则可将单位向量 表示成： I 1 n ii i Ia 将方程两边左乘
13、T j M TTT 1 n ji ji j jj i MI a M a M T T j jj jj MI a M 1 n jj j I 其中 反应谱相关理论 振型分解反应谱法26 质点 任意时刻的水平相对位移反应为： i 1 () () n ij j j i j xt t 则质点 在任意时刻的水平相对加速度反应为： i 1 () () n ij j j i j xt t 多质点体系 n i 反应谱相关理论 d t e x t j t t o g j j j j ) ( sin ) ( 1 ) ( ) ( 为各振型等效单自由度体系的地震位移反应27 将水平地面运动加速度表达成 ： 1 () ()
14、 n gj j i g j xt xt 1 n jj j I () () iig f mxt xt 则可得质点 任意时刻的水平地震惯性力为： i 11 () () nn ij jj ij j i g jj mtx t 11 () () nn i j ji j g ji jj mt x t f 1 () () n ij j j i j xtt 1 () () n gj j i g j xt xt 反应谱相关理论28 质点 第 振型的水平地震作用 i j 将质点 的第 振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即: i j max F ji ji f max () () ijj i j g mt
15、x t max () () ijj i j g mt x t 反应谱相关理论29 max () () ijj i j g mt x t max ( ) () () ag ST xtxt F( ) jii jj ia j mST F() jii jj i j i jjj i mg k kG j -按体系第 周期计算的第 阶振型动力放大系数 j j 采用设计反应谱，则由 max max () () g a g xt S k g xt i G -质点 的重量 i n i 反应谱相关理论30 由第j 阶振型各质点产生的水平地震作用，按静力分 析方法计算，可得体系第j 阶振型最大地震反应。 定义： 为第
16、j 阶振型最大地震反应， 为体系总的最大 地震反应。 j S S 振型组合：由估 计。 j S S 振型反应求和法 max j SS 2振型 11 F 12 F i F 1 n F 1 1振型 21 F 22 F i F 2 n F 2 1 j F 2 j F ji F jn F j振型 1 n F 2 n F ni F nn F n振型 1 m 2 m i m n m 最大振型反应法 1 n j j SS 反应谱相关理论 振型组合 振型组合31 根据统计和地震资料分析，对于各振型所产生的地震 作用效应，可近似地采用”平方和开方”法来确定。该方 法适用于振型较为稀疏，振型之间相关性较小时。 平
17、方和开方法SRSS（Square Root of Sum-square method） 2 1 n j j SS 11 nn ij i j ij SS S 完全二次组合法CQC（Complete Quadratic Combination method） 该方法适用于振型较为密集，振型之间相关性较大 时，如考虑平移、扭转耦联振动的线性结构体系。 反应谱相关理论32 参与振型个数的确定 方法一：主要选取贡献大的较低频率的几个振型，一般重力 坝取510个振型。 方法二：一般可取振型有效质量达到总质量90时所需的振 型数。 参与振型个数的确定 参与振型个数的确定 反应谱相关理论33 反应谱相关理论
18、阶数 顺河向（满库） 竖向（满库） 自振频率（Hz） 振型参与系数 自振频率（Hz） 振型参与系数 1 2.081 0.361 3.882 0.924 2 4.853 0.396 18.197 0.061 3 9.165 0.131 31.834 0.015 4 15.668 0.043 46.414 -0.004 5 23.222 0.019 61.898 -0.004 总和 0.95 0.99234 （1）根据强震记录统计应用于抗震设计的地震动反应谱； （2）进行振型分析，求结构的自振周期、振型和振型参与系数； （3）由地震影响系数谱曲线确定多自由度体系j 振型质点i的水平 地震作用标准值
19、； （4）计算j 振型地震作用标准值下的地震效应，可按静力方法计 算地震作用效应，包括：轴力、弯距、剪力和变形等； （5）按组合规则计算体系地震作用标准值的地震效应。 注意：一定是对结构的地震效应进行组合，而不是对 地震作用进行组合，因为总的地震作用与各振型地震 作用最大值之间不存在组合关系！ 反应谱相关理论 振型分解反应谱法计算步骤 振型分解反应谱法计算步骤正交：正交的概念最早出现于三维空间的向量分析，指两个向 量内积为零或两个向量垂直。 振型关于质量矩阵正交性： T 0 ji M 振型关于刚度矩阵正交性： T 0 ji K 反应谱相关理论 振型关于质量矩阵正交物理意义： T 0 ji M
20、T 2 0 jj i M T 0 Ij i F 第j j 阶振型产生惯性力在第i i 阶振型上做功为零 振型分解法 振型的正交性 振型的正交性振型关于刚度矩阵正交物理意义： T 0 ji K T 0 Ij i F 第j j 阶振型产生弹性恢复力在第i i 阶振型上做功为零 对于无阻尼多自由度体系，各阶振型间无能量交换 反应谱相关理论 01 CaMaK 0 1 01 1 22 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 n i j a a nn i i j j ij ij ij CaMaK a a a a Rayleigh阻尼 反应谱相关理论由振型的正交性，体系地震位移反应向量可表示成: 1 n j
21、 j j xq 其中 j q 称为振型正则坐标。 多自由度体系有阻尼运动方程为： g M xCxKxMIx 1 n j j j xq 1 ( ) n jjj jj j g j M qCqKq MIx ) (t x i n m i m 1 m 振型分解法 振型分解法 反应谱相关理论 TTTT 1 n ij jij jij jig j M qCqKqM I x 1 ( ) n jjj jj j g j M qCqKq MIx T i 方程两边左乘 TT 00 jiji MK ， 假定 T 0( ) ji Ci j ， TTTT ii iii iii iig M qCqKqM I x 反应谱相关理论
22、 TTTT ii iii iii iig M qCqKqM I x 由动力特征方程： 2 0 KM 定义： T T 2 ii ii ii C M T T 1 i i ii M M 称为第 阶振型阻尼比 i i 称为第 阶振型参与系数 i i T 2 T ii i ii K M T ii M 方程两边除以 2 2 ii i ii ii g qqqx 反应谱相关理论41 原来n个自由度体系的n维联立运动微分方程，被分解为n个独立的关 于广义坐标的单自由度体系的运动微分方程。式中 i 称为第i振型阻尼 比。根据根据实测表明，结构各振型的阻尼比数量级相同，从数值上 看，高振型时略大些。但为简单起见，抗
23、震分析中通常只用一个阻尼 比，即假定： i = 。 上式即为广义坐标表示的微分方程，在形式上与单自由度振动微分 方程相同，其解可仿照得到： 2 2 ii i ii ii g qqqx () () () s i n ( ) jj t t j jgj o j qt x e t d () 1 () () s i n ( ) jj t t jgj o j tx et d ) (t j ) (t x g * j M j j 反应谱相关理论 111 () () () nnn jj jj j j jjj xt q t xt 多自由度体系地震位移反应的解： 第 () j xt j 振型地震反应。 多自由度体系
24、的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求 解，故称振型分解法 () () 1 ,2 , , jj j qt t j n () j t 式 称为第 j 阶振型的等效单自由度体系地震位移反应。 最后得原坐标下的质点 i 的地震位移反应： 11 () () () nn ij i jj j i j jj xt qt t n i , , 2 , 1 反应谱相关理论43 2 0 km 2 01 , 2 , , j j km jn 反应谱相关理论 振型分解法计算步骤 振型分解法计算步骤 1、计算体系的自振频率和主振型 j j j 取阻尼比： T 11 T 22 11 nn ij i ij i j ii j nn jj ij i ij i ii mG M I M mG 2、求各振型的参与系数44 d t e x t j t t o g j j j j ) ( sin ) ( 1 ) ( ) ( 反应谱相关理论 3、求各振型等效单自由度体系的地震位移反应 4、最后求原坐标下的质点 i 的地震位移反应 1 () () n ij j j i j xt t
